리만 적분

개요 — 동기·문제의식

미분이 "순간 변화율"을 포착한다면, 적분은 "누적된 양"을 포착해야 한다. 직사각형들의 넓이 합으로 곡선 아래 넓이를 근사한다는 그림은 누구나 안다 — 어려운 부분은 "근사가 정확히 무엇에 수렴하는가"를 흔들림 없는 정의로 못 박는 일이다. 19세기 이전까지 적분은 "반미분의 계산"에 머물렀고, Riemann이 처음으로 "적분 가능성" 자체를 독립적인 질문으로 분리했다: 미분과 무관하게, 함수 $f$ 가 주어졌을 때 그 누적값이 잘 정의되는가? 이 질문에 대한 답이 바로 Riemann 적분이며, 미적분의 기본정리가 비로소 두 개의 독립적으로 정의된 개념(미분과 적분)을 잇는 정리로서 의미를 갖게 된다. Rudin과 Bartle은 이 "적분 가능성을 어떻게 정의할 것인가"라는 질문에 정반대로 답한다.

직관

상상해 보자: 곡선 아래 영역을 채우는 두 가지 방법이 있다. 하나는 "안에서부터" — 곡선 밑에 완전히 들어가는 직사각형들을 쌓아 넓이의 하한을 얻는다(하합). 다른 하나는 "밖에서부터" — 곡선을 덮는 직사각형들을 쌓아 넓이의 상한을 얻는다(상합). 분할을 점점 잘게 쪼갤수록 안쪽 근사와 바깥쪽 근사가 서로 좁혀지고, 둘이 한 점으로 만나면 그 공통값이 "진짜 넓이"다 — 이것이 Rudin의 그림이다. 반면 Bartle의 그림은 더 단순하다: 분할의 각 소구간에서 "대표점" 하나를 골라(태그) 그 점에서의 함숫값으로 직사각형을 세운다(Riemann 합). 분할을 잘게 쪼갤 때 대표점을 어떻게 고르든 합이 같은 값에 수렴하면, 그 값이 적분이다. 두 그림은 같은 답에 이르지만, Rudin은 "최선과 최악의 근사가 만난다"는 순서적 직관을, Bartle은 "어떤 표본을 뽑아도 같은 값"이라는 극한적 직관을 사용한다.

정의

Rudin: 상·하 적분 (순서 접근)

$[a,b]$ 의 분할(partition) $P=\{a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\}$ 에 대해 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ 이라 하자. $[a,b]$ 위 유계함수 $f$ 와 각 소구간 $[x_{i-1},x_i]$ 에서

$$M_i = \sup_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x), \qquad m_i = \inf_{x\in[x_{i-1},x_i]} f(x)$$

라 두면

$$U(P,f) = \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i,\qquad L(P,f) = \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i$$

이 상합·하합이다. 상적분 $\overline{\int_a^b} f = \inf_P U(P,f)$, 하적분 $\underline{\int_a^b} f = \sup_P L(P,f)$ 로 정의하며(inf와 sup는 모든 분할 $P$ 에 대해), 항상 $\underline{\int} f \le \overline{\int} f$ 가 성립한다. 둘이 같으면 $f \in \mathscr{R}$ (Riemann 적분가능)이라 하고 그 공통값을 $\int_a^b f$ 라 한다.¹ 이 구성은 순서(supremum infimum)에만 의존하며, 분할의 세분(refinement) — $P^* \supseteq P$ — 을 취하면 $L(P,f)\le L(P^*,f)\le U(P^*,f)\le U(P,f)$ 라는 단조성이 핵심 보조정리다.¹ Rudin은 이를 따로 전개하지 않고 Riemann–Stieltjes 적분 $\int f\,d\alpha$ 의 $\alpha(x)=x$ 특수경우로 제시한다.

Bartle: Riemann 합의 극한 (태그 분할 접근)

태그된 분할(tagged partition) $\dot P = \{([x_{i-1},x_i], t_i)\}_{i=1}^n$ 은 분할에 각 소구간의 대표점 $t_i \in [x_{i-1},x_i]$ 를 추가로 지정한 것이다. mesh(노름) $\|\dot P\| = \max_i \Delta x_i$ 이고, Riemann 합은 $S(f,\dot P) = \sum_{i=1}^n f(t_i)\Delta x_i$. $\int_a^b f = L$ 이라는 것은:

$$\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0 \text{ s.t. } \|\dot P\|<\delta \text{ 인 모든 태그된 분할 } \dot P \text{ 에서 } |S(f,\dot P)-L|<\varepsilon.[^2]$$

Bartle이 상·하적분 대신 이 정의를 택한 이유는 셋이다: (1) 미적분 입문에서 학생이 처음 마주치는 적분과 형태가 일치, (2) 순서에 의존하지 않아 복소·벡터값 함수로 즉시 일반화 가능, (3) 10장의 일반화 Riemann 적분(게이지 적분)과 정의의 골격이 일관됨.² 여기서 "$\|\dot P\|<\delta$" 조건은 모든 소구간에 같은 상수 $\delta$ 를 요구하는 것이며, 이것이 정확히 상수 게이지다 — $\delta$ 를 점마다 다른 값을 갖는 함수로 바꾸면 게이지 적분으로 도약한다.

주요 정리

정리 1 (Cauchy 판정, Rudin 6.6 / Riemann 판정). 유계함수 $f$ 가 $[a,b]$ 에서 Riemann 적분가능 $\iff$ $\forall\varepsilon>0$ 에 대해 $U(P,f)-L(P,f)<\varepsilon$ 인 분할 $P$ 가 존재.¹

정리 2 (연속 ⇒ 적분가능, Rudin 6.8 / Bartle 7.2.7). $[a,b]$ 위 연속함수는 적분가능.

정리 3 (단조 ⇒ 적분가능, Rudin 6.9). $[a,b]$ 위 단조함수는 적분가능.

정리 4 (Lebesgue 판정). 유계함수가 Riemann 적분가능 $\iff$ 불연속점 집합이 측도 0(Rudin 부록, Bartle 부록 C) → lebesgue theory. 이 정리는 정리 2·3을 단일 기준으로 통합한다 — 연속함수는 불연속점이 없고(측도 0), 단조함수는 불연속점이 많아야 가산개(측도 0)이기 때문이다.

정리 5 (선형성·단조성·가법성). $f,g\in\mathscr{R}$ 이면 $\int_a^b(\alpha f+\beta g) = \alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g$; $f\le g \Rightarrow \int f \le \int g$; $a<c<b$ 이면 $\int_a^c f+\int_c^b f=\int_a^b f$. 이 성질들은 합·상한의 기본 부등식에서 직접 따라온다.

정리 6 (두 정의의 동치). Rudin의 상·하적분 정의와 Bartle의 Riemann 합 극한 정의는 같은 함수 클래스에 대해 같은 값을 준다 — 이는 두 책이 같은 적분을 다른 언어로 공리화했음을 보장하는 가교 정리다(증명은 양방향 부등식 $L(P,f)\le S(f,\dot P)\le U(P,f)$ 를 mesh→0 극한과 결합).

예제

예제 1 (상수함수). $f(x)=c$ 이면 모든 분할에서 $U(P,f)=L(P,f)=c(b-a)$ — 자명하지만 정의가 직관과 일치함을 확인하는 첫 검산.

예제 2 (Dirichlet 함수 — 적분 불가능의 표준 반례). $f(x)=1$ ($x\in\mathbb{Q}$), $f(x)=0$ ($x\notin\mathbb{Q}$)이라 하면, $\mathbb{Q}$ 와 무리수가 모두 모든 구간에서 조밀하므로 임의의 소구간에서 $M_i=1$, $m_i=0$. 따라서 $U(P,f)=1\cdot(b-a)$, $L(P,f)=0$ — 모든 분할에서. $\overline{\int}f=1\ne 0=\underline{\int}f$, 적분 불가능. 불연속점 집합이 $[a,b]$ 전체(측도 양수)이므로 정리 4와도 일치.

예제 3 (Thomae 함수 — 적분가능이지만 도처 거의 불연속). $f(p/q)=1/q$(기약분수), $f(x)=0$($x$ 무리수)이면 $f$ 는 모든 유리점에서 불연속이지만 적분가능, $\int_0^1 f=0$. 불연속점 집합 = $\mathbb{Q}\cap[0,1]$ 은 가산이므로 측도 0(정리 4).

예제 4 (계단함수). $f$ 가 유한개의 점을 빼고 구간별 상수이면, 분할을 그 점들에 맞춰 잡으면 즉시 $U(P,f)=L(P,f)$ 에 가까워져 적분가능. $\int_a^b f$ 는 각 구간 값과 길이의 곱의 합 — 정리 2·3의 직접 따름정리.

예제 5 ($f(x)=x^2$ on $[0,1]$, 정의로 직접 계산). 등분할 $x_i=i/n$ 에서 $f$ 증가함수이므로 $M_i=(i/n)^2$, $m_i=((i-1)/n)^2$. $U(P_n,f)=\sum_{i=1}^n (i/n)^2 \cdot(1/n) = \frac{1}{n^3}\sum i^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\to \frac13$. 같은 방식으로 $L(P_n,f)\to\frac13$. 따라서 $\int_0^1 x^2\,dx=\frac13$ — 미적분학의 기본정리 없이도 정의로부터 직접 계산되는 사례.

예제 6 (적분가능이지만 불연속점이 무한히 많은 또 다른 예). $f(x)=\sin(1/x)$ ($x\ne0$), $f(0)=0$ on $[0,1]$ — $x=0$ 근방에서 진동하지만 $0$ 한 점만 불연속(나머지는 연속) → 정리 2의 변형으로 적분가능. 불연속점 집합이 한 점(측도 0).

예제 7 (유계가 아니면 정의 자체가 성립하지 않음). $f(x)=1/x$ on $(0,1]$, $f(0)$ 임의로 정의해도 $f$ 가 $0$ 근방에서 무계 — 상합 $U(P,f)$ 가 어떤 분할에서도 $+\infty$ 가 되어 Riemann 적분의 정의 영역(유계함수) 밖. 이상적분(improper integral)이라는 별도 개념이 필요해진다.

흔한 오해와 함정

• "적분가능 = 연속"이라는 오해 — 예제 3(Thomae)처럼 도처에 불연속점이 조밀해도(유리점마다) 적분가능할 수 있다. 정확한 기준은 불연속점의 측도다(정리 4), 불연속점의 개수나 조밀성이 아니다.
• 상적분과 하적분이 항상 같다고 가정 — 예제 2(Dirichlet)는 둘이 다를 수 있음을 보여준다. $\underline{\int}f\le\overline{\int}f$ 는 항상 성립하지만 등호는 별도로 증명해야 하는 명제다.
• 분할을 세분할수록 $U(P,f)$ 가 항상 엄격히 감소한다고 오해 — 세분 보조정리는 $U(P^*,f)\le U(P,f)$ (등호 포함)를 줄 뿐이다. 이미 최적인 분할에서는 더 세분해도 값이 변하지 않을 수 있다.
• Bartle 정의에서 "mesh $<\delta$"를 "분할 개수가 충분히 많으면"으로 오해 — mesh 조건은 가장 긴 소구간의 길이를 제한하는 것이지 소구간의 개수를 제한하는 것이 아니다. 균등하지 않은 분할도 mesh가 작으면 조건을 만족한다.
• 두 정의(Rudin/Bartle)가 별개의 적분이라고 오해 — 정리 6에서 보듯 둘은 정의가 다를 뿐 같은 적분이다. 어느 교재로 배웠든 같은 함수 클래스, 같은 값에 도달한다.

큰 그림 / 연결

Riemann 적분의 두 정의 방식은 각자 다른 방향으로 일반화의 문을 연다. Rudin의 순서 기반 상·하적분은 적분기 $\alpha$ 를 일반화하는 Riemann–Stieltjes 적분으로 직행하며, 이는 다시 FTC를 더 일반적인 무대에서 진술하는 발판이 된다. 반대로 Bartle의 Riemann 합 극한 정의는 상수 게이지(gauges)를 가변 게이지로 바꾸기만 하면 게이지 적분(일반화 Riemann 적분)이 되어, Riemann 적분이 다루지 못하는 함수(예: 도처에 불연속이거나 무계인 도함수)까지 적분할 수 있게 된다. 두 일반화 모두 결국 Lebesgue 적분과 만난다 — Lebesgue 판정(정리 4)이 Riemann 적분가능성을 측도론의 언어로 재서술하는 다리이며, 게이지 적분은 사실 Lebesgue 적분과 정확히 같은 절대적분가능 함수 클래스를 포섭하면서도 더 단순한 (Riemann식) 정의를 유지한다는 점에서 또 다른 통합의 길이다. 다변수로 가면 functions several variables의 중적분과 differential forms의 적분이 이 1차원 정의의 자연스러운 확장이다.

연습문제

1. 정의로부터 $f(x)=c$(상수함수)가 적분가능함을 직접 보이고 $\int_a^b c\,dx=c(b-a)$ 임을 확인하라.
2. 예제 2(Dirichlet 함수)에서 모든 분할 $P$ 에 대해 $U(P,f)=b-a$, $L(P,f)=0$ 임을 증명하라.
3. $f(x)=x$ on $[0,1]$ 에서 등분할을 이용해 $\int_0^1 x\,dx=\frac12$ 를 정의(상·하적분의 극한)로부터 직접 계산하라.
4. 정리 3(단조 ⇒ 적분가능)의 증명에서 등분할 대신 임의의 분할을 사용해도 같은 결론이 따라옴을 보여라.
5. $f$ 가 $[a,b]$ 에서 적분가능이고 $g=f$ except at finitely many points이면 $g$ 도 적분가능하고 $\int f=\int g$ 임을 보여라(힌트: 유한히 많은 점이 상·하합에 기여하는 양은 분할을 세분하면 임의로 작게 만들 수 있다).
6. Bartle의 Riemann 합 정의를 사용해 $f(x)=c$(상수)의 적분이 $c(b-a)$ 임을 — 임의의 태그된 분할에서 $S(f,\dot P)=c(b-a)$ 임을 직접 보여 — 증명하라.
7. $f,g$ 가 $[a,b]$ 에서 적분가능하면 $f+g$ 도 적분가능함을, $U(P,f+g)\le U(P,f)+U(P,g)$ 와 비슷한 부등식을 이용해 증명의 개요를 서술하라.
8. 예제 6의 $f(x)=\sin(1/x)$, $f(0)=0$ 이 $[0,1]$ 에서 적분가능함을 정리 4(Lebesgue 판정)를 이용해 설명하라.
9. 두 정의(Rudin/Bartle)가 동치라는 정리 6을 증명하는 데 필요한 핵심 부등식 $L(P,f)\le S(f,\dot P)\le U(P,f)$ 가 왜 성립하는지 설명하라.
10. $f$ 가 $[a,b]$ 에서 적분가능이고 모든 $x$ 에서 $f(x)\ge0$ 이면 $\int_a^b f\ge0$ 임을, 만약 추가로 $f$ 가 연속이고 $\int_a^b f=0$ 이면 $f\equiv0$ 임을 보여라.

관련 개념

• riemann stieltjes integral — 적분기 α를 가진 Rudin의 일반화
• gauge integral — 가변 게이지를 통한 Bartle의 일반화
• 미적분학의 기본정리 — 적분과 미분을 잇는다
• 균등연속 — 연속함수가 적분가능한 이유(정리 2)
• 콤팩트성 — 균등연속성의 토대
• gauges — 상수 게이지 = Bartle의 mesh 조건
• lebesgue theory — 적분가능성을 측도로 재서술(정리 4)
• supremum infimum — 상·하적분 정의의 토대(Rudin)