II. 폐포와 극한점 · 4/16

극한점과 하우스도르프

극한점, 수렴의 유일성, T₂ 공리

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

닫힌집합과 폐포에서 폐포를 "$A$를 포함하는 최소 닫힌집합"으로 정의했다. 이제 그 폐포를 점 단위로 분해한다 — 폐포에 새로 추가되는 점들이 정확히 극한점(limit point), 즉 집합이 "임의로 가까이" 다가오는 점들이다. 이 분해($\overline A = A\cup A'$)가 폐포의 추상적 정의를 손에 잡히는 도구로 바꾼다.

그런데 일반 위상공간에서 극한·수렴이라는 직관에는 함정이 있다. 거리공간에서는 "극한이 유일하다"는 것이 너무 당연해 의심조차 하지 않지만, 임의의 위상공간에서는 수렴하는 수열의 극한이 여러 개일 수 있다(자명위상이 극단적 예 — 모든 수열이 모든 점으로 수렴!). 해석학의 직관을 위상공간 일반으로 옮기려면 이 병리를 막을 최소한의 추가 조건이 필요하다. 그것이 Hausdorff 공리($T_2$) — 서로 다른 두 점을 서로소 열린집합으로 떼어낼 수 있다는 조건이다. 학부 수준에서 다루는 거의 모든 "정상적인" 공간(거리공간·다양체·CW복합체)이 Hausdorff이며, 이 공리가 없으면 직관에 반하는 현상이 속출한다.

직관

극한점의 정의 "$x$의 모든 근방이 $A$의 ($x$ 아닌) 점을 포함한다"는, $x$ 주위를 아무리 좁혀도 $A$의 다른 점을 떨쳐낼 수 없다는 뜻이다 — $x$가 $A$ 안에 있든 없든, $A$가 $x$로 "수렴해 들어온다"는 신호다. 이것은 폐포 판정(근방마다 $A$와 만남)과 거의 같은 모양이지만, 자기 자신($x\in A$, $x=x$인 자명한 교집합)을 배제했다는 점이 다르다 — 그래서 "고립점"($A$ 안에 있지만 자기 혼자 떨어져 있는 점)과 극한점을 구별할 수 있다.

Hausdorff 공리의 직관은 "두 점이 위상적으로도 서로 다른 존재로 구별된다"는 것이다. 자명위상에서는 위상이 너무 거칠어서 어떤 점도 다른 점과 열린집합으로 갈라놓을 수 없다 — 위상만 보면 모든 점이 사실상 "같은 곳"에 있는 셈이다. Hausdorff 공리는 이 극단을 막아, 적어도 점들이 "따로 떨어진 동네"를 가질 수 있게 보장한다.

정의

$A\subseteq X$, $x\in X$에 대해:¹ - $x$가 $A$의 극한점(limit point, 집적점) $\iff$ $x$를 포함하는 모든 열린집합이 $A$의 점을 ($x$ 자신과 다르게) 적어도 하나 포함한다. 동치로 $x\in\overline{A\setminus\{x\}}$. 극한점 전체를 $A'$로 적는다(도함수집합, derived set). - $x\in A$가 고립점(isolated point) $\iff$ $x\notin A'$, 즉 $x$를 포함하는 어떤 열린집합이 $A\cap U=\{x\}$.

Hausdorff 공리($T_2$).¹ 서로 다른 두 점 $x\ne y\in X$에 대해, $x\in U$, $y\in V$, $U\cap V=\varnothing$인 열린집합 $U,V$가 존재한다.

$T_1$ 공리(약한 분리). 서로 다른 두 점 $x\ne y$마다, $x\in U$, $y\notin U$인 열린집합 $U$가 존재한다(한쪽 방향만 — $T_2$보다 약함). $T_1\iff$ 모든 한 점 집합이 닫힘.

수열 수렴. $x_n\to x$ $\iff$ $x$를 포함하는 모든 열린집합 $U$에 대해, 어떤 $N$ 이상에서 항상 $x_n\in U$.

주요 정리

정리 (폐포 = 집합 + 극한점, Munkres Thm 17.6).² $\overline{A} = A\cup A'$. 따라서 $A$가 닫힘 $\iff$ $A$가 자신의 모든 극한점을 포함($A'\subseteq A$).

증명 보기

증명 스케치. ($\supseteq$) $A\subseteq\overline A$는 자명, $A'\subseteq\overline A$는 정의(극한점은 폐포 판정 조건을 만족). ($\subseteq$) $x\in\overline A$이고 $x\notin A$라 하자. 폐포 판정에 의해 $x$의 모든 근방이 $A$를 만나는데 $x\notin A$이므로 그 교집합은 항상 $A\setminus\{x\}=A$의 점 — 즉 $x\in A'$. ∎

정리 (Hausdorff의 연쇄적 귀결). 1. $T_2\Rightarrow T_1$, 그리고 $T_1\iff$ 모든 한 점 집합이 닫힘.

증명 보기

증명. $T_2$이면 임의의 $y\ne x$에 대해 $y$를 포함하고 $x$를 뺀 열린집합이 존재 ⟹ $T_1$. $T_1$이면 $x\ne y$마다 $y\notin\{x\}$인 점을 빼는 열린집합이 존재하므로, 그 합집합 $X\setminus\{x\}$가 열림 ⟹ $\{x\}$ 닫힘. 역으로 한 점 집합이 모두 닫혀 있으면 같은 논법을 거꾸로 적용해 $T_1$. ∎ 2. 유한집합은 ($T_1$ 공간에서) 닫힘 — 유한 합집합이 닫힘이므로. 3. 극한점의 무한성 특징($T_1$ 공간에서). $x$가 $A$의 극한점 $\iff$ $x$의 모든 근방이 $A$의 무한히 많은 점을 포함. 증명. ($\Leftarrow$) 자명. ($\Rightarrow$) $x$의 어떤 근방 $U$가 $A$의 유한히 많은 점만 포함한다고 하자(가정상 적어도 하나는 $x$ 외의 점). $U\cap A\setminus\{x\}=\{a_1,\dots,a_n\}$이 유한집합이므로 $T_1$에 의해 $\{a_1,\dots,a_n\}$은 닫힘 ⟹ $U\setminus\{a_1,\dots,a_n\}$이 $x$를 포함하는 열린집합인데 $A\setminus\{x\}$를 만나지 않음 — 극한점 정의에 모순. ∎ 4. 극한의 유일성. Hausdorff 공간에서 수렴하는 수열의 극한은 유일하다. 증명. $x_n\to x$, $x_n\to y$, $x\ne y$라 하면 서로소 $U\ni x$, $V\ni y$가 존재. 충분히 큰 $n$에서 $x_n\in U$이고 (동시에) $x_n\in V$ — $U\cap V\ne\varnothing$, 모순. ∎

정리 (Hausdorff의 유전·보존, Munkres §17-19). Hausdorff 공간의 부분공간은 Hausdorff(서로소 열린집합을 부분공간에 교집합시키면 됨). Hausdorff 공간들의 (유한 또는 임의) 곱도 곱위상에서 Hausdorff. 단, 몫공간은 일반적으로 Hausdorff를 물려받지 않는다 — 몫위상의 두 점 직선 같은 예가 핵심 반례.

정리 (왜 $T_1$만으로는 부족한가). $T_1$은 한 점을 닫게 만들지만, 두 점을 동시에 서로소 열린집합으로 가두지는 못한다 — 여유한위상이 정확히 이 간극을 보여준다(아래 예제 3). $T_1$과 $T_2$ 사이에는 진짜 간극이 있으며, 이 간극을 메우는 더 강한 분리공리들의 사다리가 분리공리의 주제다.

예제

예제 1 (극한점 계산). $\mathbb{R}$ 표준위상에서 $A=(0,1)$: $A'=[0,1]$(끝점 $0,1$도 모든 근방이 $A$를 만나므로 극한점). $A=\{1/n:n\in\mathbb{Z}^+\}$: $A'=\{0\}$뿐 — 각 $1/n$ 자신은 고립점($1/n$ 주위 작은 구간이 다른 $1/m$을 배제할 수 있으므로).

예제 2 (자명위상의 병리). $X=\{a,b\}$, 자명위상 $\{\varnothing,X\}$: 상수수열 $a,a,a,\dots$이 $a$로도, $b$로도 수렴한다(유일한 비공 열린집합 $X$가 둘 다 포함하므로 수렴 조건을 자동 만족). 극한이 비유일 ⟹ Hausdorff 아님(사실 $T_1$도 아님 — $\{a\}$가 닫혀 있지 않음, $X\setminus\{a\}=\{b\}$가 열려있지 않으므로).

예제 3 (여유한위상은 $T_1$이나 $T_2$는 아님). 무한집합 $X$의 여유한위상: 한 점 $\{x\}$의 여집합은 (한 점을 뺀 것이므로) 여집합이 유한이 아니라... 정확히는 $\{x\}$가 닫힘인지 확인하면 $X\setminus\{x\}$가 열려야 하는데, 그 여집합은 $\{x\}$로 유한이므로 열림 ⟹ $T_1$ ✓. 그러나 위상공간에서 본 것처럼 무한집합 위 여유한위상에서는 임의의 두 비공 열린집합이 항상 만난다(둘 다 여집합이 유한이므로 서로소면 $X$가 유한집합 둘의 합집합이 되어 모순) ⟹ 서로소 분리 불가 ⟹ Hausdorff 아님. $T_1$이면서 $T_2$가 아닌 가장 표준적인 예.

예제 4 (거리공간은 항상 Hausdorff). $(X,d)$에서 $x\ne y$, $r=d(x,y)/2>0$이면 $B(x,r)\cap B(y,r)=\varnothing$(삼각부등식: 만약 $z$가 둘 다에 속하면 $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)<r+r=d(x,y)$, 모순) ⟹ 모든 거리공간은 Hausdorff. 거리위상의 가장 기초적인 성질.

예제 5 (두 원점 직선, Hausdorff 실패의 미묘한 예). $\mathbb{R}\times\{0,1\}$에서 $(x,0)\sim(x,1)$ (단 $x\ne0$일 때만)로 동일시한 몫공간을 생각하면, 원점이 $0_1=(0,0)$과 $0_2=(0,1)$ 둘로 "복제"된 직선이 나온다. $0_1$의 모든 근방과 $0_2$의 모든 근방은 (둘 다 원점 근처의 구간을 품으므로) 항상 만난다 — 서로소로 떼어낼 수 없음 ⟹ Hausdorff 아님. 그러나 각 점은 닫혀 있음($T_1$은 성립) — $T_1$과 $T_2$의 간극을 보여주는 또 다른 표준 반례, 몫위상가 분리공리를 깨뜨릴 수 있음을 보여주는 전형.

예제 6 (콤팩트 부분집합은 닫힘, Hausdorff의 활용 미리보기). $X$가 Hausdorff이고 $K\subseteq X$가 콤팩트면 $K$는 닫혀 있다 — 증명은 각 $x\notin K$에 대해 $K$의 모든 점을 $x$와 서로소 열린집합으로 떼어낸 뒤 유한 부분덮개를 쓰는 논법으로(콤팩트성 참고), Hausdorff 공리가 정확히 그 분리를 가능하게 한다.

흔한 오해와 함정

"극한점은 집합 안의 점이어야 한다" — 틀림. 극한점은 $A$ 안에 있을 수도, 없을 수도 있다. 예제 1의 $0\notin(0,1)$이지만 극한점이다. $A$ 안에 있으면서 극한점이 아닌 점이 고립점이다.
"$T_1$이면 충분히 분리되어 있다" — 여유한위상이 정확한 반증이다. $T_1$은 점이 개별적으로 닫힌다는 것만 보장하지, 두 점을 동시에 서로소 근방으로 가두지는 못한다.
"극한점은 항상 무한히 많은 점에 둘러싸인다"는 일반화 — 일반 위상공간에서는 거짓이다(정리 3은 $T_1$ 가정이 필요). $T_1$이 아닌 공간에서는 한 점만으로도(자기 복제처럼 보이는 위상으로) 극한점 조건을 만족시킬 수 있다.
"수열로 폐포를 다 잡을 수 있다" — 일반 위상공간에서는 거짓. 거리공간·제1가산공간에서만 수열이 폐포를 완전히 결정한다(거리위상 참고) — 비가산 곱 같은 공간에서는 수열로는 부족하고 net이나 filter가 필요하다(이 위키에서는 orientation 수준으로만 언급).
"Hausdorff는 부분공간·곱·몫 어디서나 보존된다" — 부분공간과 곱은 맞지만 몫은 아니다. 두 원점 직선이 정확히 그 반례.

큰 그림 / 연결

극한점은 닫힌집합과 폐포의 폐포를 점 단위로 분해해, $A$가 닫혀 있다는 추상적 조건을 "극한점을 다 포함한다"는 손에 잡히는 조건으로 바꾼다. Hausdorff 공리는 분리공리에서 시작하는 사다리($T_0\subset T_1\subset T_2\subset T_3\subset T_{3.5}\subset T_4$)의 두 번째 단이며, 콤팩트성에서 "콤팩트 + Hausdorff" 조합이 위상수학에서 가장 강력한 패키지(콤팩트→Hausdorff 연속전단사는 위상동형, 몫위상)를 이룬다. urysohn lemma·우리손 거리화 정리은 Hausdorff보다 더 강한 분리공리($T_4$, 정규성)를 요구하며, 거리위상의 모든 거리공간이 자동으로 Hausdorff라는 사실이 "거리화가능하려면 최소한 Hausdorff여야 한다"는 필요조건의 출발점이다. 해석학에서 "극한이 유일하다"는 당연하게 여겨지는 사실이, 사실은 $\mathbb{R}$이 Hausdorff라는 위상적 사실의 특수한 경우였음이 여기서 드러난다.

연습문제

$\mathbb{R}$에서 $\mathbb{Z}$의 극한점 집합을 구하라.
$T_1$ 공간에서 한 점 집합이 닫힘임을 (정의에서 직접) 증명하라.
Hausdorff 공간에서 콤팩트 부분집합이 닫혀 있음을 증명하라(콤팩트성 학습 후 권장).
두 원점 직선이 $T_1$이지만 Hausdorff는 아님을 보여라.
여유한위상이 $T_1$이지만 $T_2$가 아님을 (직접 정의로) 증명하라.
$A'\subseteq\overline A$이지만 일반적으로 $A'\ne\overline A$임을 예로 보여라.
Hausdorff 공간의 부분공간이 Hausdorff임을 증명하라.
$X$가 $T_1$이고 $A\subseteq X$가 유한이면 $A'=\varnothing$임을 보여라(고립점만 모인 집합).

힌트 / 정답

$\mathbb{Z}'=\varnothing$ — 각 정수 $n$ 주위에 $(n-\tfrac12,n+\tfrac12)$를 잡으면 다른 정수를 전혀 포함하지 않으므로 모든 정수가 고립점.
$T_1$ 정의에서, $y\ne x$인 각 $y$에 대해 $y$를 포함하고 $x$를 뺀 열린집합 $U_y$가 존재 ⟹ $X\setminus\{x\}=\bigcup_{y\ne x}U_y$가 열린집합들의 합집합으로 열림 ⟹ $\{x\}$ 닫힘.
콤팩트 $K$, $x\notin K$ 고정. 각 $y\in K$에 대해 Hausdorff로 서로소 $U_y\ni y$, $V_y\ni x$ 선택. $\{U_y\}_{y\in K}$가 $K$의 열린덮개이므로 유한 부분덮개 $U_{y_1},\dots,U_{y_n}$ 존재. $V=\bigcap_{i=1}^n V_{y_i}$는 $x$를 포함하는 (유한 교집합이므로) 열린집합이며 $K$를 전혀 안 만남(각 $U_{y_i}$와 서로소) ⟹ $X\setminus K$가 열림 ⟹ $K$ 닫힘.
각 점 $(x,i)$ ($i=0,1$)는 닫혀 있음(여집합이 둘 다 열려 있는 조각들의 합집합) ⟹ $T_1$. 그러나 $0_1=(0,0)$과 $0_2=(0,1)$의 모든 근방은 원점 근처 구간 $(-\varepsilon,\varepsilon)\setminus\{0\}$을 공유하므로(동일시되어 같은 점들) 항상 만남 ⟹ Hausdorff 아님.
$T_1$: $\{x\}$의 여집합이 $\{x\}$ 자체를 뺀 것 — 단일 원소를 뺀 집합의 여집합이 유한($=\{x\}$)이므로 열림 ⟹ $\{x\}$ 닫힘. $T_2$ 실패: 두 비공 열린집합(여집합 유한)이 만약 서로소라면 $X=U_1^c\sqcup U_2^c\sqcup(U_1\cap U_2)$ 분해에서 $X$가 두 유한집합의 합집합이 되어 무한이라는 가정에 모순.
$A=\{0\}\cup\{1/n:n\in\mathbb{Z}^+\}\subseteq\mathbb{R}$: $A'=\{0\}$뿐(각 $1/n$은 고립점)이지만 $\overline A=A=\{0\}\cup\{1/n\}$ — $A'\subsetneq\overline A$(고립점들이 폐포에는 남아 있지만 극한점은 아님).
$Y\subseteq X$ 부분공간, $x\ne y\in Y$. $X$에서 서로소 $U\ni x$, $V\ni y$를 잡으면 $U\cap Y$, $V\cap Y$가 $Y$에서 열려 있고 서로소이며 각각 $x,y$ 포함.
$A=\{a_1,\dots,a_n\}$ 유한, $T_1$이므로 각 $\{a_i\}$ 닫힘 ⟹ 유한 합집합 $A$도 닫힘 ⟹ $A'\subseteq A$(닫힘의 정의). 만약 $x\in A'$라면 $x$의 모든 근방이 $A$의 ($x$ 아닌) 점을 포함해야 하는데, $A\setminus\{x\}$도 유한이라 닫혀 있으므로 $X\setminus(A\setminus\{x\})$가 $x$를 포함하는 열린집합이면서 $A\setminus\{x\}$를 전혀 안 만남 — 극한점 정의에 모순. 따라서 $A'=\varnothing$.