τ위상수학
V. 연결성과 콤팩트성 · 12/16

콤팩트성의 변형들

극한점·점렬 콤팩트, 국소 콤팩트

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

콤팩트성의 "열린덮개" 정의는 강력하지만, 실해석학에서 배운 "수열의 언어"로 콤팩트성을 다루는 감각과는 거리가 있다. 미적분에서 Bolzano–Weierstrass 정리("유계인 실수열은 수렴하는 부분수열을 가진다")를 배울 때, 우리는 이미 암묵적으로 "콤팩트성 = 수렴 부분수열을 뽑을 수 있음"이라는 감각을 쓰고 있었다. 이 페이지는 그 감각을 정확한 정의(점렬 콤팩트)로 승격시키고, 그것이 열린덮개 정의와 언제 같고 언제 다른지를 정밀하게 답한다.

핵심 결론은 이렇다: 일반 위상공간에서는 콤팩트·극한점 콤팩트·점렬 콤팩트가 셋 다 다른 개념이지만, 거리화 가능한 공간에서는 셋이 정확히 동치가 된다. 이 동치 정리(Munkres Thm 28.2)가 바로 "거리공간에서는 콤팩트 = 점렬콤팩트"라는 실해석의 상식을 정당화하는 증명이며, 그 증명 안에 르베그 수 보조정리와 전유계성이라는 complete metric spaces의 핵심 도구가 재등장한다. 한편 국소 콤팩트는 콤팩트성 자체가 아니라 "각 점 주변에서 국소적으로" 콤팩트를 흉내 내는 성질로, $\mathbb{R}^n$처럼 전역적으로는 비콤팩트인 공간을 다루는 표준 무대이며 한점 콤팩트화로 이어진다.

직관 (그림으로 보는 세 변종)

극한점 콤팩트는 "무한히 많은 점을 아무 데나 뿌려도 어딘가에는 점들이 몰려 쌓인다"는 뜻이다 — 비둘기집 원리의 위상적 버전. 점렬 콤팩트는 한발 더 나아가 "어떤 수열을 골라도 그 수열 안에서 수렴하는 부분수열을 뽑아낼 수 있다"는 뜻이다. 직관적으로 이 둘은 "공간이 무한히 많은 점을 담을 유한한 크기의 그릇"이라는 같은 그림을 공유하지만, 극한점 콤팩트는 그 그림을 집합에 대해, 점렬 콤팩트는 수열이라는 "순서 붙은" 대상에 대해 그린다 — 거리공간에서는 이 차이가 사라진다(집합의 극한점을 향해 다가가는 부분수열을 항상 구성할 수 있으므로).

국소 콤팩트는 전혀 다른 그림이다. $\mathbb{R}^n$은 전체로 보면 무한히 뻗어 있어 콤팩트가 아니지만, 어느 한 점에 서서 주위를 둘러보면 그 점을 담는 작은 닫힌 공(콤팩트)이 항상 있다 — "국소적으로는 콤팩트 공간에 살고 있는 것처럼 보인다"는 뜻이다. 이 국소적 콤팩트함을 이용해 빠진 무한대를 점 하나로 "압축"해 붙이면 전체가 콤팩트해진다(한점 콤팩트화) — 마치 지도 위의 평면을 한 점(북극)으로 말아 구면으로 만드는 입체사영과 같은 그림이다.

정의

주요 정리

정리 (콤팩트 ⟹ 극한점 콤팩트, Munkres Thm 28.1).1 $X$ 콤팩트이면 극한점 콤팩트. (역은 일반적으로 거짓.)

증명 보기

증명. 무한집합 $A\subseteq X$가 $X$에서 극한점을 갖지 않는다고 가정하자. 그러면 각 점 $x\in X$가 $A$의 점을 (자기 자신 외에는) 전혀 포함하지 않는 열린근방 $U_x$를 갖는다(극한점이 아니라는 정의). $\{U_x\}_{x\in X}$는 $X$의 열린덮개이고 $X$ 콤팩트이므로 유한 부분덮개 $U_{x_1},\dots,U_{x_n}$이 존재한다. 그런데 각 $U_{x_i}$는 $A$의 점을 많아야 하나(자기 자신, $x_i\in A$인 경우)만 포함하므로, $A\subseteq\bigcup U_{x_i}$는 $A$가 유한집합임을 강제한다 — $A$가 무한이라는 가정에 모순. ∎

정리 (거리화 가능 공간에서 삼중 동치, Munkres Thm 28.2 — 어려운 정리).2 거리화가능 공간 $X$에서 다음은 동치: 1. $X$가 콤팩트. 2. $X$가 극한점 콤팩트. 3. $X$가 점렬 콤팩트.

증명 보기

증명 스케치(핵심 세 단계, Munkres가 "가장 어려운 부분"이라 부르는 (3)⟹(1)에 집중). - (1)⟹(2): 위 정리. - (2)⟹(3): 수열 $(x_n)$이 주어지면 $A=\{x_n:n\in\mathbb{Z}_+\}$을 본다. $A$가 유한이면 어떤 값이 무한히 반복되므로 상수 부분수열이 자명하게 수렴. $A$가 무한이면 극한점 콤팩트성으로 극한점 $x$가 존재하고, $B(x,1/i)$가 $A$와 무한히 만난다는 사실을 반복 사용해 $x_{n_i}\in B(x,1/i)$인 부분수열을 귀납적으로 골라내면 $x_{n_i}\to x$. - (3)⟹(1), 3단계: 1. 르베그 수 보조정리가 점렬 콤팩트에서도 성립. 열린덮개 $\mathcal A$에 르베그 수 $\delta$가 없다고 가정하면, 각 $n$마다 지름 $<1/n$이면서 $\mathcal A$의 어떤 원소에도 안 담기는 집합 $C_n$이 존재; $x_n\in C_n$을 골라 수렴 부분수열 $x_{n_i}\to a$를 얻고, $a\in A\in\mathcal A$인 열린 $A$에서 $B(a,\varepsilon)\subseteq A$를 잡으면 결국 큰 $i$에서 $C_{n_i}\subseteq A$가 되어 모순. 2. 점렬 콤팩트 ⟹ 전유계. 어떤 $\varepsilon>0$에 대해 유한 개의 $\varepsilon$-공으로 덮을 수 없다고 가정하면, $x_{n+1}\notin B(x_1,\varepsilon)\cup\cdots\cup B(x_n,\varepsilon)$이 되도록 점을 계속 골라 $d(x_i,x_j)\ge\varepsilon$ (모든 $i\ne j$)인 수열을 만들 수 있는데, 이런 수열은 어떤 부분수열도 코시(따라서 수렴)일 수 없음 — 점렬 콤팩트에 모순. 3. 종합. 임의의 열린덮개 $\mathcal A$에 대해 르베그 수 $\delta$를 얻고, $\varepsilon=\delta/3$로 전유계성이 주는 유한 $\varepsilon$-공 덮개를 얻으면, 각 공의 지름이 $2\delta/3<\delta$이므로 $\mathcal A$의 원소 하나에 통째로 담긴다 — 그 원소들을 모으면 $\mathcal A$의 유한 부분덮개. ∎

정리 (국소 콤팩트 Hausdorff와 한점 콤팩트화, Munkres Thm 29.1).3 $X$가 국소 콤팩트 Hausdorff $\iff$ $X$가 어떤 콤팩트 Hausdorff 공간 $Y$에서 한 점을 뺀 것과 위상동형($Y=X\cup\{\infty\}$). $Y$는 위상동형 차이로 유일하며 한점 콤팩트화라 부른다.

증명 보기

증명 스케치. ($\Leftarrow$) $Y$ 콤팩트 Hausdorff에서 $\infty$ 하나를 뺀 $X=Y\setminus\{\infty\}$가 국소 콤팩트 Hausdorff임을 보이면 된다: $x\in X$에 대해 Hausdorff성으로 $x$와 $\infty$를 분리하는 서로소 열린집합 $U\ni x, V\ni\infty$를 얻으면, $Y\setminus V$가 $Y$의 닫힌부분집합(콤팩트) 이면서 $U$를 포함하는 $x$의 콤팩트 근방. ($\Rightarrow$) $X$가 국소 콤팩트 Hausdorff이면, $X$의 열린집합과 "$Y\setminus C$ ($C$는 $X$의 콤팩트 닫힌부분집합)" 꼴의 $\infty$를 포함하는 집합들로 $Y=X\cup\{\infty\}$에 위상을 주면 $Y$가 콤팩트 Hausdorff가 됨을 직접 확인. 유일성은 두 콤팩트화 사이에 항등사상을 확장하는 위상동형을 구성해 보임. ∎

정리 (국소 콤팩트의 근방 특성화, Munkres Thm 29.2).[synthesis] $X$가 Hausdorff이면: $X$ 국소 콤팩트 $\iff$ 임의의 $x\in X$와 $x$의 근방 $U$에 대해, $x$의 근방 $V$로 $\overline V$가 콤팩트이고 $\overline V\subseteq U$인 것이 존재. (즉 콤팩트 폐포를 갖는 "임의로 작게 조일 수 있는" 근방들이 기저를 이룸.)

따름정리 (국소 콤팩트의 유전, Munkres Cor 29.3).[synthesis] $X$가 국소 콤팩트 Hausdorff이고 $A\subseteq X$가 $X$에서 열려 있거나 닫혀 있으면, $A$는 (부분공간 위상에서) 국소 콤팩트.

예제

예제 1 ($\mathbb{R}$은 비콤팩트이나 국소 콤팩트). $\mathbb{R}$의 각 점 $x$는 콤팩트 근방 $[x-1,x+1]$(Heine–Borel)을 가짐 ⟹ 국소 콤팩트. 그러나 $\mathbb{R}=\bigcup_N(-N,N)$을 유한 부분덮개로 못 덮으므로 전체는 비콤팩트.

예제 2 (점렬 콤팩트 ⟹ 거리에서 콤팩트, Bolzano–Weierstrass의 위상적 재해석). $[0,1]$의 모든 수열은 수렴 부분수열을 가짐(Bolzano–Weierstrass) ⟹ 점렬 콤팩트 ⟹ (거리공간이므로 정리 28.2로) 콤팩트. 이는 정확히 Heine–Borel과 일치.

예제 3 (국소 콤팩트 아님). $\mathbb{Q}$(부분공간 위상)는 국소 콤팩트가 아니다 — $\mathbb{Q}$의 콤팩트 부분집합은 (Heine–Borel의 유리수 버전으로) 내부가 항상 비어 있어서, 어떤 점도 콤팩트 근방을 가질 수 없다.

예제 4 (콤팩트·극한점콤팩트가 갈라지는 비거리 반례, Munkres 예시).1 $Y=\{0,1\}$에 $Y$ 전체와 공집합만을 열린집합으로 주는(비Hausdorff) 위상을 놓고 $X=\mathbb{Z}_+\times Y$를 본다. $X$의 모든 비공 부분집합이 극한점을 가지므로 $X$는 극한점 콤팩트다. 그러나 $\{U_n=\{n\}\times Y\}_{n}$이 $X$의 열린덮개이면서 유한 부분덮개를 갖지 않으므로 $X$는 콤팩트가 아니다 — Hausdorff(또는 거리화 가능성)가 빠지면 정리 28.2의 동치가 무너지는 직접적 사례.

예제 5 (비거리 공간 $\overline S$ — 극한점콤팩트이지만 점렬콤팩트가 아닌 콤팩트 공간).2 최소 비가산 정렬집합에 최대원 $\Omega$를 붙인 $\overline S=S\cup\{\Omega\}$(순서위상)는 콤팩트하다. 그런데 $\overline S$는 수열 보조정리(sequence lemma)를 만족하지 못한다 — $\Omega$가 $S$의 극한점이지만 $S$ 안의 어떤 수열도 $\Omega$로 수렴하지 못한다($S$의 모든 수열이 $S$ 안에 상계를 가지므로). 반면 $S$ 자신은(콤팩트가 아니지만) 수열 보조정리를 만족한다. Munkres는 이를 "$S$가 거리화 불가능함"의 증거로 쓴다 — 거리화 가능성이 빠지면 콤팩트라고 해서 점렬 콤팩트가 자동으로 따라오지 않는다는 예.

예제 6 (무한곱에서 국소 콤팩트가 깨짐).[synthesis] $\mathbb{R}^\omega$(가산무한곱, 상자위상 또는 곱위상)는 국소 콤팩트가 아니다 — 어떤 기저 원소도 콤팩트 부분공간에 담길 수 없다(각 좌표에서 유계여야 하는데 콤팩트이려면 Tychonoff에 의해 모든 좌표가 콤팩트에 담겨야 하지만, 기저 원소는 유한 개의 좌표를 제외하고는 전체 $\mathbb{R}$이므로 유계가 아님). 유한곱 $\mathbb{R}^n$은 국소 콤팩트이지만 이 성질이 무한차원으로 확장되지 않는다는 점에서 콤팩트성 예제 4의 $\ell^2$ 단위공 병리와 같은 계열의 함정이다.

예제 7 (한점 콤팩트화 구체 계산).3 $\mathbb{R}$의 한점 콤팩트화는 $S^1$(원)과 위상동형, $\mathbb{R}^2$의 한점 콤팩트화는 $S^2$(구면)와 위상동형 — 복소평면으로 보면 $\mathbb{C}\cup\{\infty\}$가 리만 구면(복소해석에서 중요). $\mathbb{Z}_+$(이산공간)의 한점 콤팩트화는 $\{0\}\cup\{1/n:n\in\mathbb{Z}_+\}\subseteq\mathbb{R}$과 위상동형 — 무한대가 $0$이라는 "극한점" 하나로 압축되는 그림.

흔한 오해와 함정

큰 그림 / 연결

이 페이지의 삼중 동치 정리는 거리위상의 세계에서 콤팩트성가 왜 "닫혀 있고 유계"·"수열로 다룰 수 있음"이라는 실해석적 직관과 자연스럽게 만나는지를 설명한다. 그 증명 안의 전유계성은 complete metric spaces의 "콤팩트 = 완비 + 전유계" 정리와 정확히 같은 재료(르베그 수, $\varepsilon$-공 유한덮개)를 공유한다 — 사실상 이 페이지와 complete metric spaces는 콤팩트성을 거리언어로 재서술하는 하나의 이야기를 두 각도에서 보는 것이다. 국소 콤팩트 Hausdorff 공간은 baire category theorem이 성립하는 두 번째 큰 범주(완비거리공간과 나란히)이며, 한점 콤팩트화는 콤팩트 Hausdorff 공간을 다루는 정리들(Urysohn 보조정리, 정규성 등)을 국소 콤팩트 공간에도 우회적으로 적용할 수 있게 해주는 표준 다리다. 복소해석의 리만 구면($\mathbb{C}\cup\{\infty\}$)과 사영기하의 사영공간 구성도 한점 콤팩트화(또는 그 친척)의 구체적 사례다.

연습문제

  1. 콤팩트면 극한점 콤팩트임을 증명하라.
  2. $\mathbb{R}^n$이 국소 콤팩트임을 보여라.
  3. $\mathbb{Q}$가 국소 콤팩트가 아님을 설명하라.
  4. $S^n$이 $\mathbb{R}^n$의 한점 콤팩트화임을 (입체사영으로) 설명하라.
  5. 무한차원 노름공간의 닫힌 단위공이 점렬 콤팩트가 아님을 표준기저수열로 보여라.
  6. 정리 28.2의 (2)⟹(3) 방향을 직접 증명하라(극한점 콤팩트 ⟹ 점렬 콤팩트).
  7. 점렬 콤팩트 ⟹ 전유계 증명의 핵심 아이디어(귀류법)를 설명하라.
  8. $\mathbb{Z}_+$(이산위상)의 한점 콤팩트화가 $\{0\}\cup\{1/n\}$과 위상동형임을 설명하라.
  9. 가산 콤팩트($T_1$에서 극한점 콤팩트와 동치)와 콤팩트가 정의상 어떻게 다른지 설명하라(덮개의 크기 제한).
힌트 / 정답
  1. 본문 증명 참조: 무한집합이 극한점 없으면 각 점이 그 집합과 (많아야 자신만) 만나는 근방을 가져 유한 부분덮개가 그 집합을 유한하게만 덮음 — 모순.
  2. 각 점 $x\in\mathbb{R}^n$에 닫힌 공 $\overline B(x,1)$(콤팩트, Heine–Borel)이 $x$의 근방을 포함 ⟹ 국소 콤팩트.
  3. $\mathbb{Q}$의 콤팩트 부분집합은 Heine–Borel(닫히고 유계)에 의해 $\mathbb{R}$에서 닫힌 유계집합과 $\mathbb{Q}$의 교집합인데, 그런 집합은 내부가 비어 있음(유리수 사이에 무리수가 조밀하므로 구간을 통째로 포함 못함) ⟹ 어떤 점도 콤팩트 근방을 못 가짐.
  4. 입체사영 $S^n\setminus\{N\}\cong\mathbb{R}^n$(북극 제외 구면이 평면과 위상동형)이므로 $S^n$은 $\mathbb{R}^n$에 북극이라는 점 하나(=$\infty$)를 더한 것과 정확히 일치.
  5. $\ell^2$의 표준기저 $e_n$: $\|e_n-e_m\|=\sqrt2$ ($n\ne m$) ⟹ 어떤 두 항도 거리 $\sqrt2$ 이상 떨어져 있어 코시 부분수열이 존재할 수 없음 ⟹ 수렴 부분수열 없음 ⟹ 점렬 콤팩트 아님.
  6. 본문 증명 스케치의 (2)⟹(3) 단계: $A=\{x_n\}$이 유한이면 상수 부분수열; 무한이면 극한점 콤팩트성으로 극한점 $x$를 얻어 $B(x,1/i)\cap A$가 무한임을 반복 사용해 $x_{n_i}\to x$인 부분수열을 귀납 구성.
  7. 어떤 $\varepsilon>0$에 대해 유한 $\varepsilon$-공 덮개가 없다고 가정하고, 이미 고른 점들의 $\varepsilon$-공 합집합 밖에서 계속 새 점을 골라 서로 거리 $\ge\varepsilon$인 무한수열을 만듦 — 이 수열은 어떤 부분수열도 코시일 수 없어 점렬 콤팩트에 모순.
  8. $\mathbb{Z}_+$에서 콤팩트 부분집합은 유한집합뿐(이산위상이므로)이라, 한점 콤팩트화의 $\infty$ 근방은 "유한집합의 여집합"들이 되고, 이는 정확히 $1/n\to0$이 되는 구조와 동형(각 $n$이 멀어질수록 $1/n$이 $0$에 가까워지는 것과 대응).
  9. 콤팩트는 모든 열린덮개(크기 제한 없음)에 대해 유한 부분덮개를 요구하지만, 가산 콤팩트는 가산 열린덮개에 대해서만 유한 부분덮개를 요구 — 조건이 더 약하므로 가산 콤팩트가 콤팩트보다 넓은 클래스(콤팩트 ⟹ 가산 콤팩트이지만 역은 일반적으로 거짓).

관련 개념

  1. 원전 소개 — Munkres §28 — limit point compactness: "A space X is said to be limit point compact if every infinite subset of X has a limit point." Theorem 28.1 (compactness implies limit point compactness); Example (Z₊×Y with Y={0,1} indiscrete) showing the converse fails. ↩↩↩

  2. 원전 소개 — Munkres §28, Theorem 28.2 — for metrizable X, compact ⟺ limit point compact ⟺ sequentially compact; full three-part proof via the Lebesgue number lemma and total boundedness. Example 3 (S̄, the minimal uncountable well-ordered set) as a compact-but-not-sequentially-compact non-metrizable space. ↩↩↩

  3. 원전 소개 — Munkres §29 — local compactness: "X is locally compact at x if there is some compact subspace C of X that contains a neighborhood of x." Theorem 29.1 (one-point compactification, existence and uniqueness for locally compact Hausdorff X); Theorem 29.2 (neighborhood characterization); Corollary 29.3 (open/closed subspaces inherit local compactness). ↩↩↩↩