III. 해석함수 · 5/16

코시–리만 방정식

복소미분, CR 방정식, 미분가능성 판정

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

복소미분가능성은 실미분가능성과 차원이 다른 조건이다. 도함수 $$f'(z_0) = \lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$$ 가 존재하려면, $z$가 어느 방향에서 $z_0$로 다가가도 같은 극한이 나와야 한다. 실함수는 좌·우 두 방향만 비교하면 끝나지만, 복소함수는 실축·허축·대각선·나선형 등 무한히 많은 접근 방식을 동시에 비교해야 한다. 이 "방향 독립성"을 실부·허부로 풀어쓴 것이 Cauchy–Riemann(CR) 방정식이다. CR 방정식은 복소해석 전체의 출입구다 — 해석성의 정의가 여기서 나오고, 이후 모든 강력한 정리가 이 조건 위에 선다. 이 페이지의 목표는 단지 공식을 외우는 게 아니라, 왜 두 개의 편미분 등식이 "무한히 많은 방향에서 같은 극한"이라는 조건과 정확히 같은지를 증명으로 확인하는 것이다.

직관 — 야코비 행렬이 회전+확대로 굳어지는 조건

$f=u+iv$를 $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ 사상으로 보면 야코비 행렬은 $$J = \begin{pmatrix}u_x & u_y\\ v_x & v_y\end{pmatrix}.$$ 일반적인 실미분가능 함수는 이 행렬이 임의의 $2\times2$ 행렬(4개의 자유도)일 수 있다 — 늘이고 찌그러뜨리고 기울이는 임의의 선형변환. CR 방정식 $u_x=v_y$, $u_y=-v_x$를 대입하면 이 행렬이 $$J = \begin{pmatrix}a & -b\\ b & a\end{pmatrix} = \sqrt{a^2+b^2}\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$$ 꼴(자유도 2개)로 강제로 묶인다 — 정확히 회전 행렬의 스칼라배다. 즉 CR 방정식은 "이 점에서 $f$의 선형 근사가 복소수 $f'(z_0)=a+ib$를 곱하는 것과 같다"는 조건을 좌표로 펼쳐쓴 것에 지나지 않는다(아래 등각성 정리에서 다시 정밀하게 확인). 직교하는 두 방향(실축·허축)에서 미분을 비교했을 때 행렬이 이 특수한 꼴로 떨어져야 한다는 것이, 결국 "모든 방향에서 같은 극한"이라는 까다로운 조건을 단 두 개의 대수적 등식으로 압축해낸 결과다.

정의

$f(z) = u(x,y) + i\,v(x,y)$가 $z_0 = x_0 + iy_0$에서 복소미분가능하다는 것은 극한 $$f'(z_0) = \lim_{\Delta z\to0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$$ 가 $\Delta z\to0$의 방식에 무관하게 존재함을 뜻한다.

Cauchy–Riemann 방정식: $$\boxed{\,u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x\,}$$ 극형식($z = re^{i\theta}$)에서는 $u_r = \dfrac1r v_\theta$, $v_r = -\dfrac1r u_\theta$.

주요 정리

정리 (CR은 필요조건).¹ $f=u+iv$가 $z_0$에서 미분가능하면 $u_x, u_y, v_x, v_y$가 $z_0$에서 존재하고 CR 방정식을 만족한다. 또한 $$f'(z_0) = u_x + iv_x = v_y - iu_y.$$

증명 보기

증명 스케치. 실축 방향($\Delta z = \Delta x$)으로 극한을 취하면 $f' = u_x + iv_x$. 허축 방향($\Delta z = i\Delta y$)으로 취하면 $f' = \dfrac{1}{i}(u_y + iv_y) = v_y - iu_y$. 두 표현이 같아야 하므로 실부·허부 비교 ⟹ $u_x=v_y$, $v_x=-u_y$. ∎

정리 (CR + 연속 편도함수 = 충분조건).² $u,v$가 영역 $D$에서 연속인 1차 편도함수를 갖고 $D$의 모든 점에서 CR 방정식을 만족하면, $f$는 $D$에서 해석적이다.

증명 보기

증명 스케치 (2변수 평균값 정리를 경유). 편도함수가 연속이면 2변수 평균값 정리꼴의 전개 $$f(x+h,y+k)-f(x,y) = f_x(x,y)h + f_y(x,y)k + \varepsilon_1 h + \varepsilon_2 k\qquad(\varepsilon_1,\varepsilon_2\to0\text{ as }h,k\to0)$$ 가 $u,v$ 각각에 성립한다(실함수 평균값 정리를 두 변수에 순차 적용 — 먼저 $y$를 고정하고 $x$방향, 그다음 $y$방향). CR 방정식 $u_y=-v_x$, $v_y=u_x$를 합쳐 Wirtinger꼴로 쓰면 $f_y = if_x$ (즉 $f_y(x,y)=if_x(x,y)$). 이를 차이몫에 대입하면 $$\frac{f(z+h+ik)-f(z)}{h+ik} = \frac{f_x h + if_x k + \varepsilon_1h+\varepsilon_2k}{h+ik} = f_x + \left(\varepsilon_1\frac{h}{h+ik}+\varepsilon_2\frac{k}{h+ik}\right).$$ $\left|\frac{h}{h+ik}\right|,\left|\frac{k}{h+ik}\right|\le1$이므로 괄호 안은 $h,k\to0$일 때 $0$으로 수렴 — 따라서 극한이 $h,k\to0$의 방식에 무관하게 존재하고 $f'(z)=f_x(x,y)=u_x+iv_x$. ∎ 주의. CR 방정식만으로는 부족하다 — 편도함수의 연속성이 빠지면 충분조건이 깨진다(예제 4의 반례). "한 점"에서의 미분가능성을 목표로 한다면 그 점에서만의 연속성으로 더 약한 정리를 쓸 수도 있지만, 복소해석학에서 정말 중요한 것은 점에서의 미분가능성이 아니라 영역에서의 해석성이다.²

정리 (CR의 기하: 등각성). $f'(z_0)\ne0$이면 $f$는 $z_0$에서 각을 보존한다(등각, conformal). 위 직관에서 보였듯 CR 방정식은 "$f$의 야코비 행렬이 회전+확대(스칼라배 직교행렬)"라는 조건과 동치이고, 회전+확대는 정의상 두 곡선 사이의 교각을 바꾸지 않는다(같은 회전을 두 접벡터 모두에 가하므로 둘 사이의 상대각은 불변) — 등각성은 CR 방정식의 기하적 번역어일 뿐, 별개의 새로운 가정이 아니다.

Wirtinger 관점. $\dfrac{\partial}{\partial\bar z} = \tfrac12\left(\dfrac{\partial}{\partial x} + i\dfrac{\partial}{\partial y}\right)$로 두면, CR 방정식은 한 줄로: $$\frac{\partial f}{\partial \bar z} = 0.$$ 즉 "$f$가 $\bar z$에 의존하지 않는다"가 해석성이다. $f(z)=\bar z$가 해석적이지 않은 이유가 즉시 보인다.

예제

예제 1. $f(z) = z^2 = (x^2-y^2) + i(2xy)$. $u=x^2-y^2$, $v=2xy$: $$u_x = 2x = v_y,\quad u_y = -2y = -v_x.\ \checkmark$$ CR 만족, 편도함수 연속 ⟹ 어디서나 미분가능, $f'(z) = u_x + iv_x = 2x + i2y = 2z$. 예상대로.

예제 2 (해석적이지 않은 예). $f(z) = \bar z = x - iy$. $u=x, v=-y$: $u_x = 1$, $v_y = -1$ ⟹ $u_x \ne v_y$. CR 방정식이 어디서도 성립하지 않음 ⟹ $\bar z$는 연속이지만 어디서도 미분 불가.

예제 3 (한 점에서만). $f(z) = |z|^2 = x^2+y^2$. $u = x^2+y^2$, $v=0$: $u_x = 2x = v_y = 0 \Rightarrow x=0$; $u_y = 2y = -v_x = 0 \Rightarrow y=0$. CR은 원점에서만 성립 ⟹ $f$는 $z=0$에서만 미분가능($f'(0)=0$)하고 해석적이지 않다(어떤 열린집합에서도 해석 아님).

예제 4 (CR만으론 부족). $f(z) = \begin{cases}\dfrac{\bar z^2}{z}& z\ne0\\ 0& z=0\end{cases}$은 원점에서 CR을 만족하지만 미분불가 — 편도함수 연속성 가정의 필요성을 보여주는 고전적 예. (직접 확인: 실축·허축 방향 차이몫은 모두 $0$으로 수렴해 CR을 통과하지만, $z=(1+i)t$ 같은 대각선 방향으로는 다른 값으로 수렴 — 방향에 따라 다른 극한이 나오므로 미분 불가능.)

예제 5 (극형식 CR의 활용). $f(z) = \operatorname{Log} z$가 $\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$에서 해석적임을 극형식 CR로 확인하자. $u=\ln r$, $v=\theta$이므로 $u_r = 1/r$, $v_\theta=1$ ⟹ $u_r = \frac1r v_\theta$ 성립; $u_\theta=0$, $v_r=0$ ⟹ $v_r=-\frac1ru_\theta$도 성립. 직교좌표로 다시 변환하지 않고도 극형식 CR 하나로 로그함수의 해석성을 즉시 확인할 수 있다 — 원형 대칭을 가진 함수(로그, 거듭제곱, $1/z$ 등)에서는 극형식 CR이 직교좌표보다 훨씬 빠르다.

예제 6 (등각성이 깨지는 점). $f(z)=z^2$에서 $f'(z)=2z$이므로 $f'(0)=0$ — 원점에서만 등각성이 깨진다. 실제로 원점에서 직교하는 두 직선(예: 양의 실축과 양의 허축)을 $f$로 보내면 각각 양의 실축 두 벌(각도 $0$인 반직선)로 겹쳐 사상되어 교각이 $\pi/2$에서 $0$으로 짓눌린다 — $f'(z_0)=0$이면 야코비 행렬이 회전+확대(가역) 꼴이 아니라 퇴화하므로, 등각성 정리의 "$f'(z_0)\ne0$" 가정이 빠지면 안 되는 이유를 보여주는 정량적인 예다.

흔한 오해와 함정

"CR 방정식이 성립하면 해석적이다" — 가장 흔한 함정. CR은 미분가능성의 필요조건일 뿐, 편도함수의 연속성이 추가로 필요하다(예제 4). "CR 만족 + 편도함수 연속"이 충분조건의 전체 패키지임을 항상 함께 확인해야 한다.
"CR이 한 점에서 성립하면 그 점 근방에서도 해석적이다" — 별개의 주장. CR이 한 영역 전체에서 성립하고 편도함수가 연속이어야 그 영역에서 해석적이다(정리의 가정이 "영역 $D$"임에 주의). $|z|^2$는 원점 한 점에서만 CR을 만족하지만 어떤 근방에서도 해석적이지 않다.
"실미분가능하면 복소미분가능" — $\mathbb{R}^2$ 함수로서의 (전)미분가능성(야코비 행렬이 존재)과 복소미분가능성은 다른 조건이다. $f(z)=\bar z$는 $\mathbb{R}^2$ 함수로서 매끄럽지만(야코비 행렬 $\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$이 잘 정의됨) 복소미분 불가능하다 — 그 행렬이 회전+확대 꼴이 아니기 때문(반사가 섞여 있다).
"등각성은 모든 점에서 자동으로 성립한다" — $f'(z_0)=0$인 점에서는 등각성이 깨진다(예제 6). 등각사상이라는 말을 쓸 때는 암묵적으로 $f'\ne0$인 영역으로 국한하고 있음을 기억해야 한다.

큰 그림 / 연결

CR 방정식은 이 위키의 분기점이다 — 해석함수에서 해석성을 판정하는 실전 도구로 쓰이고, $u,v$가 CR을 만족한다는 사실에서 곧장 $u,v$가 조화함수(harmonic functions)라는 결론이 따라 나온다($u_{xx}+u_{yy}=(v_y)_x-(v_x)_y=v_{yx}-v_{xy}=0$, 단 $v$의 2차 편도함수가 연속이라는 가정 아래 혼합편미분이 교환됨을 사용 — 이 사실은 해석함수가 $C^\infty$라는 깊은 정리가 증명된 뒤에 완전히 정당화된다). 등각성은 뫼비우스 변환·conformal mapping riemann에서 영역을 다른 영역으로 보내는 기하적 도구의 정당성의 근원이고, "방향 독립성"이라는 원래의 동기는 복소적분에서 해석함수의 윤곽적분이 경로에 무관해지는 이유(코시 정리)와 결이 같은 아이디어다 — 둘 다 "국소적으로 충분히 잘 행동하는 함수는 전역적인 독립성(경로 무관·방향 무관)을 얻는다"는 복소해석학의 한 주제의 변주다.

연습문제

$f(z) = e^z$가 CR을 만족하고 $f'=e^z$임을 확인하라.
$f(z) = z^3$의 도함수를 CR로 구하라.
$f(z) = \operatorname{Re}(z) = x$는 어디서 미분가능한가?
$u = x^3 - 3xy^2$가 어떤 해석함수의 실부가 될 수 있는지 CR로 판단하고, 가능하면 $v$를 구하라.
$f(z) = z\,e^{-z}$가 전해석임을 CR로 보이고 도함수를 구하라.
극형식 CR $u_r=\frac1rv_\theta$, $v_r=-\frac1ru_\theta$를 직교좌표 CR로부터 연쇄법칙($x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$)으로 직접 유도하라.
$f(z)=u+iv$가 해석적이고 $u^2=v$ (모든 $z$에서)이면 $f$가 상수임을 CR과 해석함수의 상수 판정 정리를 결합해 보여라.

힌트 / 정답

$u=e^x\cos y$, $v=e^x\sin y$. $u_x=e^x\cos y=v_y$, $u_y=-e^x\sin y=-v_x$. $f'=u_x+iv_x=e^x(\cos y+i\sin y)=e^z$.
$u = x^3-3xy^2$, $v=3x^2y-y^3$, $f' = u_x+iv_x = 3x^2-3y^2 + i6xy = 3z^2$.
$u=x,v=0$: $u_x=1\ne v_y=0$ ⟹ 어디서도 미분 불가.
$u_{xx}+u_{yy} = 6x - 6x = 0$ (조화) ⟹ 가능. $v_y=u_x=3x^2-3y^2 \Rightarrow v=3x^2y - y^3 + g(x)$; $v_x = 6xy + g'= -u_y = 6xy \Rightarrow g'=0$. $v = 3x^2y-y^3$ (+상수). $f = z^3$.
$f=ze^{-z}=(x+iy)e^{-x}(\cos y - i\sin y)$. 전개하면 $u=e^{-x}(x\cos y+y\sin y)$, $v=e^{-x}(y\cos y - x\sin y)$ (직접 곱셈). 편미분으로 CR 확인 후 $f'(z) = e^{-z}-ze^{-z}=(1-z)e^{-z}$ (실수 곱미분법칙과 동일하게 적용됨을 보임).
$u_r = u_x\cos\theta+u_y\sin\theta$, $u_\theta=-u_xr\sin\theta+u_yr\cos\theta$ (연쇄법칙); 마찬가지로 $v_r,v_\theta$. 직교 CR $u_x=v_y,u_y=-v_x$를 대입해 정리하면 $u_r = v_y\cos\theta-v_x\sin\theta$, $\frac1rv_\theta=-v_x\sin\theta+v_y\cos\theta$로 같아짐을 확인(유사하게 둘째 식).
$u^2=v$를 $x,y$로 편미분: $2uu_x=v_x$, $2uu_y=v_y$. CR로 $v_x=-u_y$, $v_y=u_x$ 대입: $2uu_x=-u_y$, $2uu_y=u_x$. 둘째 식을 첫째에 대입($u_y=2uu_x$ 대신 정리하면) $2u(2uu_x)=-u_x \Rightarrow u_x(4u^2+1)=0$. $4u^2+1>0$이므로 $u_x\equiv0$; 같은 방식으로 $u_y\equiv0$. $u$가 상수 ⟹ 해석함수 상수 판정 (iii)으로 $f$ 상수.