V. 미분 · 12/16

미분

도함수, 평균값 정리, 로피탈 법칙

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

"순간 변화율"이라는 직관적 개념을 엄밀하게 만드는 것이 도함수다. 차분몫 $\frac{f(t)-f(x)}{t-x}$ 는 두 점 사이의 평균 변화율인데, $t\to x$ 극한을 취해 순간 변화율로 만드는 순간 분모가 $0$ 에 가까워지는 "$0/0$" 형태의 위험한 극한이 등장한다. 이 극한이 의미를 갖도록 만드는 것이 함수 극한의 정밀한 기계다. 도함수가 중요한 진짜 이유는 미분계수 자체가 아니라 평균값 정리(MVT)다 — 이는 "국소적 정보(각 점에서의 순간 변화율)"를 "전역적 결론(전체 구간에서의 평균 변화율이 어딘가에서 정확히 달성된다)"으로 바꾸는 다리이며, 단조성 판정·L'Hospital 법칙·Taylor 근사 등 미분의 거의 모든 실용적 응용이 MVT의 따름정리다. 여기서 두 책은 내용상 가장 가깝고, 흥미로운 차이는 증명 기법에 있다.

직관

도함수의 기하적 그림은 익숙하다 — 그래프의 접선의 기울기. 더 유용한 대수적 그림은 "최선의 선형 근사"다: $f$ 가 $x$ 에서 미분가능하다는 것은, $x$ 근처에서 $f$ 를 직선 $f(x)+f'(x)(t-x)$ 으로 근사했을 때 그 오차가 $(t-x)$ 자체보다 더 빠르게 $0$ 으로 간다는 뜻이다 — 단순히 $f(t)\to f(x)$ (연속성)인 것을 넘어, 오차가 $(t-x)$ 로 나누어도 사라질 만큼 작아야 한다. MVT의 직관은 "평균 속도가 어딘가에서 순간 속도와 같다"는 물리적 사실이다 — 자동차가 한 시간 동안 평균 시속 60km로 달렸다면, 그 한 시간 안의 어느 순간에는 속도계가 정확히 60을 가리켰어야 한다(연속적으로 변하는 속도가 평균을 건너뛸 수는 없으므로).

정의

$f$ 가 $[a,b]$ 에서 정의될 때, $x \in [a,b]$ 에서의 도함수는¹

$$f'(x) = \lim_{t\to x} \frac{f(t)-f(x)}{t-x}$$

이 극한이 존재할 때 정의된다. 미분가능 ⇒ 연속(역은 거짓: $|x|$ 는 0에서 연속이나 미분 불가).

증명 보기

증명 (미분가능 ⇒ 연속). $f(t)-f(x) = \frac{f(t)-f(x)}{t-x}\cdot(t-x)$ 이고 $t\to x$ 일 때 첫 인수는 $f'(x)$ 로, 둘째 인수는 $0$ 으로 가므로 극한 법칙으로 $f(t)-f(x)\to0$, 즉 $f(t)\to f(x)$. ∎

Caratheodory 특성화 (Bartle)

$f$ 가 $c$ 에서 미분가능하고 $f'(c)=\varphi(c)$ $\iff$ $c$ 에서 연속인 함수 $\varphi$ 가 존재하여

$$f(x) - f(c) = \varphi(x)(x-c).$$

차분몫의 "$0/0$" 곤란을 연속성 논증으로 바꿔, 연쇄법칙·역함수 정리의 증명을 단순화한다.³ ($\Rightarrow$ 방향: $\varphi(x)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$ ($x\ne c$), $\varphi(c)=f'(c)$ 로 정의하면 미분가능성의 정의 자체가 $\varphi$ 의 $c$ 에서의 연속성과 정확히 같다.)

미분 법칙	진술
합	$(f+g)'=f'+g'$
곱	$(fg)'=f'g+fg'$
몫	$(f/g)'=(f'g-fg')/g^2$ ($g\ne0$)
연쇄법칙	$(g\circ f)'=(g'\circ f)\cdot f'$

주요 정리

정리 1 (연쇄법칙, Caratheodory 증명). $f$ 가 $c$ 에서, $g$ 가 $f(c)$ 에서 미분가능하면 $(g\circ f)'(c) = g'(f(c))f'(c)$.

증명 보기

증명 스케치. $f(x)-f(c)=\varphi(x)(x-c)$, $g(y)-g(f(c))=\psi(y)(y-f(c))$ ($\varphi,\psi$ 는 각각 $c$, $f(c)$ 에서 연속, $\varphi(c)=f'(c)$, $\psi(f(c))=g'(f(c))$)라 쓰면, $g(f(x))-g(f(c))=\psi(f(x))(f(x)-f(c))=\psi(f(x))\varphi(x)(x-c)$ — $\psi(f(x))\varphi(x)$ 는 $c$ 에서 연속(합성·곱의 연속)이고 $x=c$ 에서 값이 $\psi(f(c))\varphi(c)=g'(f(c))f'(c)$, 이것이 Caratheodory 특성화로 바로 도함수. 전통적 차분몫 증명은 분모 $f(x)-f(c)$ 가 $0$ 이 될 수 있어 까다로운데(예: $f$ 가 국소적으로 상수가 아니어도 $x$ 근처에서 $f(x)=f(c)$ 인 점들이 무한히 쌓일 수 있음), Caratheodory 형태는 이 문제를 자동으로 피한다. ∎

정리 2 (Fermat). $f$ 가 내부점 $c\in(a,b)$ 에서 극값(극대 또는 극소)을 갖고 미분가능하면 $f'(c)=0$.

증명 보기

증명 스케치. $c$ 가 극대라 하면 $t$ 가 $c$ 보다 작을 때 차분몫 $\frac{f(t)-f(c)}{t-c}\ge0$ (분자 $\le0$, 분모 $<0$), $t$ 가 $c$ 보다 클 때는 $\le0$ — 극한이 존재한다면 양쪽에서 같아야 하므로 $f'(c)=0$. ∎

정리 3 (Rolle). $f(a)=f(b)$ 이고 $[a,b]$ 에서 연속, $(a,b)$ 에서 미분가능하면 $f'(c)=0$ 인 $c\in(a,b)$ 존재.

증명 보기

증명 스케치. $f$ 가 상수가 아니면 콤팩트 구간 위 연속함수이므로 최댓값 또는 최솟값이 내부점에서 달성된다(둘 다 끝점 값과 같다면 $f$ 는 상수) — 그 내부 극값점에서 Fermat 정리로 $f'=0$. $f$ 가 상수이면 모든 점에서 $f'=0$. ∎

정리 4 (평균값 정리, MVT). $f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속, $(a,b)$ 에서 미분가능하면² $$\exists c\in(a,b):\ f(b)-f(a) = f'(c)(b-a).$$

증명 보기

증명. $h(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$ 라 정의하면 $h(a)=h(b)=0$ — Rolle 정리를 $h$ 에 적용하면 $h'(c)=0$ 인 $c$, 즉 $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. ∎ Rudin은 이를 일반화 MVT(Cauchy) $\big(f(b)-f(a)\big)g'(c) = \big(g(b)-g(a)\big)f'(c)$ 의 특수경우($g(x)=x$)로 본다.²

정리 5 (MVT의 귀결). $f'>0$ on $(a,b)$ $\Rightarrow$ $f$ 는 $[a,b]$ 에서 증가; $f'=0$ on $(a,b)$ $\Rightarrow$ $f$ 는 상수; L'Hospital 법칙(부정형 극한의 처리, Cauchy MVT의 응용); 도함수의 중간값 성질(Darboux — $f'$ 자체는 연속이 아닐 수 있지만 IVT와 같은 사이값 성질을 만족).

증명 보기

증명 스케치 ($f'>0\Rightarrow$ 증가). $x_1<x_2$ 에 MVT 적용하면 $f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)>0$ ($c\in(x_1,x_2)$ 에서 $f'(c)>0$, $x_2-x_1>0$이므로). ∎

예제

예제 1 (미분 불가능점). $f(x)=|x|$: 0에서 미분 불가(좌·우 도함수 $-1, +1$, 차분몫의 극한이 양쪽에서 달라 존재하지 않음).

예제 2 (MVT 응용 — Lipschitz 부등식). $|\sin x - \sin y| \le |x-y|$ — MVT로 $\sin x-\sin y=\cos(c)(x-y)$ 인 $c$ 가 존재하고 $|\cos c|\le1$.

예제 3 (L'Hospital의 직접 적용). $\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x} = 1$ — 분자·분모 모두 $0$ 으로 가는 $0/0$ 형태에서 도함수의 비 $\lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}=1$.

예제 4 (Newton 법의 수렴 분석). Newton 법 $x_{n+1}=x_n - f(x_n)/f'(x_n)$ 의 수렴은 MVT/Taylor로 분석 — $f(x^*)=0$ 인 근 근처에서 $f(x_n)=f(x_n)-f(x^*)=f'(c_n)(x_n-x^*)$ (MVT)를 이용해 오차의 재귀 부등식을 얻는다.

예제 5 (Darboux 성질 — 도함수가 연속 아니어도 IVT 만족). $f(x)=x^2\sin(1/x)$ ($x\ne0$), $f(0)=0$ 은 모든 점에서 미분가능하지만 $f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)$ 는 $x=0$ 에서 불연속(진동) — 그럼에도 $f'$ 은 Darboux 성질(사이값 성질)을 만족한다는 사실이 "도함수는 항상 IVT를 만족하지만 도함수 자체는 연속이 아닐 수 있다"는 미묘함을 보여준다.

예제 6 (Rolle의 가설이 본질적임을 보여주는 반례). $f(x)=|x|$ on $[-1,1]$ 은 $f(-1)=f(1)=1$ 이지만 $(-1,1)$ 의 어디서도 $f'=0$ 이 아니다 — $(a,b)$ 에서의 미분가능성 가설이 빠지면(원점에서 미분 불가) Rolle 정리가 실패함을 보여준다.

예제 7 (단조성 정리의 응용). $f(x)=x^3-3x$ 는 $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ — $f'>0$ on $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$, $f'<0$ on $(-1,1)$ 이므로 MVT 귀결로 각 구간에서 단조성이 결정되어 그래프 개형을 미적분 없이 "본다"는 직관을 정당화.

흔한 오해와 함정

"연속이면 미분가능"이라고 가정 — 거짓(예제 1, $|x|$). 더 극단적으로 Weierstrass는 모든 점에서 연속이지만 어디서도 미분 불가능한 함수를 구성했다 — 연속성은 미분가능성보다 훨씬 약한 조건.
Rolle 정리의 가설을 빠뜨림 — $(a,b)$ 에서의 미분가능성이 빠지면 정리가 실패할 수 있다(예제 6). 끝점에서만 미분 불가능한 것은 허용되지만 내부의 단 한 점에서라도 미분 불가능하면 위험.
"도함수가 0인 점에서 항상 극값"이라는 Fermat 정리의 역을 가정 — 거짓. $f(x)=x^3$ 은 $f'(0)=0$ 이지만 $0$ 은 극값이 아니다(변곡점). Fermat 정리는 일방향 함의(극값 ⇒ $f'=0$, 내부점·미분가능 가정 하에)일 뿐.
"도함수가 연속이어야 IVT(사이값 성질)를 만족한다"고 오해 — 거짓(예제 5, Darboux 성질). 도함수는 연속이 아니어도 항상 사이값 성질을 만족한다 — 이는 일반 연속함수와는 다른, 도함수만의 특별한 성질이다.
MVT의 $c$ 가 유일하다고 가정 — 일반적으로 $c$ 의 존재만 보장되지 유일성은 없다. 여러 개의 $c$ 가 동시에 가능한 경우가 흔하다(예: 대칭적인 함수에서).

큰 그림 / 연결

미분가능성은 연속성보다 엄격히 강한 조건이며, 그 정의 자체가 함수 극한의 직접 적용이다. MVT는 완비성에 의지하는 최대최소 정리(콤팩트성의 귀결)를 한 단계 더 끌어올린 것 — 콤팩트 구간 위 연속함수의 극값 존재(Fermat 정리의 전제)가 없으면 Rolle도 MVT도 증명할 수 없다. MVT의 따름정리들(단조성 판정, L'Hospital, Taylor 다항식의 오차항)은 Taylor 정리로 직접 일반화되며("MVT는 0차 Taylor 정리"라는 관점), 적분 쪽에서는 미적분의 기본정리가 미분과 적분을 역연산으로 묶어 MVT의 적분 버전(적분의 평균값 정리)을 낳는다. Rudin은 벡터값 도함수를 거쳐 다변수 함수 이론으로 더 밀고 나간다.

연습문제

도함수의 정의로부터 $f(x)=x^2$ 의 도함수가 $2x$ 임을 직접 증명하라.
Caratheodory 특성화를 이용해 $f(x)=x^2$ 가 모든 점에서 미분가능함을 보여라($\varphi$ 를 명시적으로 구성).
Rolle 정리를 증명하라(본문 스케치를 완성).
$f(x)=x^4-2x^2$ 에 MVT를 적용해, $f(2)-f(0)=f'(c)\cdot2$ 인 $c\in(0,2)$ 를 구체적으로 구하라.
$f'(x)\ge0$ on $(a,b)$ (등호 허용)이면 $f$ 가 (강증가가 아니라) 비감소임을 MVT로 보여라.
곱의 미분법칙을 Caratheodory 특성화로 증명하라.
$f(x)=x^3$ 에서 $f'(0)=0$ 이지만 $0$ 이 극값이 아님을 보여, Fermat 정리의 역이 거짓임을 확인하라.
L'Hospital 법칙을 Cauchy MVT(일반화 MVT)로부터 유도하는 논증의 개요를 서술하라.

힌트 / 정답

$\lim_{t\to x}\frac{t^2-x^2}{t-x}=\lim_{t\to x}(t+x)=2x$.
$\varphi(x) = x+x$ ($x\ne$ 기준점이 아니라, $c$ 를 기준으로) — 정확히는 임의의 $c$ 에서 $\varphi(x)=\frac{x^2-c^2}{x-c}=x+c$ ($x\ne c$), $\varphi(c)=2c$ — $\varphi(x)=x+c$ 는 모든 곳에서 연속(다항식)이고 $\varphi(c)=2c=f'(c)$.
본문 정리 3 증명 스케치 참고: 최댓값/최솟값이 내부에서 달성되는 경우와 $f$ 가 상수인 경우로 나눔.
$f'(x)=4x^3-4x$. $f(2)=16-8=8$, $f(0)=0$. $f(2)-f(0)=8=f'(c)\cdot2 \Rightarrow f'(c)=4 \Rightarrow 4c^3-4c=4 \Rightarrow c^3-c-1=0$ — 수치적으로 $c\approx1.3247\in(0,2)$.
$x_1<x_2$ 에 MVT: $f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)\ge0$ ($f'(c)\ge0$, $x_2-x_1>0$이므로) — $f(x_2)\ge f(x_1)$, 비감소.
$f(x)-f(c)=\varphi(x)(x-c)$, $g(x)-g(c)=\psi(x)(x-c)$ 라 쓰면 $f(x)g(x)-f(c)g(c) = f(x)g(x)-f(c)g(x)+f(c)g(x)-f(c)g(c) = \varphi(x)(x-c)g(x)+f(c)\psi(x)(x-c) = [\varphi(x)g(x)+f(c)\psi(x)](x-c)$ — 대괄호 안이 $c$ 에서 연속이고 $x=c$ 에서 값 $\varphi(c)g(c)+f(c)\psi(c)=f'(c)g(c)+f(c)g'(c)$, 이것이 $(fg)'(c)$.
$f'(x)=3x^2\ge0$ 이므로 $f$ 는 (강)증가함수 — $0$ 근처 양쪽에서 $f(x)<f(0)<f(y)$ ($x<0<y$)이므로 $0$ 은 극대도 극소도 아님.
$f,g$ 가 $a$ 에서 $0$ 으로 가고 Cauchy MVT $\big(f(x)-f(a)\big)g'(c)=\big(g(x)-g(a)\big)f'(c)$ 에서 $f(a)=g(a)=0$ 을 대입하면 $f(x)g'(c)=g(x)f'(c)$, 즉 $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$ ($c$ 는 $a$ 와 $x$ 사이) — $x\to a$ 이면 $c\to a$ 도 강제되어 $\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(c)}{g'(c)}$.

개요 — 동기·문제의식

직관

정의

Caratheodory 특성화 (Bartle)

주요 정리

예제

흔한 오해와 함정

큰 그림 / 연결

연습문제

관련 개념