선형사상

개요 — 동기·문제의식

벡터공간 두 개를 따로 갖고 있는 것만으로는 아무 일도 일어나지 않는다. 둘을 "비교"하려면 한쪽에서 다른 쪽으로 가는 구조를 보존하는 사상이 필요하다 — 그게 선형사상(linear map) 이다. Lang의 책 전체 전략은 여기서 갈린다: 행렬을 먼저 정의하고 그 뒤에 "행렬이 하는 일"로 사상을 설명하는 보통의 교과서와 달리, Lang은 사상을 먼저 정의하고 행렬은 나중에 그 사상을 기저에 대해 적은 "좌표 그림자"로 도입한다(선형사상과 행렬). 왜 이 순서가 더 강력한가? 사상은 기저 선택과 무관하게 존재하는 불변 대상이고, 행렬은 기저를 고르는 순간 생기는 우연한 표현이기 때문이다. 커널·상·계수(rank) 같은 개념을 사상 자체의 언어로 익혀두면, 나중에 기저를 바꿔도 무엇이 변하고 무엇이 불변인지 즉시 보인다.

이 페이지의 핵심 질문은 두 가지다. (1) 선형사상은 얼마나 많은 정보로 완전히 결정되는가? — 답: 기저 위 값만 알면 충분하다. (2) 사상의 "크기"를 어떻게 두 수로 쪼개는가? — 답: 커널의 차원(잃어버리는 정보)과 상의 차원(살아남는 정보)으로, 이 둘의 합이 항상 정의역의 차원과 같다(계수-퇴화차수 정리). 이 정리 하나가 이후 동형사상·정사각 시스템의 가역성·고유공간 이론까지 전부 떠받친다.

직관

선형사상을 "벡터공간을 다른 벡터공간 위로 찌그러뜨리거나 펴는 변환"으로 그려보자. 두 조건 LM1(덧셈 보존)·LM2(스칼라배 보존)은 직선·평면·원점을 지나는 부분공간이 사상 후에도 직선·평면·부분공간(또는 더 낮은 차원으로 찌그러진 것)으로 남는다는 뜻이다. 절대 휘어지거나 구부러지지 않는다.

커널은 사상이 "빨아들여 원점으로 보내버리는" 벡터들의 집합이다 — 정보가 사라지는 곳. 상은 사상이 실제로 도달하는 곳 — 정보가 살아남는 곳. 직관적으로 정의역의 차원 $n$은 두 갈래로 쓰인다: 일부($q$차원)는 커널로 빨려 들어가 사라지고, 나머지($s$차원)는 상으로 옮겨가 살아남는다. $n=q+s$ 라는 등식은 "사라진 정보 + 살아남은 정보 = 원래 정보 전부"라는 보존 법칙처럼 읽을 수 있다.

기저에 대한 자유도도 같은 그림이다: 기저 벡터 하나하나는 "독립적인 다이얼"이고, 선형사상은 각 다이얼을 어디로 보낼지만 정하면 — 그 사이의 모든 선형결합은 자동으로 결정된다. 사상이 "선형"이라는 말의 실질적 위력이 바로 이것이다.

정의

체 $K$ 위의 벡터공간 $V,V'$ 사이의 사상 $F:V\to V'$가 선형사상(linear map) 이라 함은 다음 두 조건을 만족하는 것이다:¹

• LM 1. $F(u+v)=F(u)+F(v)$ (모든 $u,v\in V$)
• LM 2. $F(cv)=cF(v)$ (모든 $c\in K$, $v\in V$)

즉시 $F(O)=O$ 이 따라온다 — $F(O)=F(0\cdot O)=0\cdot F(O)=O$. 따라서 $F(O)\neq O$ 인 사상은 절대 선형이 아니다(예: $0$이 아닌 벡터만큼의 평행이동).²

예시.³ 사영 $K^n\to K^r$ ($(x_1,\dots,x_n)\mapsto(x_1,\dots,x_r)$), 고정된 벡터 $A$에 대해 $X\mapsto X\cdot A$ (스칼라곱), 고정된 행렬 $A$에 대해 $X\mapsto AX$, 그리고 매끄러운 함수 공간 위의 미분 연산자 $D$.

주의(기저로의 자유도). 임의로 값을 배정해도 되는 자유는 기저에서만 성립한다. 일차종속인 벡터들 위에 임의의 값을 주면 일반적으로 선형사상이 되지 않는다 — 종속관계 $v_3=v_1+v_2$를 사상이 자동으로 존중해야 하기 때문이다.

주요 정리

정리 (기저에 의한 결정, Thm 2.1). $\{v_1,\dots,v_n\}$이 $V$의 기저이고 $w_1,\dots,w_n\in W$가 임의로 주어지면, $T(v_i)=w_i$ ($i=1,\dots,n$)를 만족하는 선형사상 $T:V\to W$가 유일하게 존재한다. 명시적으로 $T(\sum x_iv_i)=\sum x_iw_i$.⁵

왜 기저가 필요한가. 증명이 "모든 벡터는 기저로 유일하게 좌표화된다"는 사실에 정확히 의존한다. 생성집합이지만 기저가 아니면(즉 일차종속이면) 좌표가 유일하지 않아 $T(v)$가 잘 정의되지 않는다.

정리 (커널과 단사성). $F$가 단사 $\iff \ker F=\{O\}$.⁷

정리 (계수-퇴화차수 정리, rank–nullity, Thm 3.2). $L:V\to W$가 선형이고 $\dim V=n$이 유한하다 하자. $q:=\dim\ker L$ (퇴화차수, nullity), $s:=\dim\operatorname{im}L$ (계수, rank)라 하면 $$n=q+s.$$ ⁸

생성: 임의의 $L(v)\in\operatorname{im}L$에 대해 $v=\sum a_iu_i+\sum b_jv_j$로 쓰면 $L(v)=\sum a_iL(u_i)+\sum b_jL(v_j)=O+\sum b_jw_j$ (커널이므로 $L(u_i)=O$). 따라서 $\operatorname{im}L=\langle w_1,\dots,w_s\rangle$.

독립: $\sum c_jw_j=O$라 하자. 그러면 $L(\sum c_jv_j)=O$이므로 $\sum c_jv_j\in\ker L$, 즉 $\sum c_jv_j=\sum d_iu_i$인 $d_i$가 존재. 이는 $\sum c_jv_j-\sum d_iu_i=O$를 뜻하는데, $\{u_i,v_j\}$가 기저(독립)이므로 모든 계수가 $0$ — 특히 모든 $c_j=0$.

따라서 $\{w_1,\dots,w_s\}$는 $\operatorname{im}L$의 기저이고 $\dim\operatorname{im}L=s$, 합쳐서 $n=q+s$. $\blacksquare$⁹

따름정리 (같은 차원에서의 삼중 동치, Thm 3.3). $\dim V=\dim W$ (유한)이면, $L:V\to W$에 대해 $$L\text{ 단사}\iff L\text{ 전사}\iff L\text{ 전단사}.$$ ¹⁰

왜 유한차원·같은 차원이 필요한가. 유한차원 비둘기집 원리의 정수다. 무한차원에서는 거짓이다 — 예컨대 다항식 공간 $K[t]$ 위의 미분 $D$는 전사지만 단사가 아니고(상수가 커널), 곱셈 $p(t)\mapsto tp(t)$는 단사지만 전사가 아니다. 차원이 다르면(예: $K^3\to K^2$) 단사일 수 없고(rank–nullity로 $\dim\ker\ge1$), 전사라도 단사가 안 될 수 있다.

예제

예제 1 (사영, 구체적 행렬). $F:K^3\to K^2$, $F(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2)$. $\ker F=\{(0,0,x_3):x_3\in K\}$, 차원 $1$. $\operatorname{im}F=K^2$ 전체, 차원 $2$. 확인: $1+2=3=\dim K^3$. ✓

예제 2 (회전, 단사이자 전사). $F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$, $F(x,y)=(x\cos\theta-y\sin\theta,\ x\sin\theta+y\cos\theta)$ (각 $\theta$만큼 회전). $\ker F=\{O\}$ (회전은 원점만 원점으로 보낸다), $\operatorname{im}F=\mathbb{R}^2$. $\dim V=\dim W=2$이므로 Thm 3.3에 의해 단사 $\iff$ 전사 — 실제로 둘 다 성립, 전단사(동형사상).

예제 3 (미분 연산자, 무한차원에서 동치 깨짐). $V=$ 차수 $\le n$인 다항식의 공간, $D:V\to V$, $D(p)=p'$. $\ker D=$ 상수다항식, 차원 $1$. $\operatorname{im}D=$ 차수 $\le n-1$인 다항식, 차원 $n$. $\dim V=n+1=1+n$. ✓ (rank–nullity는 성립하지만, $D$는 $\dim(\text{정의역})=\dim(\text{공역})$이라도 정의역·공역이 "같은 공간"으로 동일시될 때만 위 Thm 3.3을 적용할 수 있다는 점에 주의 — 여기선 둘 다 $V$이므로 적용 가능하고, $D$가 전사이며 단사가 아님을 직접 확인할 수 있다.)

예제 4 (행렬 사상의 커널 = 연립방정식의 해공간). $A=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&4&3\end{pmatrix}$, $L_A:K^3\to K^2$, $X\mapsto AX$. $\ker L_A$는 $AX=O$의 해공간: $x_1+2x_2+x_3=0,\ 2x_1+4x_2+3x_3=0$. 두 식을 빼면 $x_3=0$, 그러면 $x_1=-2x_2$. 해공간 $=\{(-2t,t,0):t\in K\}$, 차원 $1$. $\operatorname{im}L_A$의 차원은 rank–nullity로 $3-1=2=\dim K^2$, 즉 $L_A$는 전사.

예제 5 (기저에 의한 결정, 구체 계산). $K^2$의 기저 $v_1=(1,1)$, $v_2=(1,-1)$에 $T(v_1)=(2,0)$, $T(v_2)=(0,2)$로 지정하면 $T$는 유일하게 결정된다. $T(1,0)$을 구하려면 $(1,0)=\frac12v_1+\frac12v_2$로 좌표화한 뒤 $T(1,0)=\frac12(2,0)+\frac12(0,2)=(1,1)$.

예제 6 (단사이지만 전사 아님, 차원이 다른 경우). $F:K^2\to K^3$, $F(x,y)=(x,y,0)$. $\ker F=\{O\}$ (단사), $\operatorname{im}F=\{(x,y,0)\}$, 차원 $2\neq\dim K^3=3$이므로 전사가 아니다. $\dim V\ne\dim W$이므로 Thm 3.3이 적용되지 않는 것이 당연하다.

예제 7 (선형이 아닌 사상과의 대조). $G:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$, $G(x,y)=(x+1,y)$ (평행이동). $G(O)=(1,0)\neq O$이므로 즉시 선형이 아니다 — LM1·LM2를 검사할 필요도 없다.

흔한 오해와 함정

• "$F(O)=O$ 이면 선형이다" — 틀림. 필요조건일 뿐 충분조건이 아니다. 예: $F(x)=x^2$ (스칼라 $K=\mathbb{R}$ 위)는 $F(0)=0$이지만 $F(c\cdot x)=c^2x^2\ne cF(x)$, 선형이 아니다.
• "기저가 아닌 생성집합 위에 값을 자유롭게 정해도 된다" — 틀림. Thm 2.1은 정확히 기저에서만 자유. 종속인 벡터들 위에 호환되지 않는 값을 주면 모순(잘 정의되지 않음).
• "$\dim V=\dim W$ 가 아니어도 단사 $\iff$ 전사" — 틀림. Thm 3.3은 유한차원에서 같은 차원일 때만 성립. 차원이 다르면 둘은 독립적인 조건.
• "무한차원에서도 단사 $\iff$ 전사" — 틀림. $K[t]$ 위의 미분(전사·비단사)·곱셈(단사·비전사)이 반례. rank–nullity의 증명 자체가 기저의 유한 확장을 쓰므로 무한차원엔 직접 적용 안 된다.
• 커널과 영벡터를 혼동 — $\ker F$는 집합(보통 부분공간 전체)이지 $O$ 하나가 아니다. "$\ker F=\{O\}$"가 단사와 동치인 것이지, "커널이 존재한다/안 한다"가 아니다.

큰 그림 / 연결

계수-퇴화차수 정리는 이 위키 전체의 엔진이다. 기저와 차원의 기저 확장 기법이 증명의 심장이고, 그 결과는 행렬과 선형방정식에서 $AX=O$의 해공간 차원을 계산하는 데 직접 쓰인다. 선형사상과 행렬는 사상을 행렬로 표현하면서 이 모든 정의(커널·상·동형사상)를 좌표화하고, 정사각 동형사상의 행렬은 가역행렬이 된다. 더 나아가 고윳값과 특성다항식에서 고유공간은 정확히 $L-\lambda I$의 커널이며, $\lambda$가 고유값일 조건은 이 사상이 단사가 아니라는 것 — 즉 Thm 3.3의 $\det=0$ 버전으로 다시 등장한다. 함수해석학(다른 분야)에서는 무한차원 작용소에 대해 단사·전사가 독립적으로 다뤄져야 한다는 점에서, 이 페이지의 "유한차원에서만 성립" 경고가 본격적으로 중요해진다.

연습문제

1. $F:K^3\to K^3$, $F(x,y,z)=(x+y,\,y+z,\,x+z)$ 가 선형사상임을 LM1·LM2로 확인하고, $\ker F$를 구하라.
2. 위 문제의 $F$가 단사인지 (체 $K=\mathbb{Q}$ 위에서) 판정하라.
3. $K^2$의 기저 $v_1=(1,0)$, $v_2=(1,1)$ 위에 $T(v_1)=(1,2)$, $T(v_2)=(3,1)$로 지정된 선형사상 $T$에 대해 $T(2,1)$을 구하라.
4. $D:V\to V$ ($V=$ 차수 $\le 3$ 다항식)가 $D(p)=p'$일 때 $\ker D$, $\operatorname{im}D$의 차원을 각각 구하고 rank–nullity로 검산하라.
5. $L:K^4\to K^2$가 전사이면 $\dim\ker L$은 얼마인가?
6. $F(x,y)=(2x,\,3y,\,x+y)$ 가 단사임을 보이고, 전사가 아님을 보여라. 모순이 없는 이유를 Thm 3.3과 연결해 설명하라.
7. (개념) 왜 "$F(O)=O$"만으로는 선형성을 보장할 수 없는지, $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 위의 반례를 하나 더 들어라.
8. $A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&2&1\end{pmatrix}$ 에 대해 $L_A:K^3\to K^3$의 커널을 구하고, $L_A$가 동형사상인지 판정하라.

관련 개념

• 기저와 차원 — rank–nullity는 기저 확장으로 증명된다
• 체와 벡터공간 — 선형사상이 작동하는 무대
• 선형사상과 행렬 — 사상을 기저에 대해 좌표화한 행렬
• 행렬과 선형방정식 — $\ker(X\mapsto AX)$는 $AX=O$의 해공간
• 고윳값과 특성다항식 — 고유공간은 $L-\lambda I$의 커널
• 합과 직합 — rank–nullity 증명의 기저 분할과 직접 연결