연결성

개요 — 동기·문제의식

연결성(connectedness)은 "공간이 한 덩어리인가, 아니면 갈라진 여러 조각으로 나뉘는가"를 위상적으로 포착한다. 직관적으로 너무나 명백해 보이는 이 성질이 실은 깊은 위상적 불변량이며(연속상이 연결성을 보존), 미적분학의 중간값 정리가 사실은 "연결성이 연속상으로 보존된다"는 사실의 특수한 경우였음을 드러낸다.

연결성과 더 강한 경로연결성(path-connectedness)의 관계도 이 페이지의 핵심이다 — 경로연결이면 항상 연결이지만, 역은 일반적으로 거짓이다. 이 간극을 메우는 표준 반례(위상수학자의 사인곡선)가 위상수학에서 가장 자주 인용되는 병리적 공간 중 하나다. 마지막으로 공간을 최대 연결 조각으로 쪼개는 성분(component) 개념까지 다룬다.

직관 (그림으로 보는 연결성)

평면에서 두 개의 분리된 원판을 생각하면 "비연결"이라는 게 무엇인지 명백하다 — 가운데를 가르는 직선으로 두 조각을 깔끔하게 떼어낼 수 있다. 연결성의 정의는 이 직관을 정확히 뒤집는다: "두 비공 열린집합으로 깨끗하게 갈라낼 수 없으면 연결"이라고 부정문으로 정의한다.

위상수학자의 사인곡선이 보여주는 미묘함은, "끊어지지 않은 것처럼 보인다"(연결)는 것과 "한 붓 그리기가 가능하다"(경로연결)는 것이 다른 질문이라는 점이다. $y=\sin(1/x)$의 그래프가 $x\to0$일 때 $[-1,1]$ 사이를 무한히 빠르게 진동하면서 $y$축에 "달라붙는" 모습을 상상하면, 그래프와 $y$축 사이에는 빈틈(열린집합으로 분리)이 전혀 없지만(연결), 그렇다고 그래프 위의 한 점에서 $y$축 위의 한 점까지 "연속적으로 펜을 떼지 않고" 그릴 수는 없다(경로연결 실패) — 무한 진동을 유한 시간 안에 따라잡을 경로가 존재하지 않기 때문이다.

정의

$X$의 분리(separation):¹ 서로소이고 공집합이 아닌 두 열린집합 $U,V$로 $X=U\cup V$인 것. $X$가 연결(connected) $\iff$ 분리가 존재하지 않는다.

동치 표현. $X$가 연결 $\iff$ $X$의 부분집합 중 열림이자 닫힘(clopen)인 것이 $\varnothing, X$뿐 — 닫힌집합과 폐포에서 본 clopen 개념이 정확히 여기서 본질적 역할을 한다.

• 경로(path): 연속함수 $\gamma:[0,1]\to X$. $\gamma(0)=x$, $\gamma(1)=y$이면 "$\gamma$가 $x$와 $y$를 잇는다."
• 경로연결(path-connected): 임의의 두 점 $x,y\in X$를 잇는 경로가 존재.
• 성분(connected component): $x\in X$를 포함하는 (포함관계에서) 최대 연결 부분집합. 동치관계("같은 연결 부분집합에 함께 들어갈 수 있다")의 동치류로도 정의 가능.
• 경로성분(path component): 마찬가지로 경로연결 관계의 최대 동치류.
• 국소연결(locally connected): 각 점이 연결인 열린근방들로 이루어진 근방기저를 가짐(즉, 임의의 근방 안에 그 점을 포함하는 더 작은 연결 열린집합이 존재).

주요 정리

정리 (연속상 보존, Munkres Thm 23.5).¹ $f:X\to Y$ 연속, $X$ 연결이면 $f(X)$ 연결.

정리 (구간 = $\mathbb{R}$의 연결부분집합, Munkres Thm 24.1).² $\mathbb{R}$의 부분집합이 연결 $\iff$ 구간(또는 한 점, 또는 공집합 — 통칭 "볼록집합": $a,b\in A,\ a<c<b\Rightarrow c\in A$).

정리 (중간값 정리, IVT, 연결성의 직접적 귀결). $f:X\to\mathbb{R}$ 연속, $X$ 연결, $f(a)<r<f(b)$이면 $f(c)=r$인 $c\in X$가 존재.

정리 (연결성의 조작 규칙). - 공통점을 갖는 연결집합들의 합집합은 연결. 증명 스케치. 합집합이 분리 $U\sqcup V$된다면, 공통점은 $U$ 또는 $V$ 어느 한쪽에만 속해야 하는데, 각 연결집합이 그 공통점을 포함하면서 전체가 $U$나 $V$ 한쪽 안에만 들어가야 함(연결집합은 분리를 가로지를 수 없으므로) — 결국 모든 집합이 같은 쪽에 들어가 다른 쪽이 공집합, 모순. - 폐포로의 확장: $A\subseteq B\subseteq\overline A$이고 $A$ 연결이면 $B$도 연결(특히 $\overline A$도 연결). - 곱은 연결: 연결공간들의 (유한 또는 임의) 곱은 곱위상에서 연결.

정리 (경로연결 ⟹ 연결, 역은 거짓).³ 경로연결이면 연결이다.

예제

예제 1 (기본). $\mathbb{R}$은 연결(자기 자신이 구간). $\mathbb{R}\setminus\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,\infty)$은 명백한 분리 ⟹ 비연결(성분 2개).

예제 2 (불변량으로 위상동형 부정). $\mathbb{R}\not\cong\mathbb{R}^2$: $\mathbb{R}$에서 점 하나를 빼면 비연결이지만 $\mathbb{R}^2$에서 점 하나를 빼면 여전히 연결 ⟹ 위상동형이면 점 제거 후의 연결성도 보존돼야 하는데 깨지므로 위상동형 아님. (이 논법은 연속사상과 위상동형의 표준 전략 — 차원이 다른 유클리드 공간을 구별하는 가장 손쉬운 방법.)

예제 3 ($\mathbb{Q}$, 완전비연결). $\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}$는 완전비연결(totally disconnected)이다 — 임의의 두 유리수 $p<q$ 사이에 무리수 $r$이 있어 $\mathbb{Q}\cap(-\infty,r)$과 $\mathbb{Q}\cap(r,\infty)$로 분리할 수 있으므로, 두 점 이상을 가진 연결 부분집합이 존재하지 않는다 — 모든 성분이 한 점뿐.

예제 4 (위상수학자의 사인곡선, 핵심 반례).³ $S=\{(x,\sin\tfrac1x):0<x\le1\}\cup(\{0\}\times[-1,1])$. - 연결: 첫 조각 $S_0=\{(x,\sin\tfrac1x):0<x\le1\}$은 연속함수의 그래프이므로 (구간 $(0,1]$의 연속상으로) 연결, $\overline{S_0}=S$(원점 근처 진동이 $y$축 전체 $\{0\}\times[-1,1]$을 폐포로 끌어들임을 직접 확인 가능) ⟹ "폐포로의 확장" 정리로 $S$도 연결. - 경로연결 아님: $(0,0)$에서 $(1/\pi,0)$으로 가는 경로가 있다고 가정하면, 그 경로의 $x$좌표 성분이 $[0,1]$ 위의 연속함수이므로 $0$ 근처에서 $\sin(1/x)$가 무한히 빠르게 진동하는 것을 유한 시간(경로의 정의역 $[0,1]$) 안에 연속적으로 따라잡아야 하는데 불가능함을 보일 수 있다(엄밀한 증명은 $\varepsilon$-논법으로 경로의 연속성과 진동의 비유계 주파수가 충돌함을 보임).

예제 5 (빗 공간, comb space — 또 다른 표준 반례).⁴ $K=\big(\{0\}\times[0,1]\big)\cup\big([0,1]\times\{0\}\big)\cup\bigcup_{n=1}^\infty\big(\{1/n\}\times[0,1]\big)$ — 가로축 위에 세로로 솟은 "빗살"들이 $1/n$ 위치마다 서 있고, $x=0$에서도 세로 막대(빗자루 손잡이)가 하나 있는 공간 [synthesis]. 이 공간은 경로연결이지만(원점이 아닌 모든 점에서 출발해도 가로축을 거쳐 어디든 갈 수 있음) 국소연결이 아니다 — 손잡이 위의 점 $(0,1)$ 근처의 작은 근방은, 아무리 좁혀도 무한히 많은 빗살의 끝부분을 (서로 떨어진 채로) 포함하게 되어 연결인 작은 근방을 찾을 수 없다. 연결성·경로연결성과 국소연결성이 서로 독립적인 성질임을 보여주는 표준 예.

예제 6 (연결과 콤팩트의 결합, 구간의 특수성). $[0,1]$은 연결이면서 콤팩트(콤팩트성)라는 두 성질을 동시에 가지며, 이 조합이 정확히 IVT와 최대최소 정리를 둘 다 가능하게 한다 — 둘 중 하나라도 빠지면(예: $(0,1)$은 연결이지만 콤팩트 아님, $\{0,1\}$은 콤팩트이지만 연결 아님) 해당 정리가 깨진다.

흔한 오해와 함정

• "연결 = 경로연결" — 위상수학자의 사인곡선이 정확한 반례. 두 개념은 일반적으로 다르며, 국소연결이라는 추가 조건이 있을 때만 두 성분 개념이 일치한다.
• "$X=U\cup V$이고 $U\cap V=\varnothing$이면 항상 분리" — 빠뜨리기 쉬운 것은 $U,V$가 둘 다 열려 있어야 한다는 조건이다. 임의의 두 서로소 집합의 합집합은 항상 가능하지만(거의 모든 집합이 그렇게 쪼개짐), 분리는 그 두 조각이 위상적으로 열려야 한다는 강한 조건.
• "비연결 공간의 성분은 항상 열려 있다" — 일반적으로 거짓이다. $\mathbb{Q}$의 성분(한 점들)은 닫혀 있지만 열려 있지는 않다(이산적이지 않으므로). 성분이 항상 닫혀 있다는 것은 참이지만(연결집합의 폐포가 연결이므로 성분은 자신의 폐포를 포함, 최대성에 의해 폐포와 일치), 열려 있는 것은 국소연결인 경우에만 보장된다.
• "클로픈(clopen) 집합이 있으면 항상 위상이 이상한 것" — 닫힌집합과 폐포에서 본 것처럼 clopen 집합의 존재가 비연결성과 정확히 동치다. 자명한 clopen($\varnothing, X$)은 항상 있지만, 다른 clopen이 있다는 것이 바로 비연결의 정의다.
• "중간값 정리는 $\mathbb{R}$의 특수한 성질" — 정확히는 $\mathbb{R}$이 정의역에서 떠받치는 게 아니라, 공역이 $\mathbb{R}$(또는 연결인 임의의 순서공간)이라는 점과 정의역이 연결이라는 점, 이 둘의 조합이 본질이다. 정의역이 $\mathbb{R}$일 필요는 전혀 없다(예: 구면 위 연속함수에도 IVT 유사 논법 적용 가능).

큰 그림 / 연결

연결성은 연속사상과 위상동형에서 정의한 "연속상으로 보존되는 위상적 성질"의 가장 직관적인 예이며, 콤팩트성와 함께 두 공간을 구별하는 가장 강력한 한 쌍의 무기다. 곱위상에서 연결성이 임의 곱에서도 보존됨을 보았고(콤팩트성의 Tychonoff 정리보다 증명이 쉬움), 몫위상에서 연속전사의 상으로 연결성이 보존되므로 몫공간을 만들 때 연결성을 잃을 걱정은 없다(반면 Hausdorff성은 잃을 수 있다 — 대조적). 호모토피와 기본군은 경로연결성을 한 걸음 더 정밀화해 "경로들 사이의 연속적 변형"이라는 호모토피 개념으로 나아간다 — 기본군이 정의되려면 먼저 경로연결을 전제하는 것이 표준이다. 해석학의 IVT·평균값 정리·구간의 성질은 모두 이 페이지의 정리들의 특수 경우다.

연습문제

1. $S^1$(원)이 연결임을 (연속상으로) 보여라.
2. $[0,1]\not\cong[0,1]\cup[2,3]$(위상동형 아님)을 연결성으로 보여라.
3. 연결공간의 연속상이 연결이라는 사실을 이용해 IVT를 다시 진술하라.
4. $GL_n(\mathbb{R})$(가역행렬)이 비연결임을 행렬식으로 보여라.
5. 위상수학자의 사인곡선 $S$가 연결임을, "폐포로의 확장" 정리를 이용해 증명하라.
6. 빗 공간(예제 5)이 경로연결이지만 국소연결이 아님을 설명하라.
7. $A,B$가 둘 다 연결이고 $\overline A\cap B\ne\varnothing$이면 $A\cup B$가 연결임을 보여라(폐포 확장 정리의 변형).
8. $X$의 성분이 항상 닫혀 있음을 증명하라.

관련 개념

• 연속사상과 위상동형 — 보존되는 불변량
• 닫힌집합과 폐포 — clopen 집합과 연결성의 동치 관계
• 콤팩트성 — 또 다른 핵심 불변량, 구간에서 둘이 함께 작동
• 곱위상 — 연결성의 곱 보존
• 몫위상 — 연속전사로 연결성 보존, Hausdorff와 대조
• 호모토피와 기본군 — 더 섬세한 연결성(경로연결·단순연결)
• 해석학: 연결성·IVT → analysis 위키 connectedness