거리공간

개요 — 동기·문제의식

미적분의 모든 정리($\varepsilon$–$\delta$ 연속, 수열의 수렴, 콤팩트성)는 본질적으로 "두 점이 얼마나 가까운가"라는 단 하나의 정보만 사용한다. $\mathbb{R}$ 에서는 그 거리가 $|x-y|$ 이지만, 같은 논증이 복소평면, 유클리드 공간, 심지어 함수들의 공간에서도 글자 하나 바꾸지 않고 통한다는 것을 알아채면 자연스러운 질문이 생긴다: "거리"라는 개념 자체를 공리화하면 어떨까? 거리공간은 이 질문에 대한 답이며, 그 보상은 막대하다 — $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{R}^k$, 함수공간을 위해 같은 정리를 네 번 증명할 필요 없이 한 번만 증명하면 된다는 것이다. Rudin이 책 전체를 이 언어로 쓰는 이유가 바로 이 경제성이다.

직관

거리공간의 핵심 그림은 "자(ruler)를 추상화한다"는 것이다 — 두 점 사이에 숫자 하나(거리)를 매기는 규칙만 있으면, 그 규칙이 상식적인 세 가지 요구(같은 점끼리는 거리 $0$, 거리는 대칭, 삼각부등식)를 만족하는 한 "가까움"과 "수렴"과 "연속"을 정의할 수 있다. 놀라운 점은 그 "공간"이 점들로 이루어진 평범한 집합일 필요가 없다는 것이다 — 함수들의 모임에 "두 함수의 최대 차이"를 거리로 주면 함수들이 거리공간의 "점"이 되고, 함수열의 수렴이 정확히 균등수렴이 된다(균등수렴). 거리공간 개념의 위력은 바로 이 추상화 — "점"이 무엇이든 상관없이 거리만 정의되면 미적분의 모든 극한 기계가 작동한다는 것에 있다.

정의

거리공간

집합 $X$ 와 거리함수(metric) $d : X \times X \to \mathbb{R}$ 가 모든 $p, q, r \in X$ 에 대해 다음을 만족하면 $(X, d)$ 를 거리공간이라 한다:¹

(a) $p \ne q$ 이면 $d(p,q) > 0$, 그리고 $d(p,p) = 0$ (양정치성); (b) $d(p,q) = d(q,p)$ (대칭성); (c) $d(p,q) \le d(p,r) + d(r,q)$ (삼각부등식).

대표 예는 유클리드 공간 $\mathbb{R}^k$ — 특히 $\mathbb{R}^1$(실직선)과 $\mathbb{R}^2$(복소평면) — 로 $d(x,y) = |x-y|$.² 중요하게도, 거리공간 $X$ 의 모든 부분집합 $Y$ 는 같은 $d$ 로 그 자체가 거리공간이 되며³, 이로써 "$Y$ 에 상대적으로 열린 집합" 같은 부분공간 논의가 일관되게 가능해진다.

위상 어휘 (Rudin §2.18)

거리로부터 다음 개념들이 한꺼번에 정의된다:⁴

• 근방(neighborhood): $N_r(p) = \{q : d(p,q) < r\}$.
• 내부점(interior point): $E$ 안에 $p$ 의 근방이 통째로 들어가는 점.
• 극한점(limit point): $p$ 의 모든 근방이 $E$ 의 $p$ 아닌 점을 포함.
• 고립점(isolated point): $E$ 의 원소이지만 $E$ 의 극한점은 아닌 점.
• 열린 집합(open): 모든 점이 내부점 / 닫힌 집합(closed): 모든 극한점을 포함.
• 내부·폐포(closure): $\bar E = E \cup \{E\text{의 극한점}\}$.
• 조밀(dense): $\bar E = X$.

핵심 정리: $E$ 가 열림 $\iff$ $E^c$ 가 닫힘; 열린 집합의 임의 합집합·유한 교집합은 열림(닫힌 집합은 거꾸로 — 임의 교집합·유한 합집합).

주요 정리

정리 1. 모든 근방 $N_r(p)$ 는 열린 집합이다.

정리 2. $X$ 의 부분집합 $E$ 가 닫힘 $\iff$ $E$ 가 자신의 모든 극한점을 포함.

정리 3. 폐포 $\bar E = E\cup\{E\text{의 극한점}\}$ 는 $E$ 를 포함하는 가장 작은 닫힌 집합이다.

정리 4. 수열·연속·콤팩트성·연결성이 모두 이 한 틀에서 정의되어, $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^n$, $\mathbb{C}$ 가 특수 경우로 상속된다 → 수열의 수렴, 연속, 콤팩트성, connectedness.

예제

예제 1 (이산거리). $d(p,q) = 1\ (p\ne q),\ 0\ (p=q)$ — 모든 집합이 열림과 동시에 닫힘(임의의 $p$ 에 대해 $N_{1/2}(p)=\{p\}$ 자체가 열린 집합이므로). 거리공간 공리는 만족하지만 위상적으로 가장 "지루한" 공간 — 모든 함수가 연속이고 모든 수열이 결국 상수여야만 수렴한다.

예제 2 (함수공간 $\mathscr{C}(X)$). 콤팩트 $X$ 위 연속함수들에 $d(f,g) = \sup|f-g|$ — 균등수렴이 곧 이 거리의 수렴 → 균등수렴, stone weierstrass. 삼각부등식은 $\sup|f-h|\le\sup|f-g|+\sup|g-h|$ 로, 각 점에서의 보통 삼각부등식을 $\sup$ 으로 들어올린 것.

예제 3 (부분공간이지만 완비가 아님). $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ 는 같은 거리로 거리공간이지만 완비가 아니다 — $\sqrt2$ 로 수렴하는 유리수 Cauchy 수열이 $\mathbb{Q}$ 안에 극한을 갖지 못한다(완비성 공리).

예제 4 ($\mathbb{R}^2$ 에서 열린 집합과 닫힌 집합의 비대칭). 반열린구간 $[0,1)$ 은 $\mathbb{R}$ 에서 열려 있지도 닫혀 있지도 않다 — $0$ 은 내부점이 아니고($N_r(0)$ 이 항상 음수를 포함), $1$ 은 $[0,1)$ 의 극한점이지만 그 집합 안에 없다(둘 다 위배).

예제 5 (이산공간이 아닌데도 모든 점이 고립점일 수 없음을 보여주는 대조). $E=\{1, 1/2, 1/3, \dots\}\subset\mathbb{R}$ 에서 모든 $1/n$ 은 고립점이지만, $0$ 은 $E$ 의 극한점이면서 $E$ 자체에는 속하지 않을 수 있다 — $E$ 는 닫혀 있지 않고, $\bar E = E\cup\{0\}$.

예제 6 (이상거리 — 가짜 거리공간 주의). $d(x,y)=(x-y)^2$ 은 $\mathbb{R}$ 위에서 (a), (b)는 만족하지만 삼각부등식이 실패할 수 있다 — $d(0,2)=4$, $d(0,1)+d(1,2)=1+1=2<4$. 거리공리 셋을 모두 검증해야 함을 일깨우는 반례.

흔한 오해와 함정

• "열린 집합은 직관적으로 '경계가 없는' 집합"이라고만 이해 — 정확한 기준은 모든 점이 내부점이라는 것. 이산공간처럼 모든 부분집합이 동시에 열리고 닫힌 경우(clopen)도 있어 "열림"과 "닫힘"이 서로 배타적이지 않다는 점에 주의.
• 닫힌 집합을 "열리지 않은 집합"으로 오해 — $[0,1)$ 처럼 열리지도 닫히지도 않은 집합이 흔하다(예제 4). 닫힘은 여집합이 열림이라는 독립적 조건이다.
• 삼각부등식을 자명한 것으로 가정하고 검증을 생략 — 예제 6처럼 그럴듯해 보이는 함수가 실제로는 거리함수가 아닐 수 있다. 새로운 거리를 정의할 때마다 세 공리를 모두 확인해야 한다.
• 유한 교집합과 임의 교집합의 비대칭을 혼동 — 열린 집합의 임의 합집합과 유한 교집합은 열리지만, 임의 교집합은 열리지 않을 수 있다(예: $\bigcap_n (-1/n,1/n)=\{0\}$, 점 하나는 $\mathbb{R}$ 에서 열려 있지 않다). 닫힌 집합은 거꾸로 임의 교집합·유한 합집합.
• 거리공간의 "부분공간" 위상과 원래 공간의 위상을 혼동 — $Y\subset X$ 에서 "$Y$ 에서 열림"은 $Y\cap U$ ($U$ 가 $X$ 에서 열림) 꼴이어야 하며, $X$ 에서 열린 집합이 아닐 수 있다(예: $[0,1)$ 은 $[0,2]$ 의 부분공간으로는 열려 있다 — $[0,1)=[0,2]\cap(-1,1)$).

큰 그림 / 연결

거리공간은 이 위키의 두 번째 절반 전체가 서는 무대다 — 수열의 수렴의 수렴, 연속의 연속, 콤팩트성의 콤팩트성, connectedness의 연결성이 모두 거리(또는 그로부터 나온 열린 집합)만으로 정의된다. 이 추상화의 다음 단계는 거리조차 빼고 "열린 집합의 모임"만 공리화하는 일반 위상공간이며, 거리공간은 그 특수한 경우(거리화 가능 공간)다. 함수해석학에서는 균등수렴의 거리 $d(f,g)=\sup|f-g|$ 가 함수공간을 거리공간으로 만들고, 그 공간이 완비일 때(Cauchy 함수열이 항상 수렴) Banach 공간이라 부른다 — 완비성 공리의 여섯 동치 형태 중 "Cauchy 완비성"이 점들의 공간을 넘어 함수들의 공간으로 일반화되는 첫걸음이다.

연습문제

1. 거리공간의 세 공리를 이용해 $d(p,q)\ge0$ 이 (별도 공리가 아니라) 자동으로 따라옴을 증명하라(힌트: $d(p,p)=0$ 과 삼각부등식 사용).
2. $\mathbb{R}^2$ 에서 $d_1(x,y)=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|$ (택시 거리)가 거리함수의 세 공리를 만족함을 확인하라.
3. 예제 6의 $d(x,y)=(x-y)^2$ 이 삼각부등식을 위배함을 구체적 수치로 보여라.
4. $E=(0,1)$ 이 $\mathbb{R}$ 에서 열려 있지만 닫혀 있지 않음을 정의로부터 증명하라.
5. 이산거리공간에서 모든 부분집합이 열려 있음을 보여라.
6. 정리 1을 직접 증명하라(근방이 열린 집합임을 삼각부등식으로).
7. $\mathbb{Q}$ 가 $\mathbb{R}$ 안에서 조밀함을 보여라($\bar{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$).
8. 함수공간 $\mathscr{C}([0,1])$ 에서 $d(f,g)=\sup_{[0,1]}|f-g|$ 가 삼각부등식을 만족함을 증명하라.

관련 개념

• 콤팩트성 — 이 틀에서 정의(Rudin) vs 늦게(Bartle)
• connectedness — 마찬가지
• 수열의 수렴 — Rudin은 수렴을 거리공간 일반으로 진술
• 연속 — Rudin의 연속은 거리공간 정의
• 완비성 공리 — 완비 거리공간 개념의 토대
• 균등수렴 — 함수공간을 거리공간으로 만드는 거리
• rudin vs bartle — 이 페이지가 닻을 내리는 철학 대비