II. 수열과 급수 · 5/16

코시 수열

코시 ⟺ 수렴 — 수열로 본 완비성

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

수렴의 정의 $d(x_n,p)<\varepsilon$ 은 치명적인 약점이 있다 — 수렴을 확인하려면 극한 $p$ 를 미리 알아야 한다. 그런데 정작 우리가 알고 싶은 것은 보통 "이 수열이 수렴하는가?"이지, "이미 안 답으로 가는가?"가 아니다. 재귀적으로 정의된 수열, 급수의 부분합, 반복법의 근사값들 — 이런 경우 극한값을 미리 알 길이 없다. Cauchy 수열은 이 딜레마를 정확히 해결한다: 극한을 전혀 언급하지 않고, 항들끼리 서로 얼마나 가까워지는가만으로 수렴을 판정하는 기준을 제공한다. 그리고 놀랍게도 $\mathbb{R}$ 에서는 이 내재적 기준이 외재적 수렴과 정확히 일치한다 — 이것이 완비성의 수열 버전이다.

직관

Cauchy 조건을 그리는 가장 좋은 그림은 "항들이 결국 서로를 향해 몰려든다"는 것이다. 수렴의 정의가 "모든 항이 고정된 목표점 $p$ 에 다가간다"는 그림이라면, Cauchy의 정의는 "모든 항이 서로에게 다가간다"는 그림이다 — 목표가 어디인지 몰라도, 항들이 점점 더 좁은 무리를 이루며 서로 가까워지기만 하면 된다. 직관적으로는 둘이 같은 말처럼 들린다(서로 가까워진다면 분명 어딘가로 모이고 있을 것 같으니까). 그런데 이 직관이 항상 옳으려면 공간 자체에 "모일 곳"이 비어 있지 않아야 한다 — $\mathbb{Q}$ 처럼 빈틈이 있는 공간에서는 항들이 서로 점점 가까워지면서도 그 빈틈을 향해 몰려가, 정작 그 공간 안에서는 수렴할 곳이 없을 수 있다. 그래서 "Cauchy ⟹ 수렴"이 성립하는 공간을 따로 "완비"하다고 부른다.

정의

수열 $\{x_n\}$ 이 Cauchy 수열이라는 것은:¹

$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \text{ s.t. } m, n \ge N \Rightarrow d(x_m, x_n) < \varepsilon.$$

수렴의 정의가 극한 $p$ 와의 거리를 통제하는 반면, Cauchy의 정의는 항들끼리의 거리만 통제한다 — 극한을 언급하지 않는다.

거리공간이 완비(complete)라는 것은 그 안의 모든 Cauchy 수열이 (그 공간 안에서) 수렴한다는 뜻이다.

정의	통제 대상	극한을 알아야 하는가
수렴	$d(x_n,p)$	예 — $p$ 가 정의에 등장
Cauchy	$d(x_m,x_n)$, $m,n\ge N$	아니오 — 항들끼리만 비교

주요 정리

정리 (수렴 ⇒ Cauchy). 거리공간 일반에서 항상 성립한다.

증명 보기

증명. $x_n\to p$ 라 하자. $\varepsilon>0$ 에 $N$: $n\ge N\Rightarrow d(x_n,p)<\varepsilon/2$. $m,n\ge N$ 이면 삼각부등식으로 $d(x_m,x_n)\le d(x_m,p)+d(p,x_n)<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$. ∎

정리 (Cauchy ⇒ 수렴, $\mathbb{R}$). Cauchy 수렴 판정: 실수열은 수렴 $\iff$ Cauchy. Bartle은 이를 절의 "주 정리"로 강조하며, "극한을 모른 채 수렴을 증명하는 방법을 준다"는 점을 높이 산다.²

증명 보기

증명. ($\Rightarrow$) 위 정리. ($\Leftarrow$) $\{x_n\}$ 이 Cauchy라 하자. 1. Cauchy 수열은 유계다. $\varepsilon=1$ 로 잡으면 $m,n\ge N$ 에서 $|x_m-x_n|<1$; 특히 $n\ge N\Rightarrow|x_n-x_N|<1\Rightarrow|x_n|<|x_N|+1$. 처음 $N-1$ 개는 유한이므로 전체가 유계. 2. 유계 ⟹ 수렴 부분수열 존재 (Bolzano–Weierstrass). $x_{n_k}\to L$ 인 부분수열이 존재. 3. Cauchy성으로 전체가 $L$ 로 수렴. $\varepsilon>0$ 에, Cauchy성으로 $m,n\ge N_1\Rightarrow|x_m-x_n|<\varepsilon/2$; 부분수열 수렴으로 $k$ 충분히 크면 $n_k\ge N_1$ 이고 $|x_{n_k}-L|<\varepsilon/2$. 그러면 모든 $n\ge N_1$ 에서 $|x_n-L|\le|x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-L|<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$. ∎

이 증명의 구조 — "유계 → B–W로 부분수열 수렴 → Cauchy성으로 전체 수렴" — 은 완비성의 여러 동치 형태가 서로를 어떻게 함의하는지 보여주는 전형적 패턴이다.

정리 (완비성, Rudin). $\mathbb{R}^k$ 와 모든 콤팩트 거리공간은 완비다.³ 반면 $\mathbb{Q}$ 는 불완비($\sqrt 2$ 로 가는 유리수 Cauchy 수열은 $\mathbb{Q}$ 안에서 발산).

정리 (Cauchy 판정의 산술적 형태). $\{x_n\}$ 이 Cauchy $\iff$ $\forall\varepsilon>0\,\exists N: n\ge N\Rightarrow|x_{n+p}-x_n|<\varepsilon$ (모든 $p\ge1$ 에 대해 균등하게). 주의: $|x_{n+1}-x_n|\to0$ 만으로는 Cauchy를 보장하지 못한다(아래 흔한 오해 참고).

보충 — Cauchy 수열에 의한 $\mathbb{R}$ 구성

$\mathbb{R}$ 는 유리수 Cauchy 수열의 동치류로도 구성된다(Cantor). Rudin은 Cantor와 Dedekind가 모두 1872년에 발표했다고 적는다.⁴ dedekind cuts 의 절단 구성과 함께, 이는 $\mathbb{Q}$ 의 표준적 완비화 두 가지다 — 절단은 "수보다 작은 유리수 전체"로 정적으로 정의하고, Cauchy 구성은 "그 수에 다가가는 유리수열들의 동치류"로 동적으로 정의한다.

예제

예제 1 ($e$ 로 수렴, 극한을 모른 채). $x_n = \sum_{k=1}^n 1/k!$ 은 Cauchy다 — $|x_{n+p}-x_n|=\sum_{k=n+1}^{n+p}1/k!<\sum_{k=n+1}^{\infty}1/2^{k-1}\to0$ — 따라서 수렴($\to e$). 극한값을 몰라도 수렴함을 안다.

예제 2 (불완비성의 증거). $\mathbb{Q}$ 에서 $x_1=1, x_{n+1}=\tfrac{x_n}{2}+\tfrac1{x_n}$ 은 Newton법으로 $\sqrt2$ 에 다가가는 수열이며 Cauchy지만, 극한 $\sqrt2 \notin \mathbb{Q}$ — $\mathbb{Q}$ 안에서는 수렴하지 않는다(불완비성의 직접적 증거).

예제 3 (Cauchy가 아닌 발산 — 조화급수). 조화수열 부분합 $s_n=\sum_{k=1}^n 1/k$ 는 Cauchy가 아니다: $|s_{2n}-s_n|=\sum_{k=n+1}^{2n}1/k\ge n\cdot\frac1{2n}=\frac12$ — 인접 항 차이가 $0$ 으로 가도($1/n\to0$) Cauchy 조건의 "모든 $p$ 에 대해 균등"이 깨진다.

예제 4 (인접 항 차이만으로는 부족함을 보여주는 또 다른 예). $x_n=\sqrt n$ 은 $|x_{n+1}-x_n|=\sqrt{n+1}-\sqrt n=\frac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\to0$ 이지만 $x_n\to\infty$ — 발산. 인접 항 차이가 $0$ 으로 가는 것은 Cauchy의 필요조건도 아니고 충분조건도 아니다(혼동하기 쉬운 함정).

예제 5 (거리공간에서 완비가 아닌 예). 구간 $(0,1)$(보통의 거리, 부분공간)은 완비가 아니다 — $x_n=1/n$ 은 $(0,1)$ 안에서 Cauchy지만 그 극한 $0$ 이 $(0,1)$ 의 원소가 아니다. 완비성은 공간 자체의 성질이지, 그 공간이 들어있는 더 큰 공간과 무관하게 정의되지 않는다는 점을 보여준다.

두 교재의 접근

같은 정리, 특유의 액자. Bartle은 $\mathbb{R}$ 에서 진술하고 실용적 수렴 판정으로 내세운다 — 재귀적으로 정의된 수열이나 급수의 부분합처럼 극한을 미리 알 수 없는 상황에 곧바로 적용한다. Rudin은 "완비"를 거리공간의 속성으로 끌어올려 실직선 경우를 일반 이론에 포함시키고, $\mathbb{R}^k$·콤팩트 공간의 완비성을 한 번에 다룬다. → rudin vs bartle

흔한 오해와 함정

"인접 항의 차이가 $0$ 으로 가면 Cauchy다" — 거짓(예제 3, 4). $|x_{n+1}-x_n|\to0$ 은 Cauchy 조건의 필요조건도 충분조건도 아니다. Cauchy는 모든 $m,n\ge N$ 의 쌍에 대해 균등하게 가까워짐을 요구한다.
"Cauchy 수열은 항상 단조" — 전혀 아니다. 진동하면서도 진폭이 줄어드는 수열(예제 1처럼 부호가 바뀌는 급수의 부분합)도 Cauchy일 수 있다.
"완비성은 어디서나 자동으로 성립" — 거짓. 완비성은 부분공간을 취하면 깨지기 쉽다(예제 5). $(0,1)$, $\mathbb{Q}$ 모두 $\mathbb{R}$ 의 부분집합이지만 완비가 아니다.
Cauchy 정의와 수렴 정의를 혼동 — 정의상 Cauchy는 $d(x_m,x_n)$(두 항 사이), 수렴은 $d(x_n,p)$(항과 극한 사이)를 통제한다. $\mathbb{R}$ 에서는 동치이지만 정의 자체는 다르다 — 일반 거리공간에서는 동치가 깨진다(불완비 공간).
"Cauchy 판정은 $\mathbb{R}$ 가 아니어도 항상 성립" — 거짓. "Cauchy $\iff$ 수렴"은 $\mathbb{R}$(또는 임의의 완비 거리공간)에서만 성립한다. $\mathbb{Q}$ 에서는 Cauchy이면서 발산하는 수열이 있다(예제 2).

큰 그림 / 연결

Cauchy 수열은 완비성 공리을 수열의 언어로 다시 쓴 것이며, 수열의 수렴가 정의한 수렴 개념을 "극한을 몰라도 검증 가능한" 형태로 정밀화한다. 증명에서 핵심적으로 의존하는 볼차노–바이어슈트라스 정리는 유계수열에서 수렴 부분수열의 존재를 보장해 Cauchy 판정의 다리 역할을 한다. dedekind cuts의 절단 구성과 함께 Cauchy 수열의 동치류 구성은 $\mathbb{Q}$ 를 완비화하는 두 가지 표준 방법이며, 이 "Cauchy 수열로 완비화한다"는 전략은 해석학 전체에서 반복된다 — 함수해석학의 Banach 공간(완비 노름공간)·Hilbert 공간이 정확히 이 패턴으로 만들어지고, 균등수렴에서 함수열의 균등 Cauchy 조건이 균등수렴의 표준 판정 도구가 된다. 급수의 Cauchy 판정(부분합 수열의 Cauchy성)도 본 페이지의 직접적 응용이다.

연습문제

정의로부터 "수렴 ⟹ Cauchy"를 증명하라(본문의 증명을 자기 말로 다시 써라).
$x_n=(-1)^n$ 이 Cauchy가 아님을 정의로 직접 보여라($\varepsilon$ 을 하나 골라 반례를 구성).
$x_n=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}/k$ (교대조화급수의 부분합)이 Cauchy임을 보여라(교대급수의 꼬리 추정을 이용).
$\mathbb{R}^2$ 에서 Cauchy 수열의 정의를 쓰고, $\mathbb{R}^2$ 가 완비임을 좌표별로 환원하여 정당화하라.
"$|x_{n+1}-x_n|\to0$" 만으로 Cauchy를 보장하지 못함을 $x_n=\sqrt n$ 외의 예로 하나 더 들어라.
$\mathbb{Q}$ 안에서 Cauchy이지만 수렴하지 않는 구체적 수열을 (예제 2와 다른 것으로) 제시하라.
완비 거리공간의 닫힌 부분집합은 완비임을 증명하라.
Cauchy 수렴 판정의 증명에서 "Bolzano–Weierstrass가 왜 꼭 필요한가"를 설명하라 — 그것 없이 직접 증명하려 하면 어디서 막히는가?

힌트 / 정답

$x_n\to p$ 이면 $\varepsilon/2$ 로 $N$ 을 잡고 삼각부등식 $d(x_m,x_n)\le d(x_m,p)+d(p,x_n)<\varepsilon$.
$\varepsilon=1$ 잡으면, 임의의 $N$ 에 대해 $m=N,n=N+1$(또는 적절히 하나는 짝수 하나는 홀수)에서 $|x_m-x_n|=2>1=\varepsilon$ — 어떤 $N$ 으로도 조건을 만족 못 시킴.
교대급수의 꼬리는 다음 항의 크기로 한계지어짐: $|x_{n+p}-x_n|\le 1/(n+1)\to0$ — 따라서 $\varepsilon$ 에 대해 $N>1/\varepsilon$ 잡으면 모든 $p$ 에서 성립.
$\{(a_n,b_n)\}$ 이 $\mathbb{R}^2$ 에서 Cauchy $\iff$ $|a_m-a_n|\le d((a_m,b_m),(a_n,b_n))$, $|b_m-b_n|\le$ 같은 거리 — 두 좌표수열이 각각 $\mathbb{R}$ 에서 Cauchy ⟹ (R의 완비성으로) 각각 수렴 ⟹ 좌표별 수렴이 벡터의 수렴을 줌.
$x_n=\ln n$: $|x_{n+1}-x_n|=\ln(1+1/n)\to0$ 이지만 $x_n\to\infty$ — 발산.
$x_n=(1+1/n)^n$ 의 유리수 근사를 소수점 $n$자리에서 끊은 수열은 $\mathbb{Q}$ 안에서 Cauchy(차이가 $0$ 으로 감)이지만 극한 $e\notin\mathbb{Q}$.
$F$ 가 완비공간 $X$ 의 닫힌 부분집합, $\{x_n\}\subset F$ 가 Cauchy라 하자. $X$ 의 완비성으로 $x_n\to p\in X$. $F$ 가 닫혀 있으므로 극한점 $p$ 도 $F$ 에 속함(닫힌 집합은 극한점을 포함) ⟹ $F$ 안에서 수렴.
B–W 없이는 "Cauchy 수열이 유계"까지는 보여도, 그 유계수열이 수렴한다는 것을 보장할 도구가 없다 — 유계라고 자동으로 수렴하지 않으므로(sequences-convergence 예제 3, $(-1)^n$). B–W가 정확히 "유계 → 수렴 부분수열 존재"라는 다리를 놓아주어야 Cauchy성으로 전체 수렴을 결론지을 수 있다.