복소수체

개요 — 동기·문제의식

실수만으로는 $x^2 + 1 = 0$을 풀 수 없다. 제곱이 $-1$이 되는 수 $i$를 "발명"하면 막힌 길이 뚫린다. 그러나 그냥 만들어낸 신비한 수가 아니라, 실수 순서쌍 $(a,b)$에 적절한 덧셈·곱셈을 정의한 체(field)로 엄밀하게 세울 수 있다. 이렇게 만든 $\mathbb{C}$는 실수체의 모든 대수 성질을 물려받되, 순서(order)만은 잃는다 — 그리고 이 "잃음"은 결함이 아니라 복소평면이라는 새로운 기하적 무대를 여는 대가다. 이 페이지는 복소수를 엄밀하게 정의하고, 그 대수적 골격(체 구조)과 거리적 골격(모듈러스)을 함께 세운다.

직관 — 순서쌍에서 평면으로

복소수를 그냥 "실수 + 허수 단위"라고 외우면 $i$가 신비롭게 느껴진다. 더 견고한 시작은: 복소수란 평면 위의 점 $(a,b)$일 뿐이고, 거기에 덧셈과 곱셈이라는 두 연산을 정의한 것이다. 덧셈은 벡터 덧셈과 같다(평행사변형). 곱셈은 좌표만 보면 이상해 보이지만($a_1a_2-b_1b_2,\ a_1b_2+a_2b_1$), 극형식으로 옮기면 "길이는 곱하고 각도는 더한다"는 단순한 기하적 연산임이 드러난다(자세히는 극형식과 거듭제곱근). $i=(0,1)$은 그저 "단위원 위, 양의 실축에서 $90°$ 회전한 점"이고, $i^2=-1$은 "$90°$ 회전을 두 번 하면 $180°$ 회전, 즉 부호 반전"이라는 기하적 사실의 대수적 표현이다.

이 관점에서 보면 $\mathbb{C}$에 순서가 없는 이유도 자명해진다: 실수의 순서 $<$는 수직선 위에서 "왼쪽/오른쪽"을 비교하는 것인데, 평면 위의 점들 사이에는 체의 연산과 호환되는 자연스러운 "왼쪽/오른쪽"이 없다. 대신 평면은 거리 $|z-w|$라는, $\mathbb{R}$의 순서보다 훨씬 풍부한 구조를 준다 — 모든 방향에서 "가까움"을 잴 수 있는.

정의

복소수는 실수 순서쌍 $(a,b)$이며 $a + bi$로 쓴다. 연산은¹ $$(a_1,b_1)+(a_2,b_2) = (a_1+a_2,\, b_1+b_2),$$ $$(a_1,b_1)(a_2,b_2) = (a_1a_2 - b_1b_2,\, a_1b_2 + a_2b_1).$$ $i = (0,1)$로 두면 $i^2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1$이고, $(a,0)$은 실수 $a$와 동일시된다(이 동일시 $a\mapsto(a,0)$이 체 준동형이라 $\mathbb{R}$이 $\mathbb{C}$의 부분체로 자연스럽게 들어간다).

$z = x + iy$에 대해: - 실부 $\operatorname{Re} z = x$, 허부 $\operatorname{Im} z = y$ (둘 다 실수임에 주의 — $\operatorname{Im} z$는 $iy$가 아니라 $y$) - 켤레(conjugate) $\bar z = x - iy$ — 기하적으로 실수축에 대한 반사 - 모듈러스(절댓값) $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ — 원점으로부터의 유클리드 거리

기본 항등식: $$z\bar z = |z|^2,\qquad \operatorname{Re} z = \tfrac{z+\bar z}{2},\qquad \operatorname{Im} z = \tfrac{z-\bar z}{2i},\qquad \frac1z = \frac{\bar z}{|z|^2}\ (z\ne 0).$$

주요 정리

정리 (복소수는 체를 이룬다). $(\mathbb{C}, +, \cdot)$는 체다. 덧셈 항등원 $0=(0,0)$, $(a,b)$의 덧셈 역원 $(-a,-b)$, 곱셈 항등원 $1=(1,0)$, $(a,b)\ne 0$의 곱셈 역원은 $$\left(\frac{a}{a^2+b^2},\ \frac{-b}{a^2+b^2}\right).$$

정리 (켤레와 모듈러스의 성질). $$\overline{z+w} = \bar z + \bar w,\quad \overline{zw} = \bar z\,\bar w,\quad |zw| = |z||w|,\quad \left|\tfrac zw\right| = \tfrac{|z|}{|w|}.$$

정리 (삼각부등식).² 모든 $z,w \in \mathbb{C}$에 대해 $$|z+w| \le |z| + |w|,\qquad \big||z|-|w|\big| \le |z-w|.$$

$\mathbb{C}$에는 순서가 없다. $i > 0$이라 가정하면 순서체의 공리(양수끼리의 곱은 양수)로 $i\cdot i = -1 > 0$, 모순. $i<0$이라 해도 $-i>0$이 되어 $(-i)(-i)=-1>0$, 같은 모순. 따라서 $\mathbb{C}$를 체로서 정렬하는(덧셈·곱셈과 호환되는) 순서는 없다 — 부등식 $z < w$는 복소수에 의미가 없다(모듈러스 $|z|<|w|$만 의미 있음).

예제

예제 1. $z = 3 + 4i$의 모듈러스와 역원. $|z| = \sqrt{9+16} = 5$. $\dfrac1z = \dfrac{\bar z}{|z|^2} = \dfrac{3-4i}{25} = \dfrac{3}{25} - \dfrac{4}{25}i.$

예제 2. $\dfrac{2+i}{1-3i}$를 $x+iy$ 꼴로. 분모의 켤레를 곱한다: $$\frac{2+i}{1-3i}\cdot\frac{1+3i}{1+3i} = \frac{(2+i)(1+3i)}{1+9} = \frac{2 + 6i + i + 3i^2}{10} = \frac{-1 + 7i}{10} = -\frac{1}{10} + \frac{7}{10}i.$$

예제 3. $z\bar z + 2\operatorname{Re}(z) = ?$ ($z = x+iy$). $z\bar z = x^2+y^2$, $\operatorname{Re}(z)=x$이므로 $x^2 + y^2 + 2x = (x+1)^2 + y^2 - 1$. 따라서 $z\bar z + 2\operatorname{Re}(z) = |z+1|^2 - 1$. (대수식을 모듈러스로 재해석하는 이 기법은 자취 문제·부등식 증명에서 자주 쓰인다.)

예제 4 (체의 공리를 직접 확인). $(1,2)$와 $(3,-1)$의 곱을 정의식으로 직접 계산: $(1\cdot3-2\cdot(-1),\,1\cdot(-1)+3\cdot2)=(3+2,\,-1+6)=(5,5)$. $i$ 표기로는 $(1+2i)(3-i)=3-i+6i-2i^2=3+5i+2=5+5i$ — 일치. 순서쌍 정의와 $i$ 표기가 같은 답을 준다는 사실 자체가 정의의 정합성 확인이다.

예제 5 (삼각부등식의 등호 조건). $|z+w|=|z|+|w|$는 언제 성립하는가? 증명에서 등호는 $\operatorname{Re}(z\bar w)=|z||w|$, 즉 $z\bar w$가 음이 아닌 실수일 때. 기하적으로는 $z, w$가 원점에서 같은 방향(또는 한쪽이 $0$)일 때 — 두 변이 일직선이 되어 "삼각형이 찌그러지는" 경우다.

예제 6 ($n$차방정식의 근과 순서 없음의 결과). $z^2 = -1$의 두 근 $i, -i$ 중 어느 것이 "더 크다"고 말할 수 없다 — 순서가 없으므로. 반면 모듈러스는 둘 다 $1$로 같다. 대수학의 기본정리(복소수체는 대수적으로 닫혀 있음, 리우빌 정리와 귀결들)가 성립하는 대가로 순서를 포기했다고 볼 수 있다 — 순서체는 일반적으로 대수적으로 닫힐 수 없다($-1$이 제곱이 되면 양수 공리가 깨진다).

흔한 오해와 함정

• "$i = \sqrt{-1}$이라고 쓰고 평소처럼 제곱근 규칙을 적용해도 된다" — 위험하다. $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$는 $a,b\ge0$일 때의 규칙인데, $i=\sqrt{-1}$로 정의해버리면 $\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt1=1$이라는 틀린 결론(실제로는 $i\cdot i=-1$)에 빠지기 쉽다. 복소수의 제곱근은 본질적으로 다값이라 $\sqrt{\,\cdot\,}$ 기호 자체가 위험하다 — 극형식과 거듭제곱근에서 $n$제곱근을 다룰 때 이 문제를 정면으로 다룬다.
• "$\operatorname{Im} z$는 허수다" — 아니다. $\operatorname{Im} z = y$는 실수다. $z = x+iy$에서 "허수 부분"은 $iy$지만 관례상 $\operatorname{Im} z$는 그 계수 $y$를 가리킨다.
• "$|z|<|w|$이면 $z<w$" — $\mathbb{C}$에는 순서가 없으므로 $z<w$ 자체가 정의되지 않는다. 모듈러스의 대소 비교는 실수($|z|,|w|\in\mathbb{R}$) 사이의 비교일 뿐, 복소수 자체의 순서가 아니다.
• 나눗셈에서 분모의 켤레를 안 곱하고 그냥 나누려는 시도 — $\frac{1}{a+bi}$를 직접 약분하려 하면 막힌다. 반드시 $\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$처럼 분모를 실수화해야 한다 — 이것이 곱셈 역원 공식의 실전 버전.
• 체 공리를 "그냥 당연하다"고 넘기기 — 분배법칙이 성립하는 것은 곱셈의 정의 $(a_1a_2-b_1b_2,\,a_1b_2+a_2b_1)$가 정확히 그렇게 설계되었기 때문이다. 임의로 다른 곱셈을 정의하면(예: 성분별 곱 $(a_1a_2,b_1b_2)$) 체가 되지 않는다(영인자가 생긴다: $(1,0)(0,1)=(0,0)$인데 둘 다 $0$이 아님).

큰 그림 / 연결

복소수체 $\mathbb{C}$는 실수체 $\mathbb{R}$의 대수적 폐포(algebraic closure)다 — 모든 비상수 다항식이 $\mathbb{C}$ 안에서 근을 갖는다(대수학의 기본정리, 복소해석학에서는 Liouville 정리의 따름정리로 증명된다 — 리우빌 정리와 귀결들). 이것이 algebra 위키의 splitting-and-finite-fields가 다루는 체 확장 이론의 가장 중요한 예다. 동시에 $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$로서 평면의 거리·위상 구조를 물려받으며, 이것이 다음 페이지 topology of the plane의 출발점이다. 곱셈을 "회전+확대"로 보는 기하적 관점은 극형식과 거듭제곱근에서 본격화되고, 이후 모든 등각사상(뫼비우스 변환, conformal mapping riemann)의 토대가 된다. 대수에서 체가 순서를 가지려면 만족해야 하는 조건(형식적으로 실폐체)을 $\mathbb{C}$가 위반하는 방식은, "대수적으로 닫힌 체는 순서를 가질 수 없다"는 일반 정리의 가장 친숙한 사례이기도 하다.

연습문제

1. $(1+i)^2$, $(1+i)^4$, $(1+i)^8$을 계산하라.
2. $\left|\dfrac{1+2i}{3-4i}\right|$을 구하라 (계산하지 말고 모듈러스 성질만 써서).
3. $z + \dfrac1z$가 실수가 되는 모든 $z\ne0$을 구하라.
4. 방정식 $|z-1| = |z+1|$이 나타내는 점들의 자취를 구하라.
5. 곱셈의 정의 $(a_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1a_2-b_1b_2,a_1b_2+a_2b_1)$로부터 교환법칙 $zw=wz$를 직접 확인하라.
6. $|z|=1$이면 $\bar z = 1/z$임을 보여라. 이 사실을 이용해 $|z|=1$일 때 $\left|\dfrac{z-a}{1-\bar a z}\right|=1$ ($|a|<1$, $|z|=1$)을 보여라 (Möbius 변환의 단위원 보존성, 뫼비우스 변환 예고).
7. $\overline{z^n}=(\bar z)^n$이 모든 자연수 $n$에 대해 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하라.

관련 개념

• 극형식과 거듭제곱근 — 곱셈의 기하
• topology of the plane — $|z-w|$가 만드는 거리
• 리우빌 정리와 귀결들 — 대수학의 기본정리($\mathbb{C}$의 대수적 폐포성)
• 뫼비우스 변환 — 체 구조 위에 세워지는 사상
• 대수: 복소체는 대수적으로 닫힌 체다 → algebra 위키 splitting-and-finite-fields