∫해석학
II. 수열과 급수 · 4/16

볼차노–바이어슈트라스 정리

유계 수열은 수렴 부분수열을 가진다

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

Bartle의 주력 도구. Rudin이 열린 덮개 콤팩트성에 의존하는 자리에서, Bartle은 Bolzano–Weierstrass — 점열 콤팩트성 — 으로 구간 위 연속함수의 거의 모든 깊은 정리를 끌어낸다. 추상 콤팩트성의 구체적·$\mathbb{R}$-고유 대체물이다.

개요 — 동기·문제의식

유계수열은 수렴할 수도 발산할 수도 있다 — $(-1)^n$ 처럼 유계지만 영원히 두 값 사이를 오가며 정착하지 못하는 경우가 있다. 그런데도 이 진동하는 수열을 자세히 들여다보면, 부분적으로는 "어딘가에 몰리는" 패턴이 숨어 있다($x_{2k}=1$ 은 한 값에, $x_{2k+1}=-1$ 은 다른 값에 정착한다). Bolzano–Weierstrass 정리는 이 관찰을 일반화한다 — 유계수열은 전체가 수렴하지 않더라도, 적절히 골라낸 부분은 반드시 수렴한다는 것이다. 왜 이것이 중요한가? 콤팩트성(열린 덮개로 정의된 추상적 성질)을 전혀 모르는 채로도, "유계+닫힘"이라는 손에 잡히는 조건만으로 연속함수의 최대최소정리·균등연속정리 같은 깊은 결과에 도달할 수 있게 해주기 때문이다. Bartle은 이 정리를 일찍(3장) 세워, Rudin이 11장까지 미루는 콤팩트성의 모든 일을 대신 시킨다.

직관

유계수열을 무한히 많은 점이 유한한 상자 안에 갇혀 있다고 상상하자. 상자가 유한하므로 점이 흩어질 공간도 유한하다 — 점이 무한히 많은데 공간이 유한하면, 어딘가에는 반드시 점들이 "쌓이는" 자리가 생긴다(비둘기집 원리의 연속적 버전). 그 쌓이는 자리를 향해 다가가는 항들만 순서대로 골라내면 바로 수렴 부분수열이 된다. 증명의 한 방법(축소구간)은 이 직관을 정확히 실행한다 — 상자를 절반으로 계속 쪼개면서, 무한히 많은 항을 포함하는 쪽을 매번 골라간다. 상자가 한없이 작아지므로 결국 한 점으로 좁혀지고, 그 점이 바로 부분수열이 모여드는 곳이다.

정의·정리

(Bolzano–Weierstrass 정리) 실수의 유계수열은 수렴하는 부분수열을 가진다.1

Bartle은 §3.4에서 이를 전면에 두고 두 가지 증명을 제시하는데, 이 자체가 시사적이다:

증명 1 — 단조부분수열 정리 경유.

보조정리 (단조부분수열 정리, §3.4.7). 모든 실수열은 단조인 부분수열을 가진다.2

증명 보기

증명 스케치. 항 $x_m$ 을 "정점(peak)"이라 부르자 — 모든 $n>m$ 에 대해 $x_n\le x_m$ 인 경우. 정점이 무한히 많다면, 그들을 순서대로 골라내면 (정의상) 단조 감소하는 부분수열이 된다. 정점이 유한 개(또는 없다)라면, 마지막 정점(있다면) 다음부터 시작해 항상 그보다 더 큰 항을 찾을 수 있어(정점이 아니므로) 단조 증가하는 부분수열을 귀납적으로 구성할 수 있다. ∎

위 보조정리로 본정리 증명: 유계인 단조 부분수열은 (완비성, 단조수렴정리에 의해) 수렴한다. 따라서 유계수열은 수렴 부분수열을 가진다. ∎

증명 2 — 축소구간 성질 경유. 유계수열이 든 구간 $I_0=[a,b]$ 를 반복 이등분하여, 무한히 많은 항을 포함하는 쪽을 택하면 한 점으로 수렴하는 부분수열을 가둘 수 있다 — 완비성 공리 의 직접 호출.3

증명 보기

증명 스케치. $I_0$ 의 절반 중 무한히 많은 항을 포함하는 쪽을 $I_1$ 으로 택한다(둘 다 무한히 포함하면 임의로 선택). $I_1$ 에서 항 하나를 골라 $x_{n_1}$ 으로 삼는다. $I_1$ 을 다시 절반으로 쪼개 무한히 많은 항을 포함하는 쪽을 $I_2$ 로, 그 안에서 $n_2>n_1$ 인 항 $x_{n_2}$ 를 고른다. 이 과정을 반복하면 $I_0\supseteq I_1\supseteq I_2\supseteq\cdots$, $|I_k|=(b-a)/2^k\to0$ — 축소구간 정리로 $\bigcap I_k=\{L\}$ 인 한 점이 존재하고, 구성에 의해 $x_{n_k}\in I_k\Rightarrow|x_{n_k}-L|\le|I_k|\to0$, 즉 $x_{n_k}\to L$. ∎

두 증명 모두 완비성으로 귀착하므로, Bolzano–Weierstrass는 $\mathbb{R}$ 에서 상한 성질과 동치다(완비성의 한 동치 형태로 단조수렴 정리와 B–W를 서로 유도할 수 있다 — 완비성 공리).

주요 응용 (Bartle)

(Cauchy 수렴 판정.) Cauchy 수열은 유계 → B–W로 수렴 부분수열 → Cauchy성으로 전체가 그 극한에 수렴 → 코시 수열. (이 응용의 완전한 증명은 cauchy-sequences 페이지 참고.)

(최대·최소 정리, §5.3.) 닫힌 유계 구간 위 연속함수가 유계이고 최댓값을 가짐.

증명 보기

증명 스케치. $f$ 가 $[a,b]$ 에서 유계가 아니라 가정하면, $|f(x_n)|>n$ 인 $x_n\in[a,b]$ 를 잡을 수 있다. $\{x_n\}$ 은 유계이므로 B–W로 수렴 부분수열 $x_{n_k}\to c\in[a,b]$(닫힌 구간이므로 극한도 구간 안). $f$ 의 연속성으로 $f(x_{n_k})\to f(c)$ 인데, $|f(x_{n_k})|>n_k\to\infty$ 이므로 모순 — 따라서 $f$ 는 유계. 최댓값의 존재도 비슷하게: $M=\sup f([a,b])$ 에 다가가는 수열 $f(y_n)\to M$ 을 잡고, $\{y_n\}\subset[a,b]$ 의 수렴 부분수열 $y_{n_k}\to c$ 를 B–W로 얻으면 연속성으로 $f(c)=M$ — 최댓값이 실제로 달성됨.

(균등연속 정리, §5.4.) 반례 가정 시 $|x_n-u_n|\to 0$ 인데 $|f(x_n)-f(u_n)|\ge\varepsilon_0$ 인 두 수열을 잡아 수렴 부분수열로 모순 → 균등연속.

예제

예제 1 (진동수열의 부분수열). 유계·진동 수열 $x_n = (-1)^n$ 은 발산하지만, 부분수열 $x_{2k}=1$ 은 수렴(자명하게 상수 부분수열).

예제 2 (삼각함수의 진동). $x_n = \sin n$ 은 $[-1,1]$ 에서 수렴 부분수열을 가진다 — $n$ 이 $2\pi$ 의 정수배에 가까워지는 부분수열을 고르면 $0$ 에 가까운 값들로, 다른 선택으로는 다른 극한값으로 수렴하는 여러 부분수열이 존재(실제로 $\sin n$ 의 부분수열 극한들의 집합은 $[-1,1]$ 전체임이 알려져 있다).

예제 3 (단조부분수열 정리의 두 경우 모두 보여주는 예). $x_n=1/n$ 자체가 이미 단조감소(정점이 무한히 많은 경우 — 모든 항이 정점). $x_n=n$ 은 정점이 전혀 없는 경우(모든 항 이후로 더 큰 항이 항상 있음) — 자기 자신이 곧 단조증가 부분수열.

예제 4 (구체적 축소구간 적용). $x_n=\sin(n)$ 의 $[-1,1]$ 안 한 부분수열을 축소구간법으로 구성한다고 하면, $[-1,1]$ 을 이등분해 무한히 많은 항이 포함된 쪽을 택하고 반복 — 이는 추상적 존재 증명이지만, B–W가 구성적이지 않고 단지 존재만 보장한다는 사실을 보여준다(어떤 부분수열인지 명시적으로 알려주지 않는다).

예제 5 (B–W가 실패하는 경우 — 유계가 아님). $x_n=n$ 은 유계가 아니므로 B–W의 가설이 깨진다 — 실제로 어떤 부분수열도 수렴하지 않는다(모든 부분수열이 $\infty$ 로 발산). 유계성 가설이 본질적임을 보여준다.

두 교재의 접근

Bartle은 이를 일찍(3장, 수열) 세우고 끈질기게 사용한다. 열린 덮개 콤팩트성은 11장까지 등장하지 않으므로, Bolzano–Weierstrass가 그의 콤팩트성이다.4

Rudin도 대응 명제(§2.42, "$\mathbb{R}^k$ 의 유계 무한 부분집합은 극한점을 가진다")를 갖지만, 이는 이미 전개한 콤팩트성 이론의 따름정리일 뿐 주력 도구가 아니다. Rudin의 연속 증명은 열린 덮개를, Bartle의 연속 증명은 부분수열을 인용한다.

$\mathbb{R}^k$ 에서는 두 개념이 일치하므로(Heine–Borel, §2.41 (b)$\iff$(c)) 도달하는 정리는 동일하다 — 차이는 "완비성의 어떤 동치 형태를 기본으로 삼는가"뿐이다.

흔한 오해와 함정

큰 그림 / 연결

Bolzano–Weierstrass는 완비성 공리의 여러 동치 형태 중 하나이며, 코시 수열의 핵심 증명 단계로 직접 쓰인다 — "Cauchy ⟹ 수렴"의 증명에서 "유계 → 수렴 부분수열"이라는 다리를 정확히 B–W가 놓는다. 수열의 수렴가 정의한 부분수열 개념 위에 서며, 그 정의가 없으면 본 정리 자체가 진술될 수 없다. Rudin의 콤팩트성 이론에서는 본 정리가 Heine–Borel 정리의 따름정리로 강등되지만, Bartle의 전개에서는 정확히 거꾸로 — 본 정리가 먼저 서고 연속의 최대최소정리·균등연속의 균등연속정리가 그 위에 세워진다. 더 일반적인 거리공간·위상공간에서는 "점열 콤팩트성"(모든 수열이 수렴 부분수열을 가짐)과 "콤팩트성"(열린 덮개가 유한 부분덮개를 가짐)이 항상 일치하지는 않는데, $\mathbb{R}^k$ 처럼 거리화 가능한 공간에서는 두 개념이 일치한다는 사실이 이 정리의 더 깊은 배경이다.

연습문제

  1. 단조부분수열 정리(증명 1의 보조정리)를 자기 말로 다시 증명하라("정점"의 정의를 직접 써서).
  2. $x_n = (-1)^n(1+1/n)$ 의 모든 부분수열 극한값을 구하라.
  3. 유계가 아닌 수열의 예를 들어 B–W가 실패함을 보여라(예제 5 외의 새로운 예).
  4. 축소구간법(증명 2)을 이용해 $x_n=\sin n$ 같은 구체적 수열 대신, $x_n=(-1)^n$ 에 직접 적용해 부분수열을 단계별로 구성하라.
  5. 최대최소정리의 증명(본문)에서 "닫힌 구간"이라는 가설이 어디서 쓰이는지 짚어라. 열린 구간이면 왜 실패하는가?
  6. B–W를 이용해 "닫힌 유계구간 위 연속함수는 아래로도 유계이고 최솟값을 가진다"는 사실을 (최댓값 증명을 변형하여) 보여라.
  7. $\mathbb{R}^2$ 에서 B–W가 성립함을 좌표별 B–W 적용으로 정당화하라.
  8. B–W와 완비성(단조수렴정리)이 동치임을 — 즉 B–W로부터 단조수렴정리를 유도하여 — 보여라.
힌트 / 정답
  1. 정점이 무한히 많으면 그들을 $m_1<m_2<\cdots$ 로 나열 — 정의상 $x_{m_1}\ge x_{m_2}\ge\cdots$(각 정점은 그 뒤 모든 항보다 크거나 같고, 뒤의 정점도 그 뒤 항이므로). 정점이 유한하면 마지막 정점(또는 시작) 이후 $x_{n_1}$ 부터, 정점이 아니므로 $x_{n_1}$ 보다 큰 $x_{n_2}$($n_2>n_1$)가 항상 존재 — 반복하면 단조증가.
  2. 짝수 부분수열 $\to1$, 홀수 부분수열 $\to-1$ — 모든 부분수열 극한값의 집합은 $\{1,-1\}$ (다른 값으로 가는 부분수열은 없음, 짝/홀 어느 한쪽의 부분수열로 귀착되기 때문).
  3. $x_n=(-1)^n n$: 유계가 아니며, 모든 부분수열이 $\pm\infty$ 로 발산하거나 진동 — 수렴 부분수열 없음.
  4. $I_0=[-1,1]$. 무한히 많은 항을 포함하는 절반은 $[-1,0]$ 또는 $[0,1]$ 둘 다(짝/홀 항이 각각 $\{1\}$, $\{-1\}$ 에 정확히 있으므로 $[0,1]$ 을 택하면 $x_{2k}=1$ 만 남는 부분수열 — 자명하게 $1$로 수렴).
  5. 닫힌 구간이어야 B–W로 얻은 극한 $c=\lim x_{n_k}$ 가 다시 구간 안에 있다고 보장된다. 열린 구간 $(0,1)$ 이면 $x_n=1/n$ 처럼 극한($0$)이 구간 밖으로 빠져나가 $f$ 가 그 점에서 정의조차 안 될 수 있다 — 예: $f(x)=1/x$ on $(0,1)$ 은 유계가 아님.
  6. $g=-f$ 에 최댓값 정리를 적용 — $g$ 의 최댓값이 $f$ 의 최솟값(부호 반전)이 됨. 유계성도 동일하게 $g$ 의 유계성에서 $f$ 의 유계성.
  7. $\{(a_n,b_n)\}\subset\mathbb{R}^2$ 가 유계이면 $\{a_n\}$ 도 유계(좌표 사영) — B–W로 수렴 부분수열 $a_{n_k}\to a$. 그 부분수열의 인덱스로 $b_{n_k}$ 를 보면 역시 유계이므로 다시 B–W로 부분-부분수열 $b_{n_{k_j}}\to b$ — 동시에 $a_{n_{k_j}}\to a$(부분수열의 부분수열은 여전히 같은 극한). 따라서 $(a_{n_{k_j}},b_{n_{k_j}})\to(a,b)$.
  8. 유계 단조증가수열 $\{a_n\}$ 에 B–W 적용 → 수렴 부분수열 $a_{n_k}\to L$. 단조성으로: 임의의 $n$ 에 대해 충분히 큰 $k$ 를 잡으면 $n\le n_k$ 이므로 $a_n\le a_{n_k}$, 그리고 $a_{n_k}\to L$ 이므로 $a_n\le L+\varepsilon$ 류의 추정으로 전체 수열이 $L$ 로 수렴함을 압착식으로 보일 수 있다.

관련 개념

  1. 원전 소개 — Bartle §3.4.8 — "The Bolzano–Weierstrass Theorem: A bounded sequence of real numbers has a convergent subsequence." ↩

  2. 원전 소개 — Bartle §3.4.7 — "Monotone Subsequence Theorem: If X = (xₙ) is a sequence of real numbers, then there is a subsequence of X that is monotone." ↩

  3. 원전 소개 — Bartle §3.4 — "we will also give a second proof of it based on the Nested Interval Property." ↩

  4. 원전 소개 — Bartle §3.4–§5.4 [synthesis] — 열린 덮개 콤팩트성이 11장까지 미뤄지므로 B–W가 Cauchy 판정과 구간 위 연속 정리들을 견인. ↩