ℂ복소해석학
V. 코시 이론 · 9/16

코시 정리

코시–구르사, 경로 무관성, 변형 원리

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요

복소해석 전체에서 가장 중요한 한 줄: 단순연결 영역에서 해석적인 함수의 닫힌 윤곽적분은 0이다. 이 사실에서 경로무관성, 원시함수의 존재, Cauchy 적분공식, 그리고 그 뒤의 모든 정리가 줄줄이 따라 나온다. 직관적으로는 "해석함수는 보존장(potential field)과 같아서, 한 바퀴 돌아오면 일이 0"이라는 이야기다. 복소적분에서 본 "그린 정리를 통한 약한 버전"은 $f'$의 연속성을 가정했다; 이 페이지의 핵심은 그 가정을 완전히 제거하는 Goursat의 업적이다 — 해석성(미분가능성) 하나만으로 적분이 $0$임을 증명한다.

직관 — 보존장과 적분 영역의 "구멍"

벡터장의 비유를 이어가면, Cauchy 정리는 "해석함수가 사는 영역에 구멍이 없으면, 그 장은 완전히 보존적이다"라는 명제다. 핵심은 단순연결성(구멍이 없음)이다. $1/z$는 $\mathbb{C}\setminus\{0\}$에서 해석적이지만 이 영역은 원점이라는 "구멍"을 가지므로 단순연결이 아니고, 실제로 원점을 감싸는 폐곡선의 적분은 $0$이 아니다(예제 3). 반대로 폐곡선이 구멍을 감싸지 않으면 — 즉 폐곡선 내부 전체에서 함수가 해석적이면 — 적분은 항상 $0$이다. 변형 원리는 이 그림을 한 단계 더 정밀하게 만든다: 폐곡선을 고무줄처럼 늘이거나 줄여도, 그 변형 과정에서 특이점(구멍)을 가로지르지만 않으면 적분값이 그대로 유지된다 — 적분값은 "몇 개의 구멍을 감쌌는가"에만 의존하는 위상적(topological) 불변량이다.

정의 / 진술

Cauchy 정리.1 $f$가 단순연결 영역 $D$에서 해석적이고 $C$가 $D$ 안의 닫힌 윤곽이면 $$\oint_C f(z)\,dz = 0.$$

Cauchy–Goursat: 위 정리를 $f'$의 연속성 가정 없이 (해석성만으로) 증명한 형태. Goursat의 삼각형 보조정리가 핵심.

주요 정리

정리 (Cauchy–Goursat).1 $f$가 단순연결 영역 $D$에서 해석적이면 임의의 닫힌 윤곽 $C\subset D$에 대해 $\oint_C f\,dz = 0$.

증명 보기

증명 스케치 (Goursat의 삼각형 보조정리). 1. 삼각형에서: 삼각형 $\Delta$를 네 변의 중점을 이어 네 개의 합동인 작은 삼각형 $\Delta^{(1)},\dots,\Delta^{(4)}$로 분할한다. $\oint_\Delta f = \sum_{k=1}^4 \oint_{\Delta^{(k)}} f$ (내부 변들이 서로 반대 방향으로 두 번씩 적분되어 상쇄되므로). 따라서 적어도 하나의 $\Delta^{(k)}$는 $\left|\oint_{\Delta^{(k)}} f\right| \ge \frac14\left|\oint_\Delta f\right|$를 만족한다 — 그 삼각형을 $\Delta_1$로 선택하고 같은 분할을 반복해 $\Delta\supset\Delta_1\supset\Delta_2\supset\cdots$를 얻는다. 둘레는 $2^{-n}$배, $\left|\oint_{\Delta_n}f\right|\ge 4^{-n}\left|\oint_\Delta f\right|$로 통제된다. 2. 수렴점에서 선형근사: 축소하는 컴팩트 삼각형들의 교집합은 한 점 $z_0\in\Delta$로 수렴한다(칸토어 교집합 정리). $f$가 $z_0$에서 미분가능하므로 임의의 $\varepsilon>0$에 대해 $|z-z_0|$가 충분히 작으면 $f(z) = f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\eta(z)(z-z_0)$, $|\eta(z)|<\varepsilon$. 3. 선형부는 원시함수를 가지므로 적분이 $0$: $f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)$은 $z$의 다항식이라 원시함수를 가지고, 복소적분의 원시함수 정리에 의해 닫힌 삼각형 둘레의 적분이 $0$이다. 남는 것은 오차항 $\oint_{\Delta_n}\eta(z)(z-z_0)dz$뿐이며, ML 부등식으로 $\left|\oint_{\Delta_n}\eta(z-z_0)dz\right| \le \varepsilon\cdot(\text{둘레}_n)^2 = \varepsilon\cdot 4^{-n}(\text{둘레}_\Delta)^2$. 4. 결합: $\left|\oint_\Delta f\right| \le 4^n\left|\oint_{\Delta_n} f\right| \le 4^n\cdot\varepsilon\cdot4^{-n}(\text{둘레}_\Delta)^2 = \varepsilon(\text{둘레}_\Delta)^2$. $\varepsilon\to0$이므로 $\oint_\Delta f = 0$. 5. 다각형·일반 영역으로: 임의의 다각형은 삼각형들로 분할되고(내부 변 상쇄), 일반적인 닫힌 윤곽은 다각형 근사의 극한으로 처리한다. 단순연결성은 이 단계에서 — $C$를 $D$ 안에서 한 점으로 수축시켜 다각형 근사를 항상 $D$ 안에 머물게 하는 데 — 사용된다. ∎

이 증명의 놀라운 점은 연속 도함수를 가정하지 않는다는 것이다 — 미분가능성(해석성) 자체만으로 충분하다. (역설적으로, 코시 적분공식가 증명되고 나면 해석함수는 자동으로 무한 번 미분가능함이 따라 나와, 애초의 "연속 도함수" 가정이 항상 자동으로 성립했음이 사후적으로 밝혀진다.)

정리 (경로무관성). $f$가 단순연결 $D$에서 해석적이면, 적분 $\int_{z_1}^{z_2} f\,dz$는 두 점을 잇는 경로에 무관하다.

증명 보기

증명. 두 경로의 차는 닫힌 윤곽 ⟹ Cauchy 정리로 차가 $0$. ∎

정리 (원시함수의 존재). $f$가 단순연결 $D$에서 해석적이면 $F(z) = \int_{z_0}^z f(\zeta)\,d\zeta$가 잘 정의되고 $D$에서 해석적이며 $F' = f$. (경로 무관성이 적분의 잘 정의됨을 보장하고, 차분몫의 극한 계산이 $F'=f$를 준다 — 복소적분 정리의 역.)

정리 (변형 원리, deformation).2 $f$가 두 닫힌 곡선 $C_1, C_2$ 사이의 영역(고리 모양 포함)에서 해석적이고 $C_1$을 $C_2$로 연속변형할 수 있으면 $$\oint_{C_1} f\,dz = \oint_{C_2} f\,dz.$$

증명 보기

증명 스케치. $C_1$(바깥)과 $C_2$(안쪽, 같은 방향)를 짧은 "다리(cross-cut)"로 이어 하나의 단순폐곡선을 만들면, 다리를 왕복하는 부분은 상쇄되고 $\oint_{C_1} f - \oint_{C_2} f$가 다리로 연결된 영역(해석적인 고리 영역)의 경계 적분이 된다. 그 영역은 단순연결로 변형 가능하므로 Cauchy 정리에 의해 $0$. ∎

다중연결 버전 (Theorem 7.49). $D$가 바깥 경계 $C$와 안쪽 $n$개의 서로소 경계 $C_1,\dots,C_n$으로 둘러싸인 영역이고 $f$가 $D$의 폐포에서 해석적이면 $$\oint_C f\,dz = \sum_{k=1}^n \oint_{C_k} f\,dz$$ (모든 곡선을 같은 방향으로 잡았을 때). 같은 다리-연결 논증의 일반화다. — 유수 정리와 실적분의 기하적 골격이 바로 이것: 큰 윤곽 적분을, 각 특이점을 감싸는 작은 원들의 적분의 합으로 쪼갠다.

예제

예제 1. $\displaystyle\oint_{|z|=1} e^z\,dz = 0$. $e^z$는 전해석, 단위원판은 단순연결 ⟹ Cauchy 정리.

예제 2. $\displaystyle\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z-2} = 0$. 특이점 $z=2$가 단위원판 밖이므로 피적분함수는 원판에서 해석적 ⟹ $0$.

예제 3 (변형 원리). $\displaystyle\oint_C \frac{dz}{z}$, $C$가 원점을 한 번 감싸는 임의의 단순닫힌곡선. 원점 중심 작은 원으로 변형 ⟹ $2\pi i$ (경로 모양 무관, 원점을 감싸는지가 전부).

예제 4. $\displaystyle\oint_{|z|=3}\frac{dz}{z^2 - 1}$. 특이점 $\pm1$ 둘 다 안. 부분분수 $\dfrac{1}{z^2-1} = \dfrac12\left(\dfrac{1}{z-1}-\dfrac{1}{z+1}\right)$, 각 항 $\oint = 2\pi i$ ⟹ $\dfrac12(2\pi i - 2\pi i) = 0$.

예제 5 (다중연결 버전 직접 적용). $\displaystyle\oint_{|z|=3}\frac{dz}{z^2+4}$. 특이점은 $z=\pm2i$, 둘 다 $|z|<3$ 안. 부분분수 $\dfrac{1}{z^2+4}=\dfrac{1}{4i}\left(\dfrac{1}{z-2i}-\dfrac{1}{z+2i}\right)$이므로 다중연결 버전(또는 직접 부분분수)으로 $\oint = \dfrac{1}{4i}(2\pi i - 2\pi i) = 0$. 두 특이점의 "기여"가 정확히 상쇄되는 경우다 — 항상 $0$이 되는 것은 아니므로(유수 정리와 실적분에서 일반화), 우연이 아니라 이 특정 피적분함수의 대칭성 때문임에 주의.

예제 6 (Goursat 증명의 핵심 단계 직접 확인). $f(z)=z^2$, 삼각형 $\Delta$: 꼭짓점 $0,1,i$. $f$가 전해석이므로 $\oint_\Delta z^2\,dz=0$임을 원시함수 $z^3/3$으로 즉시 알 수 있다; Goursat 증명이 보여주는 것은 이를 원시함수 없이도(미분가능성만으로) 유도할 수 있다는 점이다 — 실전에서는 원시함수가 있으면 더 빠르지만, 원시함수의 존재 자체가 Cauchy 정리의 따름정리이므로 증명 단계에서는 순환논법을 피해야 한다.

흔한 오해와 함정

큰 그림 / 연결

Cauchy 정리는 복소해석학의 "대분기점"이다 — 여기서부터 코시 적분공식(닫힌 곡선 적분으로 함수값 자체를 복원), 그리고 그로부터 해석함수의 무한 미분가능성·테일러 전개·리우빌 정리와 귀결들까지, 거의 모든 심화 정리가 연쇄적으로 도출된다. 다중연결 버전은 유수 정리와 실적분의 직접적 골격이며, 변형 원리는 편각 원리와 루셰 정리에서 영점·극점의 개수를 세는 논증의 기하적 기반이기도 하다. 단순연결성이라는 위상적 조건의 중요성은 topology of the plane에서 더 형식적으로 다뤄진다.

연습문제

  1. $\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{dz}{z-3}$를 계산하라.
  2. $\displaystyle\oint_{|z|=1}\frac{\sin z}{z-5}\,dz$를 계산하라.
  3. $\displaystyle\oint_C \frac{dz}{z}$가 원점을 감싸지 않는 닫힌 윤곽에서 $0$임을 설명하라.
  4. $\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{dz}{z^2+4}$를 계산하라(특이점 위치 확인).
  5. $\displaystyle\oint_{|z|=1/2}\frac{dz}{z^2-4}$를 계산하라.
  6. Goursat 증명에서 4단계마다 적분의 추정치가 $4^{-n}$배로 줄어드는 이유를 둘레와 ML 부등식의 관계로 설명하라.
  7. 다중연결 영역 버전을 이용해 $\displaystyle\oint_{|z|=5}\frac{dz}{(z-1)(z-2)}$를 두 개의 작은 원 적분의 합으로 표현하고 계산하라.
힌트 / 정답
  1. 특이점 $3$이 밖 ⟹ $0$.
  2. 특이점 $5$가 밖, $\sin z$ 전해석 ⟹ 피적분함수 원판에서 해석적 ⟹ $0$.
  3. 원점이 영역 밖이면 $1/z$가 단순연결 영역에서 해석적 ⟹ Cauchy 정리로 $0$.
  4. 특이점 $\pm2i$, $|2i|=2$는 경계 위 — 적분 경로상에 특이점이 있어 정의되지 않음(경로를 약간 키우거나 줄여 판단해야 함). 엄밀히는 부적절.
  5. 특이점 $\pm2$ 둘 다 $|z|=1/2$ 밖 ⟹ 피적분함수가 원판 전체에서 해석적 ⟹ $0$.
  6. 둘레가 절반이 되면 ($2^{-n}$배) ML 부등식에서 $L$도 $2^{-n}$배가 되고 오차항 추정 $\varepsilon\cdot L^2$은 $4^{-n}$배가 된다 — 동시에 부분삼각형 개수가 $4^n$배로 늘어나므로 전체 합 $4^n\times4^{-n}=O(\varepsilon)$으로 통제된다.
  7. 부분분수 $\dfrac{1}{(z-1)(z-2)} = \dfrac{1}{z-2}-\dfrac{1}{z-1}$. 다중연결 버전으로 $\oint_{|z|=5} = \oint_{|z-1|=\epsilon} + \oint_{|z-2|=\epsilon}$. 각 작은 원에서 한 항만 특이점을 감싸므로 $\oint_{|z-1|=\epsilon}\left(\frac{1}{z-2}-\frac1{z-1}\right)dz = 0 - 2\pi i = -2\pi i$, $\oint_{|z-2|=\epsilon}(\cdots) = 2\pi i - 0 = 2\pi i$. 합 $= -2\pi i+2\pi i = 0$.

관련 개념

  1. 원전 소개 — Ponnusamy §7.6, Theorem 7.47 — "Cauchy's Theorem. If $f(z)$ is analytic in a simply connected domain $D$ and $C$ is a closed contour lying in $D$, then $\oint_C f(z)\,dz = 0$." Proof via Goursat's triangle lemma (Cauchy–Goursat). ↩↩

  2. 원전 소개 — Ponnusamy §7.6–7.7, Theorem 7.49 (Cauchy's Theorem for multiply connected domains) [synthesis: deformation principle stated as a corollary of the cross-cut/bridge construction] — $\oint_C f = \sum_k \oint_{C_k} f$ for $D$ bounded externally by $C$ and internally by $C_1,\dots,C_n$. ↩