합과 직합

개요 — 동기·문제의식

체와 벡터공간에서 두 부분공간의 합 $U+W$가 다시 부분공간임을 보았다. 하지만 합은 정보를 잃을 수 있다 — $v\in U+W$를 $u+w$로 쓰는 방법이 여러 가지일 수 있기 때문이다(예: $U=W=V$이면 모든 분해가 동시에 성립). 이 모호함을 없애고 "분해가 유일하다"는 강한 조건을 요구한 것이 직합(direct sum)이다. 직합은 단순한 정의상의 사치가 아니다 — 큰 공간을 독립적인 조각들로 쪼개 각 조각에서 따로 작업한 뒤 다시 합치는, 선형대수 전체에서 가장 강력한 "분할정복" 전략의 기초다. 이 전략은 이 책 후반부에서 절정에 이른다: 임의의 선형연산자를 일반화된 고유공간들의 직합으로 분해하는 주분해정리(삼각화와 일차분해)와, 그 분해를 가장 단순한 표준형으로 다듬는 조르당 표준형(조르당 표준형)이 모두 "직합으로 쪼개기"라는 이 페이지의 발상의 정교한 확장이다.

직관

평면 $\mathbb{R}^2$를 두 직선 $U$(x축)와 $W$(y축)로 "분해"한다고 하자. 임의의 점 $(a,b)$는 $U$ 위의 성분 $(a,0)$과 $W$ 위의 성분 $(0,b)$의 합으로 유일하게 쓰인다 — 다른 분해 방법이 없다. 이것이 직합의 그림이다. 반면 $U,W$가 둘 다 원점을 지나는 같은 직선이라면, $(a,0)$을 $U$와 $W$의 합으로 쓰는 방법은 무한히 많다 — 분해가 유일하지 않으면 직합이 아니다.

왜 두 조건(합 = 전체, 교집합 = 영) 이 정확히 필요한가. $U+W=V$는 "모든 점이 적어도 한 가지 방법으로 분해된다"(존재성)를 보장한다. $U\cap W=\{O\}$는 "분해 방법이 둘 이상이면 그 차이가 $U\cap W$에 들어가야 하는데, 거기엔 $O$밖에 없으니 차이가 없다"(유일성)를 보장한다. 이 두 조건이 정확히 존재성과 유일성을 한 조건씩 담당한다는 것이 직합 판정 정리(정리 4.1)의 요지다.

정의

정의 (합). $U,W\subseteq V$가 부분공간일 때, 합 $U+W := \{u+w : u\in U,\ w\in W\}$이며, 이는 다시 $V$의 부분공간이다.¹

정의 (직합). $V$가 $U$와 $W$의 직합이라 함은, 모든 $v\in V$에 대해 $v=u+w$ ($u\in U,\ w\in W$)인 표현이 유일하게 존재하는 것이다.² 이때 $V=U\oplus W$로 쓴다.⁴

정의 (복수 인수의 직합). 부분공간 $V_1,\dots,V_n\subseteq V$에 대해, 모든 $v\in V$가 $v=v_1+\cdots+v_n$ ($v_i\in V_i$) 꼴로 유일하게 표현되면 $V=V_1\oplus\cdots\oplus V_n$이라 한다.⁹ "유일하게"는 $v=\sum v_i=\sum v_i'$이면 모든 $i$에서 $v_i=v_i'$임을 뜻한다.

정의 (직접곱). $U,W$가 (반드시 같은 $V$의 부분공간일 필요 없는) 임의의 두 벡터공간일 때, 직접곱(direct product) $U\times W := \{(u,w) : u\in U,\ w\in W\}$이며, 성분별 덧셈·스칼라곱을 준다: $(u_1,w_1)+(u_2,w_2)=(u_1+u_2,w_1+w_2)$, $c(u,w)=(cu,cw)$.⁸ $U\times W$는 그 자체로 벡터공간이다.

비교. $n=r+s$이면 $K^n\cong K^r\times K^s$(직접곱). $U,W$가 같은 공간 $V$의 부분공간으로서 직합 조건을 만족하면 $V\cong U\times W$이기도 하다 — 직합과 직접곱은 부분공간이라는 맥락에서는 사실상 동일한 구조이며, 차이는 단지 "이미 $V$ 안에 있는 두 부분공간을 합친 것"이냐 "독립적인 두 공간에서 새 공간을 만든 것"이냐 하는 구성적 관점의 차이다.¹⁰

주요 정리

정리 4.1 (직합 판정). $U+W=V$이고 $U\cap W=\{O\}$이면, $V$는 $U,W$의 직합이다.³

왜 두 조건이 각각 정확히 필요한가. $U\cap W=\{O\}$ 없이 $U+W=V$만 있으면 분해가 여럿일 수 있다(예: $U=W=V$). $U\cap W=\{O\}$만 있고 $U+W\ne V$이면 애초에 모든 $v$에 대해 분해가 존재하지 않는다(예: $U,W$가 둘 다 원점만 지나는 서로 다른 두 직선인데 $V$가 3차원이면 합이 평면일 뿐 전체가 아님). 두 조건은 서로 대체 불가능하다.

정리 4.2 (여공간의 존재). $V$가 유한차원이고 $W\subseteq V$가 부분공간이면, $V=W\oplus U$인 부분공간 $U$가 존재한다.⁵

여공간은 유일하지 않다. 위 증명에서 기저 확장의 방법이 여러 가지이므로, 주어진 $W$에 대해 직합 보완 $U$가 되는 부분공간은 일반적으로 무수히 많다.⁶ 예를 들어 $V=\mathbb{R}^2$, $W$ = x축이면, y축도 여공간이고 직선 $y=x$도 여공간이다 — $W$와 교집합이 $\{O\}$이고 합쳐서 평면 전체가 되는 직선은 전부 후보다. 이 모호함을 없애고 하나의 표준적인 여공간을 고르려면 추가 구조(직교성)가 필요하며, 이는 스칼라곱과 직교성에서 직교여공간으로 해결된다.⁶

정리 4.3 (차원의 가법성). $V=U\oplus W$이면 $\dim V=\dim U+\dim W$.⁷

일반화 (복수 인수). 정리 4.3은 $n$개의 인수로 직접 확장된다: $V=V_1\oplus\cdots\oplus V_k$이면 $\dim V=\sum_i\dim V_i$, 그리고 각 $V_i$의 기저들을 모두 합친 것이 $V$의 기저가 된다(증명은 같은 논증의 반복).

예제

예제 1 (구체적 직합 확인, $\mathbb{R}^2$). $V=\mathbb{R}^2$, $W=$ $(2,1)$이 생성하는 직선, $U=$ $(0,1)$이 생성하는 직선이라 하자. $U\cap W=\{O\}$는 $(2,1)$과 $(0,1)$이 독립이므로 성립(연습문제 1 형식). $U+W=V$: 임의의 $(a,b)$를 $x(2,1)+y(0,1)=(a,b)$로 풀면 $x=a/2$, $y=b-a/2$ — 항상 해 존재. 따라서 $V=W\oplus U$.¹¹

예제 2 (같은 $W$, 다른 여공간). 예제 1에서 $U'=$ $(1,1)$이 생성하는 직선으로 바꿔도 $U'\cap W=\{O\}$이고 $U'+W=V$가 성립해 $V=W\oplus U'$ 역시 성립한다.¹¹ $U\ne U'$이지만 둘 다 $W$의 유효한 여공간 — 여공간이 유일하지 않다는 사실의 직접 확인.

예제 3 (3차원에서 직합). $V=K^3$, $W=$ $(1,0,0)$이 생성하는 직선, $U=$ $(1,1,0),(0,1,1)$이 생성하는 평면이라 하자. $\dim W=1$, $\dim U=2$이고 $\{(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1)\}$이 $K^3$의 기저임을 확인할 수 있으므로(독립성은 직접 계산) $V=W\oplus U$, $\dim V=1+2=3$ 일치.¹²

예제 4 (직합이 아닌 합). $V=\mathbb{R}^3$, $U=\{(x,y,0)\}$(xy평면), $W=\{(0,y,z)\}$(yz평면). $U+W=V$(쉽게 확인)이지만 $U\cap W=\{(0,y,0) : y\in\mathbb{R}\}\ne\{O\}$ — y축 전체가 겹친다. 따라서 합이긴 해도 직합이 아니다: 예컨대 $(0,1,0)=(0,1,0)+(0,0,0)=(0,0,0)+(0,1,0)$처럼 분해가 둘 이상 존재.

예제 5 (함수공간에서 직합, 추상 instance). $V$ = 모든 실함수의 공간. $U$ = 우함수($f(-x)=f(x)$)의 집합, $W$ = 기함수($f(-x)=-f(x)$)의 집합. 둘 다 부분공간이고, 임의의 $f$는 $f(x)=\underbrace{\tfrac{f(x)+f(-x)}{2}}_{\in U}+\underbrace{\tfrac{f(x)-f(-x)}{2}}_{\in W}$로 분해되며, $U\cap W=\{0\}$(우함수이며 동시에 기함수면 $f(x)=-f(x)\Rightarrow f=0$)이므로 $V=U\oplus W$ — 함수해석학에서도 흔히 쓰이는 직합 분해의 예.

예제 6 (직접곱, $K^n=K^r\times K^s$). $n=2+3=5$이면 $K^5\cong K^2\times K^3$: $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)\leftrightarrow((a_1,a_2),(a_3,a_4,a_5))$. 차원도 $5=2+3$으로 일치 — 직접곱의 차원도 직합과 같은 가법 법칙을 따른다.⁸

예제 7 (3개 인수 직합). $V=K^3$이 $V_1=\langle(1,0,0)\rangle$, $V_2=\langle(0,1,0)\rangle$, $V_3=\langle(0,0,1)\rangle$의 직합임을 확인: 표준기저 $E_1,E_2,E_3$이 각각 하나씩의 1차원 부분공간을 생성하고, 임의의 $(a,b,c)=aE_1+bE_2+cE_3$의 표현이 좌표의 유일성에 의해 유일 — $K^3=V_1\oplus V_2\oplus V_3$, $\dim=1+1+1=3$.

예제 8 (여공간 차원 계산). $V=K^5$, $W$ = 처음 두 좌표를 제외한 나머지가 모두 $0$인 벡터들의 집합(즉 $\dim W=2$). 정리 4.2에 의해 여공간 $U$가 존재하며 정리 4.3에 의해 $\dim U=\dim V-\dim W=5-2=3$ — 구체적으로 나머지 표준기저 벡터 3개가 생성하는 부분공간이 그러한 $U$의 한 예다.

흔한 오해와 함정

• "$U+W=V$이면 직합" — 틀림. $U\cap W=\{O\}$가 빠지면 분해가 유일하지 않을 수 있다(예제 4). 두 조건을 항상 같이 확인해야 한다.
• "여공간은 유일하다" — 틀림(정리 4.2 직후 설명, 예제 2). 직교성 같은 추가 구조 없이는 "$W$의 여공간"을 하나로 못 박을 수 없다.
• 차원만 맞으면 직합이라는 착각 — $\dim U+\dim W=\dim V$라고 해서 자동으로 $V=U\oplus W$가 되는 것은 아니다. 정리 4.3은 직합을 가정한 뒤 차원 등식을 끌어내는 방향이지, 역방향(차원이 맞으면 직합)은 $U\cap W=\{O\}$ 또는 $U+W=V$ 둘 중 하나를 추가로 확인해야 성립한다(둘 다 성립하면 나머지 하나는 차원 계산으로 자동으로 따라온다 — 도전 연습문제 참조).
• 직합과 직접곱을 다른 것으로 오해 — 부분공간들 사이의 직합 $U\oplus W\subseteq V$는, 추상적으로 두 공간을 순서쌍으로 묶은 직접곱 $U\times W$와 (동형사상의 의미에서) 본질적으로 같은 구조다. 표기가 다른 것은 "이미 $V$ 안에 있다"는 맥락 정보를 담기 위함일 뿐이다.¹⁰
• 합집합 $U\cup W$를 합 $U+W$와 혼동 — $U\cup W$는 일반적으로 부분공간조차 아니다(체와 벡터공간 연습문제 참조). 부분공간들을 "합치는" 올바른 연산은 합집합이 아니라 합 $U+W$다.

큰 그림 / 연결

직합은 "큰 구조를 독립적인 작은 조각들로 분해해 각각을 따로 이해한다"는 선형대수의 핵심 전략을 처음으로 공식화한다. 가장 직접적인 다음 응용은 스칼라곱과 직교성에서, 직교여공간을 이용해 정리 4.2의 "유일하지 않은 여공간" 문제를 직교성이라는 추가 구조로 해결하는 것이다 — 모든 부분공간이 표준적인 직교 여공간을 갖게 된다. 더 깊은 응용은 연산자 이론에서 나온다: 고윳값과 특성다항식에서 서로 다른 고유공간들은 항상 직합을 이루며, 삼각화와 일차분해의 주분해정리는 임의의 다항식 $f(T)=0$을 만족하는 연산자 $T$에 대해 전체 공간을 $f$의 기약인수에 대응하는 불변 부분공간들의 직합으로 쪼갠다. 조르당 표준형은 그 분해를 한 단계 더 정밀화해 각 조각 위에서 가장 단순한 행렬 형태를 얻는다. 다른 갈래로, 행렬의 세계에서는 상삼각·하삼각·블록대각 구조(행렬과 선형방정식)가 종종 직합 분해의 좌표 표현이다 — 블록대각 행렬은 정확히 직합 위에서 작동하는 연산자의 행렬이다.

연습문제

1. $V=\mathbb{R}^2$, $W=$ $(2,1)$이 생성하는 부분공간, $U=$ $(0,1)$이 생성하는 부분공간이라 하자. $V=W\oplus U$임을 보이고, $U'=$ $(1,1)$이 생성하는 부분공간으로 바꿔도 $V=W\oplus U'$임을 보여라.
2. $V=K^3$, $W=$ $(1,0,0)$이 생성하는 부분공간, $U=$ $(1,1,0),(0,1,1)$이 생성하는 부분공간이라 하자. $V=W\oplus U$임을 보여라.
3. $A,B\in\mathbb{R}^2$가 둘 다 $O$가 아니고 $cA=B$인 $c$가 존재하지 않는다면, $A,B$가 $\mathbb{R}^2$의 기저를 이루며 $\mathbb{R}^2$가 $A,B$ 각각이 생성하는 두 부분공간의 직합임을 보여라.
4. $\{u_1,\dots,u_r\}$이 $U$의 기저, $\{w_1,\dots,w_s\}$가 $W$의 기저일 때, $U\times W$의 기저를 제시하고 $\dim(U\times W)=r+s$임을 보여라.
5. $V=\mathbb{R}^3$, $U=\{(x,y,0)\}$, $W=\{(0,0,z)\}$일 때 $V=U\oplus W$인지 판정하라.
6. $V=\mathbb{R}^3$, $U=\{(x,y,0)\}$, $W=\{(x,0,z)\}$일 때 $U+W$와 $U\cap W$를 구하고, 직합인지 판정하라.
7. (도전) $U,W\subseteq V$가 부분공간이고 $\dim U+\dim W=\dim V$이며 $U\cap W=\{O\}$이면, $V=U\oplus W$임을 보여라. (즉 $U+W=V$를 따로 확인할 필요 없이 차원 등식과 교집합 조건만으로 충분함을 보여라.)
8. $K[t]_{\le2}$(차수 $\le2$인 다항식)를 $U=\{a+bt : a,b\in K\}$(차수 $\le1$)와 $W=\{ct^2 : c\in K\}$의 직합으로 쓸 수 있음을 보이고 차원을 확인하라.

관련 개념

• 기저와 차원 — 기저 확장이 여공간 존재성을 증명
• 체와 벡터공간 — 부분공간과 그 합의 기초 정의
• 스칼라곱과 직교성 — 직교여공간이 표준적인 여공간을 제공
• 삼각화와 일차분해 — 주분해정리는 직합 분해의 정교한 응용
• 조르당 표준형 — 직합 분해를 표준형으로 다듬는 마지막 단계
• 행렬과 선형방정식 — 블록대각 행렬은 직합 위 연산자의 표현