가우스 정수

개요 — 동기·문제의식

정수론은 보통 $\mathbb{Z}$ 안에서 펼쳐진다. 그런데 $i=\sqrt{-1}$ 을 더해 $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi:a,b\in\mathbb{Z}\}$ 라는 더 큰 세계로 나가면 무슨 일이 벌어질까? 놀랍게도 나눗셈 정리·gcd·유일인수분해(산술의 기본정리)가 거의 그대로 살아남는다 — 단지 "소수"의 목록이 바뀔 뿐이다. 그리고 이 확장된 세계에서 보면 "어떤 소수가 두 제곱수의 합인가"라는 질문이 거의 자명해진다: $p\equiv1\pmod4$ 인 소수는 $\mathbb{Z}[i]$ 안에서 쪼개지고, 그 인수가 정확히 $a+bi$ 형태이기 때문이다. 정수론에 복소수를 들여오는 이 첫걸음이 바로 대수적 정수론(algebraic number theory)의 출발점이다.

직관

보통 정수에서 "크기"는 절댓값이다. 가우스 정수 $a+bi$ 의 자연스러운 크기는 복소평면에서의 원점까지 거리의 제곱, 즉 노름 $N(a+bi)=a^2+b^2$ 이다. 이 노름은 곱셈을 보존한다($N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta)$, 복소수 절댓값의 곱셈성에서 옴) — 그래서 보통 정수의 절댓값이 하던 모든 역할(나눗셈의 나머지가 더 작다, 소인수분해의 "크기 비교")을 그대로 이어받을 수 있다. 기하적으로 $\mathbb{Z}[i]$ 는 복소평면 위의 격자점들이고, $\alpha$ 를 $\beta\ne0$ 로 나눈 몫 $\alpha/\beta$ 는 보통 격자점에 정확히 떨어지지 않는 복소수다 — 가장 가까운 격자점을 몫으로 잡으면, 그 오차(나머지)는 격자 한 칸 대각선의 절반보다 작아 항상 나눗셈 정리가 성립한다(아래 정리 참고).

정의

• 가우스 정수: $\alpha=a+bi$ ($a,b\in\mathbb{Z}$).
• 켤레: $\bar\alpha=a-bi$. 노름: $N(\alpha)=\alpha\bar\alpha=a^2+b^2$ (음이 아닌 정수, 곱셈적: $N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta)$).¹
• 단원(unit): $N(\alpha)=1$ 인 원소 → $\{1,-1,i,-i\}$ 의 정확히 네 개뿐(아래 연습문제 3).
• 동반자(associate): $\alpha$ 와 $u\alpha$ ($u$ 는 단원) 관계 — 보통 정수의 $n$ 과 $-n$ 에 해당.
• 정규화(normalized): $a>0,\ b\ge0$ 인 동반자 하나를 택한 대표(보통 정수에서 "양수"를 대표로 택하는 것과 같은 역할).²
• 가우스 소수(Gaussian prime): 단원이 아니며, 자기 자신의 단원배·동반자 외의 인수가 없는 원소(기약원).

주요 정리

정리 ($\mathbb{Z}[i]$ 에서의 나눗셈 정리, Theorem 36.2).² $\alpha,\beta\in\mathbb{Z}[i]$, $\beta\ne0$ 이면 $\alpha=\beta\gamma+\rho$, $N(\rho)<N(\beta)$ 인 $\gamma,\rho\in\mathbb{Z}[i]$ 가 존재한다.

정리 (gcd의 존재, Theorem 36.3).² $\alpha,\beta$ 의 모든 $\mathbb{Z}[i]$-선형결합 $A\alpha+B\beta$ 중 노름이 가장 작은 $0$ 이 아닌 것을 $g$ 라 하면, $g\mid\alpha$ 이고 $g\mid\beta$. 증명. $\alpha$ 를 $g$ 로 나눗셈 정리 적용: $\alpha=g\gamma+\rho$, $N(\rho)<N(g)$. $g=a\alpha+b\beta$ 형태이므로 $\rho=\alpha-g\gamma=(1-a\gamma)\alpha-b\gamma\beta$ 도 같은 선형결합 집합 안에 있다. $g$ 가 그 집합에서 노름 최소였으므로 $N(\rho)<N(g)$ 인 $\rho$ 는 $0$ 일 수밖에 없다. 따라서 $\alpha=g\gamma$, $g\mid\alpha$. $\beta$ 도 같은 논법.² 이는 보통 정수의 gcd 존재 증명과 한 글자도 다르지 않은 구조 — 나눗셈 정리만 있으면 gcd·Bezout·유일인수분해가 자동으로 따라온다(algebra 위키 euclidean-pid-ufd 의 일반 패턴).

정리 (유일인수분해, Theorem 36.1).¹ $0$ 이 아닌 모든 가우스 정수 $\alpha$ 는 단원 $u$ 와 정규화된 가우스 소수들의 곱 $\alpha=u\pi_1\pi_2\cdots\pi_r$ 로 (인수의 순서를 무시하면) 유일하게 분해된다. 핵심은 "소수가 곱을 나누면 인수 중 하나를 나눈다"는 성질인데, 이는 나눗셈 정리 → gcd → Bezout 항등식의 연쇄에서 보통 정수와 똑같은 방식으로 증명된다.

정리 (가우스 소수의 완전 분류).³ 유리소수(보통의 양의 소수) $p$ 는 $\mathbb{Z}[i]$ 에서 다음 셋 중 하나로 행동한다. - $p\equiv3\pmod4$: $\mathbb{Z}[i]$ 에서도 소수(불활성, inert) — 더 못 쪼갠다. - $p\equiv1\pmod4$: $p=\pi\bar\pi$ 로 분해(split) — $\pi=a+bi$ 는 가우스 소수, $N(\pi)=a^2+b^2=p$. - $p=2$: $2=-i(1+i)^2$ 로 분기(ramified) — 유일하게 제곱 인수가 나오는 예외적인 소수.

정리 (두 제곱수의 합, 재증명). $p\equiv1\pmod4$ 이면 위 분류에 의해 $p=\pi\bar\pi=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ — 두 제곱수의 합의 정리가 가우스 정수 인수분해의 그림자였음을 보여준다. 거꾸로 $p\equiv3\pmod4$ 가 분해되지 않는다는 사실(연습문제 4)이 바로 그런 소수가 두 제곱의 합이 될 수 없다는 사실의 원천이다.

예제

예제 1 (노름과 소수성 판정). $N(2+3i)=4+9=13$(소수) → $2+3i$ 는 가우스 소수(노름이 유리소수이면 기약원, 연습문제 5). $N(3+i)=9+1=10=2\cdot5$(합성) → $3+i$ 는 더 쪼개질 수 있다: 실제로 $3+i=(1+i)(2-i)$ ($N=2\cdot5=10$ 일치, 직접 전개: $(1+i)(2-i)=2-i+2i-i^2=2+i+1=3+i$ ✓).

예제 2 (분해 케이스). $5\equiv1\pmod4$ → $5=(2+i)(2-i)$ ($N(2+i)=5$, 전개: $(2+i)(2-i)=4+1=5$ ✓). $13\equiv1\pmod4$ → $13=(3+2i)(3-2i)$ ($9+4=13$ ✓). $17\equiv1\pmod4$ → $17=(4+i)(4-i)$ ($16+1=17$ ✓).

예제 3 (불활성 케이스). $7\equiv3\pmod4$ → $\mathbb{Z}[i]$ 에서 더 못 쪼갬(가우스 소수). $N(7)=49=7^2$ — 노름이 유리소수의 제곱이라는 것 자체가 불활성의 특징(분해됐다면 노름 $7$ 인 인수 쌍이 있어야 하는데 $a^2+b^2=7$ 은 정수해가 없다, 연습문제 4와 같은 논법).

예제 4 (분기 케이스). $2=-i(1+i)^2$. 검산: $(1+i)^2=1+2i+i^2=2i$, $-i\cdot2i=-2i^2=2$ ✓. $N(1+i)=1+1=2$(소수) → $1+i$ 자체는 가우스 소수이고, $2$ 는 이 하나의 가우스 소수가 (단원배를 거쳐) 제곱으로 들어간 유일한 예외 케이스다.

예제 5 (나눗셈 정리, 새 사례). $11+10i$ 를 $4+i$ 로 나누기. $\dfrac{11+10i}{4+i}\approx3.18+1.71i$, 가장 가까운 가우스 정수는 $3+2i$. $\rho=(11+10i)-(4+i)(3+2i)$ 를 계산: $(4+i)(3+2i)=12+8i+3i+2i^2=12+11i-2=10+11i$, 따라서 $\rho=(11+10i)-(10+11i)=1-i$. 확인: $N(\rho)=1+1=2<N(4+i)=17$ ✓. 즉 $11+10i=(4+i)(3+2i)+(1-i)$.

예제 6 (유일인수분해로 두 제곱의 합 재현, $65$). $65=5\cdot13$, 둘 다 $1\bmod4$. $5=(2+i)(2-i)$, $13=(3+2i)(3-2i)$ → $65=(2+i)(2-i)(3+2i)(3-2i)=[(2+i)(3+2i)]\cdot[(2-i)(3-2i)]$. $(2+i)(3+2i)=6+4i+3i+2i^2=6+7i-2=4+7i$, 그 켤레는 $4-7i$ → $65=(4+7i)(4-7i)=4^2+7^2=16+49=65$ ✓. 인수를 다르게 짝지으면($(2+i)(3-2i)$ 등) 또 다른 표현 $65=1^2+8^2$ 도 나온다(두 제곱수의 합의 다중 표현과 같은 현상).

흔한 오해와 함정

• "노름이 소수면 가우스 소수, 거꾸로도 성립"으로 일반화 — 노름이 유리소수이면 가우스 소수인 것은 맞지만(연습문제 5), 그 역은 거짓이다: $7$ 처럼 노름이 (유리)소수의 제곱인데도 가우스 소수인 경우가 있다($p\equiv3\bmod4$ 형). 노름이 합성수라고 곧장 합성원이라 단정해도 안 된다 — 항상 직접 인수를 찾아 확인해야 한다.
• 단원을 무시하고 "분해가 다르다"고 오판 — $11-10i=(3+2i)(1-4i)=(2-3i)(4+i)$ 처럼 겉보기에 다른 두 분해가 실은 $3+2i=i\cdot(2-3i)$, $1-4i=-i\cdot(4+i)$ 라는 단원배 관계로 같은 분해다. 유일인수분해는 단원배·순서를 무시한 유일성이다.
• $2$ 를 $p\equiv1\bmod4$ 나 $p\equiv3\bmod4$ 의 한 경우로 욱여넣음 — $2$ 는 분기라는 세 번째, 별도의 범주다. $2\equiv2\pmod4$ 이므로애초에 $1$도 $3$도 아니다.
• $\mathbb{Z}[i]$ 의 "양수"가 곧 실수부가 양인 것이라 오해 — 정규화는 $a>0,b\ge0$ (두 조건 모두) 이다. $a>0,b<0$ 인 원소는 또 다른 동반자(예: $-i$ 곱)로 정규형에 도달한다.
• 노름 부등식 $N(\rho)<N(\beta)$ 을 "나머지가 작은 정수"로 오해 — $\rho$ 는 여전히 가우스 정수(복소수)이고, 작아지는 것은 그 노름(실수)이다. 실수 나눗셈의 나머지처럼 "더 단순한 수"가 아니라 "원점에 더 가까운 격자점"이라는 기하적 의미.

큰 그림 / 연결

가우스 정수는 유일인수분해가 $\mathbb{Z}$ 만의 전유물이 아님을 보여주는 첫 사례이며, 그 메커니즘(나눗셈 정리 → gcd → Bezout → 유일인수분해)은 보통 정수에서 쓴 것과 정확히 같은 패턴이다(algebra 위키 euclidean-pid-ufd, rings-and-fields 에서 일반화된 형태로 다룬다). 가장 직접적인 응용은 두 제곱수의 합 정리를 한 줄로 재유도하는 것 — $p\equiv1\bmod4$ 인 소수의 분해가 곧 $p=a^2+b^2$ 다. 이 발상을 더 밀고 나가면 $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$, $\mathbb{Z}[\sqrt2]$ 같은 다른 이차 정수환이 Pell 방정식 $x^2-Dy^2=1$ 의 해(그 환의 단원!)를 설명하는 데 쓰인다 — 단, 모든 이차 정수환이 $\mathbb{Z}[i]$ 처럼 유일인수분해를 갖는 것은 아니다(이 위키 범위 밖, algebra/대수적 정수론의 주제인 class number 문제). 더 멀리는 정수론에 대수 구조(환·체)를 도입하는 이 발상이 타원곡선 같은 더 정교한 대수기하적 대상으로 이어진다.

연습문제

1. $N(4+i)$ 를 구하고 $4+i$ 가 가우스 소수인지 판정하라.
2. $17$ 을 가우스 정수로 분해하라.
3. $\mathbb{Z}[i]$ 의 단원이 네 개뿐임을 노름으로 보여라.
4. $3$ 이 $\mathbb{Z}[i]$ 에서 소수임을 보여라.
5. $N(\alpha)$ 가 (유리) 소수이면 $\alpha$ 가 가우스 소수임을 보여라.
6. $14+5i$ 를 $3+2i$ 로 나눗셈 정리를 적용해 몫과 나머지를 구하라($N(\text{나머지})<N(3+2i)$ 확인).
7. $2=-i(1+i)^2$ 임을 직접 전개로 검증하라.
8. $5\cdot13=65$ 의 두 가지 가우스 정수 인수분해 짝짓기로부터 $65$ 의 두 가지 두 제곱수 표현을 모두 구하라.

관련 개념

• 두 제곱수의 합 — $\mathbb{Z}[i]$ 로 가장 깔끔한 설명·재증명
• 산술의 기본정리 — 유일인수분해의 일반화
• 나눗셈과 최대공약수 — 노름 기반 나눗셈 정리·gcd 존재 증명의 원형
• 이차잉여 — $p\equiv1\bmod4$ 의 분해 조건과 $-1$ 이 QR인 것의 동치성
• 펠 방정식 — 다른 이차 정수환 $\mathbb{Z}[\sqrt D]$ 의 단원과 Pell 해(온톨로지 연관)
• algebra 위키 euclidean-pid-ufd, rings-and-fields — $\mathbb{Z}[i]$ 는 Euclid 정역(온톨로지 교차)