코시 적분공식

개요

Cauchy 정리가 "닫힌 적분 = 0"이라면, Cauchy 적분공식(CIF)은 한 걸음 더 나아가 "경계값이 내부의 모든 값을 결정한다"고 말한다. 더 놀랍게는, 같은 공식을 미분하면 모든 차수의 도함수가 경계적분으로 표현되어 — 한 번 해석적이면 무한 번 미분가능이라는 복소해석의 가장 충격적인 사실이 따라 나온다. 실해석학에서는 한 번 미분가능해도 두 번째 도함수가 존재하지 않는 함수가 흔하다(예: $f(x)=x|x|$); 복소해석학에서는 그런 일이 결코 일어나지 않는다. 이 페이지가 분야의 진짜 분수령이다.

직관 — 경계가 내부를 "투표"로 결정한다

CIF를 $f(z_0) = \dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(z_0+re^{i\theta})\,d\theta$ (평균값 성질, 아래)로 다시 쓰면, 중심값은 원 위 모든 값의 단순 평균이다. 이것이 의미하는 바는 강력하다: 해석함수는 내부에 자유도가 전혀 없고, 경계 위의 정보가 내부 전체를 완전히 "투표"로 결정한다. 직관적으로 비누막(soap film)이나 정상상태 온도 분포처럼, 경계 조건만 정해지면 내부의 평형 상태가 유일하게 결정되는 그림과 같다(harmonic functions의 평균값 성질·최대 원리와 정확히 같은 메커니즘). 도함수 공식은 한 걸음 더 나아가 "경계가 $f$ 자체뿐 아니라 $f$의 모든 변화율까지도 결정한다"는 것을 말해준다 — 함수가 한 점에서 미분가능하기만 하면, 그 점 근방에서 무한히 매끄럽게 행동할 수밖에 없다는 강한 경직성(rigidity)의 표현이다.

정의 / 진술

Cauchy 적분공식.¹ $f$가 단순연결 영역에서 해석적이고 $C$가 그 안의 단순닫힌 윤곽(양의 방향), $z_0$가 $C$ 내부면 $$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z - z_0}\,dz.$$

일반화된 CIF (도함수 공식). 같은 가정에서 $f$는 $C$ 내부에서 모든 차수의 도함수를 가지며 $$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}}\,dz,\qquad n = 0,1,2,\dots$$

주요 정리

정리 (CIF).¹ 위 공식이 성립한다.

정리 (해석 ⟹ $C^\infty$, 도함수 공식).² 도함수 공식에서, 해석함수는 자동으로 무한 번 미분가능하고 각 도함수도 해석적이다.

정리 (Morera 정리, CIF의 역).³ $f$가 영역 $D$에서 연속이고 $D$ 안의 모든 닫힌 윤곽 $C$에 대해 $\oint_C f\,dz=0$이면, $f$는 $D$에서 해석적이다.

정리 (Cauchy 추정, Cauchy estimate). $|f|\le M$ on $|z-z_0|=r$이면 $$|f^{(n)}(z_0)| \le \frac{n!\,M}{r^n}.$$

정리 (평균값 성질). $z_0$ 중심 반지름 $r$ 원에서 $z = z_0+re^{i\theta}$, $dz=ire^{i\theta}d\theta$ 대입: $$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\int_0^{2\pi}\frac{f(z_0+re^{i\theta})}{re^{i\theta}}\cdot ire^{i\theta}\,d\theta = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(z_0 + re^{i\theta})\,d\theta.$$ 중심값 = 원 위 값의 평균. 실부를 취하면 harmonic functions의 평균값 성질(Gauss 평균값 정리)이 바로 이것이다 — 조화함수론 전체가 사실상 이 한 줄의 그림자다.

예제

예제 1. $\displaystyle\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z}\,dz$. $f(z)=e^z$, $z_0=0$ 내부 ⟹ $2\pi i\,f(0) = 2\pi i\cdot1 = 2\pi i$.

예제 2. $\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{\cos z}{z - \pi/2}\,dz$? $z_0=\pi/2\approx1.57$는 $|z|=2$ 내부. $= 2\pi i\cos(\pi/2) = 0$.

예제 3 (도함수 공식). $\displaystyle\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^3}\,dz$. $f=e^z$, $n=2$, $z_0=0$: $\dfrac{2\pi i}{2!}f''(0) = \pi i\cdot e^0 = \pi i$.

예제 4 (부분분수 + CIF). $\displaystyle\oint_{|z|=3}\frac{z}{(z-1)(z-2)}\,dz$. 두 특이점 모두 내부. 각각 CIF: $z_0=1$의 유수 $\dfrac{1}{1-2}=-1$, $z_0=2$의 유수 $\dfrac{2}{2-1}=2$. 합 $\times2\pi i = 2\pi i(−1+2)=2\pi i$.

예제 5 (Cauchy 추정의 직접 적용). $f$가 전해석이고 $|z|=10$ 위에서 $|f(z)|\le 100$이라 하자. Cauchy 추정으로 $|f''(0)| \le \dfrac{2!\cdot100}{10^2} = 2$. 만약 $|f(z)|\le M$가 모든 $z$에 대해(반지름 무관하게) 성립한다면 $r\to\infty$로 $|f''(0)|\le 2M/r^2 \to 0$, 즉 $f''(0)=0$ — 이런 식으로 Cauchy 추정을 모든 점·모든 도함수에 적용하면 $f$가 다항식임을 보일 수 있다(차수가 제한된 성장이면).

예제 6 (Morera 정리로 해석성 증명). $f_n(z) = \sum_{k=0}^n z^k/k!$ (지수함수의 부분합)는 각각 다항식이라 해석적이고, $f_n\to e^z$ 컴팩트 균등수렴(sequences series uniform convergence). 임의의 닫힌 윤곽 $C$에서 $\oint_C f_n \to \oint_C e^z\,dz$(균등수렴은 항별 적분을 허용)이고 $\oint_C f_n = 0$(다항식, 원시함수 존재)이므로 $\oint_C e^z\,dz=0$ for all $C$. $e^z$가 연속임은 자명하므로 Morera 정리로 $e^z$가 해석적 — 멱급수로 직접 미분하지 않고도 극한함수의 해석성을 보이는 대안 경로다.

흔한 오해와 함정

• "CIF는 $z_0$가 경계 위에 있어도 쓸 수 있다" — 아니다. $z_0$는 반드시 $C$의 내부에 있어야 한다; 경계 위에서는 피적분함수가 정의되지 않고, 외부에 있으면 적분이 $0$이 된다(코시 정리의 직접 결과).
• "도함수 공식은 적분 안의 $f$를 그냥 미분하면 끝이다" — 직관적으로는 맞지만, "적분기호 아래 미분"이 정당화되려면 균등수렴성 논증(또는 차분몫의 직접 추정)이 필요하다. 이것이 본 페이지 증명에서 가장 기술적인 단계다.
• "실해석학에서도 똑같이 성립할 것" — 전혀 아니다. 실변수 함수는 $n$번 미분가능해도 $(n+1)$번째 도함수가 없을 수 있다 (예: $f(x)=x^{11/5}$). 복소해석학에서 "해석적 ⟹ $C^\infty$"가 자동인 것은 순전히 CIF 덕분이며, 이것이 복소·실 미분가능성의 근본적 차이를 드러내는 사실이다.
• "평균값 성질은 조화함수에만 있는 특별한 성질" — 사실은 해석함수의 CIF에서 곧바로 따라 나오는 성질이고, 조화함수의 평균값 성질은 그 실부를 취한 결과일 뿐이다(harmonic functions).

큰 그림 / 연결

CIF는 코시 정리에서 시작된 적분 이론을 함수 자체의 정보 복원 도구로 뒤집는다. 도함수 공식은 멱급수와 테일러 정리의 테일러 전개 증명에 직접 쓰이고(계수 $a_n=f^{(n)}(z_0)/n!$가 CIF의 적분으로 표현), Cauchy 추정은 리우빌 정리와 귀결들에서 유계 전해석함수가 상수임을 보이는 데 결정적이다. Morera 정리는 균등수렴하는 해석함수열의 극한이 해석적임을 보이는 표준 증명 경로이며(sequences series uniform convergence), 평균값 성질은 harmonic functions 전체 이론의 시작점이다. 더 나아가 CIF의 변형은 유수 정리와 실적분에서 극(pole)을 가진 함수까지 다루도록 일반화된다 — "$z_0$를 감싸는 적분이 $z_0$에서의 정보를 추출한다"는 한 줄의 아이디어가 분야 전체를 떠받친다.

연습문제

1. $\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{\sin z}{z}\,dz$를 계산하라.
2. $\displaystyle\oint_{|z|=1}\frac{e^{2z}}{z^4}\,dz$를 도함수 공식으로 계산하라.
3. $\displaystyle\oint_{|z|=3}\frac{dz}{z^2 - 1}$를 CIF로 계산하라.
4. $f$가 전해석이고 $|f(z)|\le 5$ for all $z$이면 $|f'(0)|$의 상한을 임의 $r$로 추정하고, $r\to\infty$의 결론을 말하라.
5. $\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{z^2+1}{(z-1)^3}\,dz$를 도함수 공식으로 계산하라.
6. Morera 정리를 이용해, $D$에서 컴팩트 균등수렴하는 해석함수열 $\{f_n\}$의 극한 $f$가 해석적임을 증명하는 논증의 개요를 서술하라.
7. CIF의 평균값 성질 버전을 이용해, $|z|\le1$에서 해석적이고 $|f(z)|\le M$이면 $|f(0)|\le M$임을 (자명하지만) 직접 적분으로 확인하라.

관련 개념

• 코시 정리 — CIF의 토대
• 리우빌 정리와 귀결들 — Cauchy 추정의 응용
• 멱급수와 테일러 정리 — Taylor 정리의 증명 도구
• 유수 정리와 실적분 — CIF의 일반화
• harmonic functions — 평균값 성질의 실수 버전
• sequences series uniform convergence — Morera 정리를 통한 해석적 극한