III. 극한과 연속 · 9/16

균등연속

모든 점에 하나의 δ — 콤팩트 위에서는 공짜

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

연속성은 점마다 검사하는 국소적 성질이다 — 각 점 $p$ 에 맞는 $\delta$ 를 따로 골라도 된다. 그런데 적분 이론(리만 합의 수렴), 함수열의 균등수렴, 콤팩트 정의역 위의 근사 정리 같은 많은 응용은 "정의역 전체에 동시에 통하는 하나의 $\delta$"를 필요로 한다. 점별 연속만으로는 부족한 이유를 가장 극명하게 보여주는 예가 $f(x)=1/x$ on $(0,1)$ — 이 함수는 모든 점에서 연속이지만, $0$ 에 가까운 곳에서는 함숫값이 너무 급격히 변해 어떤 고정된 $\delta$ 도 전 구간에 통하지 않는다. 균등연속은 이 간극을 메우는 더 강한 조건이며, "콤팩트 위에서는 둘이 같다"는 정리가 콤팩트성의 위력을 보여주는 첫 사례다.

직관

연속이 "각 점마다 자기만의 안경(렌즈 배율 $\delta$)을 쓴다"는 그림이라면, 균등연속은 "정의역 전체가 같은 도수의 안경 하나를 공유한다"는 그림이다. $1/x$ 의 경우 $x$ 가 $0$ 에 가까워질수록 그래프의 기울기가 가팔라져서, 같은 $\varepsilon$-오차를 보장하려면 점점 더 좁은 $\delta$ 가 필요하다 — 그 $\delta$ 들에 하한이 없어(infimum이 $0$) 하나의 $\delta$ 로 전체를 커버할 수 없다. 반면 콤팩트 집합(닫혀 있고 유계) 위에서는 "가팔라질 자유"가 없다 — 함수가 도망갈 무한대도, 빠져나갈 빈틈도 없어서, 가장 나쁜 점에 맞춘 $\delta$ 하나가 전체를 덮을 수 있다.

정의

$f$ 가 $E$ 위에서 균등연속(uniformly continuous)이라는 것은:¹

$$\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0 \text{ s.t. } d(x,t)<\delta \Rightarrow d(f(x),f(t))<\varepsilon \quad(\forall x,t\in E).$$

보통의 연속과의 결정적 차이: 여기서 $\delta$ 는 $\varepsilon$ 에만 의존하고 점 $x$ 에 의존하지 않는다(모든 점에 같은 $\delta$). 연속에서는 $\delta$ 가 점마다 달라질 수 있다. 논리식으로 정량사의 순서를 비교하면 차이가 분명해진다:

	정량사 순서	의미
연속 (각 점에서)	$\forall p\,\forall\varepsilon\,\exists\delta\,\forall x$	$\delta$ 가 $p$ 와 $\varepsilon$ 에 의존 가능
균등연속	$\forall\varepsilon\,\exists\delta\,\forall x,t$	$\delta$ 가 $\varepsilon$ 에만 의존, 모든 점 쌍에 동시 적용

이 $\exists\delta$ 가 $\forall p$ 보다 먼저 오느냐 나중에 오느냐의 차이가, 정량사 교환이 일반적으로 자유롭지 않다는 해석학의 흔한 패턴(균등수렴에서도 같은 구조가 재등장)을 보여주는 첫 예다.

주요 정리

(핵심 정리) 콤팩트 집합(동치적으로 닫힌 유계 구간) 위 연속함수는 균등연속이다.¹² 콤팩트성/수열 분기가 다시 나타나는 자리:

Rudin §4.19: 열린 덮개 콤팩트성 으로 단번에 증명. 각 점 $p$ 에서 연속성으로 $\delta_p$ 를 얻어 반지름 $\delta_p/2$ 공들의 덮개를 만들고, 콤팩트성으로 유한 부분덮개 $\{B(p_i,\delta_{p_i}/2)\}_{i=1}^n$ 를 얻은 뒤 $\delta=\min_i \delta_{p_i}/2$ 를 취한다 — 임의의 $x,t$ 가 $d(x,t)<\delta$ 이면 $x$ 가 속한 $B(p_i,\delta_{p_i}/2)$ 를 찾아 삼각부등식으로 $x,t$ 둘 다 $p_i$ 중심 $\delta_{p_i}$-공 안에 있음을 보여 연속성의 $\varepsilon$-조건을 적용한다.¹
Bartle §5.4: 볼차노–바이어슈트라스 정리 으로 증명(귀류법). 균등연속이 실패한다고 가정하면 어떤 $\varepsilon_0>0$ 에 대해 모든 $n$ 에서 $|x_n-u_n|<1/n$ 이면서 $|f(x_n)-f(u_n)|\ge\varepsilon_0$ 인 점쌍 $x_n, u_n$ 이 존재한다. $\{x_n\}$ 은 유계이므로 B–W로 수렴 부분수열 $x_{n_k}\to z$ 를 얻고, $|x_{n_k}-u_{n_k}|\to0$ 이므로 $u_{n_k}\to z$ 도 성립한다. $f$ 의 (점별) 연속성으로 $f(x_{n_k})\to f(z)$, $f(u_{n_k})\to f(z)$ — 둘이 같은 극한으로 가므로 $|f(x_{n_k})-f(u_{n_k})|\to0$, 그런데 이는 모든 $k$ 에서 $\ge\varepsilon_0$ 이라는 가정과 모순.² 이어서 게이지를 쓴 두 번째 증명도 제시(그의 고유 장치).

정리 (Lipschitz ⇒ 균등연속). $|f(x)-f(t)|\le K|x-t|$ 이면 $\delta=\varepsilon/K$ 로 균등연속.

증명 보기

증명. $d(x,t)<\delta=\varepsilon/K$ 이면 $|f(x)-f(t)|\le K|x-t|<K\cdot\varepsilon/K=\varepsilon$. ∎ (역은 거짓: $\sqrt x$ 는 $[0,1]$ 에서 균등연속이나 Lipschitz 아님 — $0$ 근처에서 기울기가 무한대로 발산하기 때문.)

정리 (균등연속의 보존). $f$ 가 $E$ 에서 균등연속이고 $\{x_n\}$ 이 $E$ 안의 Cauchy 수열이면 $\{f(x_n)\}$ 도 Cauchy 수열이다.

증명 보기

증명 스케치. $\varepsilon>0$ 에 대해 균등연속의 $\delta$ 를 잡고, $\{x_n\}$ 의 Cauchy 성질로 $m,n\ge N\Rightarrow|x_m-x_n|<\delta$ 인 $N$ 을 얻으면 $|f(x_m)-f(x_n)|<\varepsilon$. ∎ 이 정리가 균등연속함수는 (정의역이 완비가 아니어도) 연속적으로 완비화로 확장될 수 있게 한다 — 단순 연속으로는 보장되지 않는 성질.

예제

예제 1 (콤팩트하지 않아 실패). $f(x)=1/x$ 는 $(0,1)$ 에서 연속이나 균등연속 아님 — 0 근처에서 필요한 $\delta$ 가 점마다 무한히 작아짐. (정의역이 콤팩트가 아니라서.) 구체적으로: $x_n=1/n$, $u_n=1/(n+1)$ 이면 $|x_n-u_n|\to0$ 이지만 $|f(x_n)-f(u_n)|=1\ge1$ — 위 증명의 반례 구성 그대로.

예제 2 (같은 함수, 콤팩트 정의역에서는 성립). 같은 $f(x)=1/x$ 도 $[1,\infty)$ 또는 $[a,1]$ ($a>0$)에서는 균등연속 — 후자는 콤팩트, 전자는 콤팩트하지 않지만 도함수 $|f'(x)|=1/x^2\le1$ 이 유계라 Lipschitz.

예제 3 (유계 도함수 ⇒ 균등연속). $\sin x$ 는 $\mathbb{R}$ 전체에서 균등연속(도함수 $|\cos x|\le1$ 로 Lipschitz, $K=1$).

예제 4 (콤팩트하지 않은 무계 정의역에서 실패). $x^2$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 균등연속 아님, $[0,10]$ 에서는 균등연속(콤팩트). 구체적 반례: $x_n=n$, $u_n=n+1/n$ 이면 $|x_n-u_n|\to0$ 이지만 $|f(x_n)-f(u_n)|=|n^2-(n+1/n)^2|=2+1/n^2\to2\ge\varepsilon_0=1$.

예제 5 (Lipschitz가 아니지만 균등연속). $f(x)=\sqrt x$ on $[0,1]$ 은 $0$ 에서 도함수가 무한대로 발산해 Lipschitz가 아니지만(어떤 $K$ 로도 $|\sqrt x-\sqrt 0|\le K|x-0|$ 이 $x\to0$ 에서 성립 불가), $[0,1]$ 이 콤팩트이므로 핵심 정리에 의해 균등연속이다 — Lipschitz가 균등연속의 충분조건이지 필요조건은 아님을 보여준다.

예제 6 (균등연속이지만 Cauchy가 아닌 정의역에서의 비교). $f(x)=x$ on $(0,1)$ 은 균등연속(자명, $\delta=\varepsilon$)이지만 $(0,1)$ 자체는 완비가 아니다 — 균등연속이 정의역의 완비성과는 독립적인 함수의 성질임을 보여준다.

흔한 오해와 함정

"콤팩트가 아니면 균등연속일 수 없다" — 거짓. 핵심 정리는 콤팩트가 균등연속의 충분조건이라고만 말한다. 예제 6의 $f(x)=x$ on $(0,1)$ 은 콤팩트하지 않은 정의역에서도 균등연속이다(Lipschitz 상수 $1$).
연속과 균등연속을 정량사 순서를 무시하고 같은 것으로 취급 — 위 표의 $\exists\delta$ 위치가 핵심. "연속"을 증명하는 논증에서 얻은 $\delta$ 가 점 $p$ 에 의존한다면, 그것은 균등연속의 증명으로 자동 승격되지 않는다.
Lipschitz와 균등연속을 동일시 — 예제 5처럼 역은 거짓이다. Lipschitz ⇒ 균등연속이지만, 균등연속이라고 Lipschitz 상수가 존재하는 것은 아니다.
균등연속 정리를 열린구간에 잘못 적용 — $(0,1)$ 같은 열린 유계구간은 콤팩트가 아니므로 정리가 적용되지 않는다. 콤팩트 = 닫혀 있고 동시에 유계임을 잊으면 안 된다(예제 1).
"균등연속이면 미분가능"이라는 비약 — 균등연속은 매끄러움을 전혀 보장하지 않는다. $|x|$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 균등연속(Lipschitz, $K=1$)이지만 $0$ 에서 미분 불가능.

큰 그림 / 연결

균등연속은 콤팩트성의 위력을 보여주는 정석적 무대다 — Rudin의 열린 덮개와 Bartle의 Bolzano–Weierstrass 가 같은 정리를 다른 도구로 증명하는, 연속 본문의 표와 같은 분기 패턴이 반복된다. 응용 측면에서, 균등연속은 리만 적분 이론에서 닫힌 유계구간 위 연속함수의 적분가능성을 보장하는 핵심 보조정리이며("리만 합이 분할을 잘게 할수록 균등하게 수렴한다"는 사실이 균등연속에서 나온다), 균등수렴에서 똑같은 "정량사 순서 뒤집기" 아이디어가 함수열에 대해 재등장한다 — 사실 균등연속은 "$x$ 에 대해 균등"이고 균등수렴은 "$n$ 에 대해 균등"이라는 점에서 같은 패턴의 두 변주다. 완비화 이론에서는 균등연속함수가 완비화로 유일하게 확장됨이 위 보존 정리의 직접 귀결이다.

연습문제

$\varepsilon$–$\delta$ 정의를 직접 이용해 $f(x)=3x+1$ 이 $\mathbb{R}$ 에서 균등연속임을 증명하라.
$f(x)=x^2$ 가 $\mathbb{R}$ 에서 균등연속이 아님을 본문 예제 4의 방법으로 증명하라.
$f(x)=x^2$ 가 $[0,M]$ ($M>0$ 고정)에서는 균등연속임을 보여라(Lipschitz 상수를 구체적으로 제시).
콤팩트 위 균등연속 정리를 Rudin식 열린 덮개 논증으로 직접 증명을 따라 써 보라(본문의 스케치를 완성).
$f(x)=\sin(1/x)$ on $(0,1)$ 이 균등연속이 아님을 보여라.
균등연속함수의 합이 균등연속임을 증명하라. 곱에 대해서는 (유계 가정 없이) 같은 결론이 성립하는지 반례나 증명으로 답하라.
$f$ 가 $[a,b]$ 에서 균등연속이면 $[a,b]$ 에서 유계임을 보여라(균등연속 ⇒ 콤팩트 위에서는 사실 자동으로 유계이지만, 직접 정의에서 출발해 증명하라).
$f, g$ 가 둘 다 $\mathbb{R}$ 에서 균등연속이고 유계이면 $fg$ 도 균등연속임을 보여라.

힌트 / 정답

$|f(x)-f(t)|=3|x-t|<\varepsilon$ 이려면 $|x-t|<\varepsilon/3$. $\delta=\varepsilon/3$ (점에 무관) 으로 균등연속.
$x_n=n$, $u_n=n+1/n$: $|x_n-u_n|=1/n\to0$, $|f(x_n)-f(u_n)|=|n^2-(n+1/n)^2|=2+1/n^2\to2$ — $\varepsilon_0=1$ 로 어떤 $\delta$ 도 통하지 않음을 보일 수 있음.
$|x^2-t^2|=|x+t||x-t|\le2M|x-t|$ ($x,t\in[0,M]$) — Lipschitz 상수 $K=2M$, $\delta=\varepsilon/(2M)$.
본문 서술 참고: $p$ 마다 $\delta_p$ 를 얻어 $\{B(p,\delta_p/2)\}$ 가 컴팩트 집합의 열린 덮개 → 유한 부분덮개 $\{B(p_i,\delta_{p_i}/2)\}$ → $\delta=\min\delta_{p_i}/2$ → 삼각부등식으로 임의의 $x,t$ ($d(x,t)<\delta$)가 같은 $p_i$-공 안에 있음을 보여 연속성 적용.
$x_n=1/(2n\pi)$, $u_n=1/(2n\pi+\pi/2)$ 라 하면 $|x_n-u_n|\to0$ 이지만 $f(x_n)=\sin(2n\pi)=0$, $f(u_n)=\sin(2n\pi+\pi/2)=1$ — $|f(x_n)-f(u_n)|=1$ 이 항상 성립, 균등연속 실패.
합: $\varepsilon/2$ 씩 $f$, $g$ 의 $\delta_f,\delta_g$ 를 잡고 $\delta=\min(\delta_f,\delta_g)$ — 삼각부등식으로 성립. 곱: 유계 가정 없이는 실패할 수 있다(예: $f(x)=g(x)=x$ 는 둘 다 균등연속이지만 $fg=x^2$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 균등연속 아님, 문제 2).
$\varepsilon=1$ 에 대응하는 $\delta$ 를 잡고 $[a,b]$ 를 길이 $<\delta$ 인 유한 개($N$ 개)의 소구간으로 분할, 각 소구간 안에서 함숫값이 그 시작점의 함숫값으로부터 $1$ 이내 — 유한 개의 유계 조각을 이어붙여 전체가 유계.
$|f(x)g(x)-f(t)g(t)|\le|f(x)||g(x)-g(t)|+|g(t)||f(x)-f(t)|\le M_f|g(x)-g(t)|+M_g|f(x)-f(t)|$ (유계 $M_f,M_g$) — $\varepsilon/(2M_f), \varepsilon/(2M_g)$ 에 대응하는 $\delta$ 들의 최솟값으로 균등연속.