급수
부분합, 비교·비율·근 판정, 절대수렴과 재배열
개요 — 동기·문제의식
급수 $\sum a_n$ 은 "부분합 수열 $s_N = \sum_{n=1}^N a_n$ 의 극한"이라고 정의하면 충분할 것 같지만, 실제로 부분합을 닫힌 형태로 계산할 수 있는 경우는 매우 드물다(기하급수 정도가 거의 유일한 표준 예). 그래서 해석학의 실제 작업은 "부분합을 직접 계산하지 않고도 수렴 여부만 판정하는" 도구들을 개발하는 데 있다 — 비교판정, 근판정, 비판정, 교대급수판정 등. 게다가 급수는 유한합과 달리 항의 순서를 바꾸면 합 자체가 바뀔 수 있다는, 직관에 크게 위배되는 현상을 보인다. 이 페이지는 수렴판정의 도구 상자와 함께, "절대수렴"이라는 개념이 왜 유한합의 좋은 성질(순서 무관성)을 무한합에서 회복시키는 정확한 경계선인지를 다룬다.
직관
급수의 수렴은 "더할수록 보태지는 양이 충분히 빨리 작아지는가"의 문제다. 부분합이 수렴하려면(Cauchy 판정, → 코시 수열) 꼬리에서 더하는 양 $\left|\sum_{k=n}^m a_k\right|$ 이 결국 작아져야 한다. 절대수렴(즉 $\sum|a_n|$ 도 수렴)은 이보다 강한 조건으로, "양·음 부호를 다 떼고 절댓값만 더해도 여전히 유한"하다는 뜻이다. 직관적으로 절대수렴 급수는 스스로 균형을 잡지 않고도 수렴하는 견고한 합이고, 조건수렴(절대수렴은 아니지만 수렴) 급수는 양수항과 음수항이 서로 상쇄되며 가까스로 균형을 맞춰 수렴하는 아슬아슬한 합이다 — 이 "아슬아슬함"이 재배열로 깨질 수 있다는 사실이 Riemann의 재배열 정리의 핵심이다.
정의·기본 정리
수열 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ 에 대해 부분합 $s_N = \sum_{n=1}^N a_n$ 을 정의하고, $\{s_N\}$ 이 (실수 또는 확장실수로) 수렴하면 급수 $\sum a_n$ 이 수렴한다고 하며 그 극한을 합 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 이라 한다 — 모든 것이 수열의 수렴 으로 환원된다.
| 개념 | 정의 |
|---|---|
| 수렴 | $\{s_N\}$ 이 수렴 |
| 절대수렴 | $\sum \lvert a_n\rvert$ 이 수렴 |
| 조건수렴 | $\sum a_n$ 은 수렴하지만 $\sum\lvert a_n\rvert$ 은 발산 |
| 발산 | $\{s_N\}$ 이 수렴하지 않음 |
(필요조건) $\sum a_n$ 이 수렴하면 $a_n \to 0$. (증명: $a_n = s_n - s_{n-1} \to s - s = 0$.) 역은 거짓: 조화급수 $\sum 1/n$ 은 $a_n\to0$ 이지만 발산.
(Cauchy 판정)1 $\sum a_n$ 수렴 $\iff$ $\forall\varepsilon>0,\ \exists N$ s.t. $m\ge n\ge N \Rightarrow \left|\sum_{k=n}^m a_k\right| < \varepsilon$. 부분합 수열이 Cauchy라는 것을 급수의 언어로 옮긴 것이며, $\mathbb{R}$ 의 완비성(→ 완비성 공리)으로부터 바로 따라온다.
(비교판정) $0 \le a_n \le b_n$ (충분히 큰 $n$ 에서)이고 $\sum b_n$ 수렴이면 $\sum a_n$ 수렴. 대우로, $\sum a_n$ 발산이면 $\sum b_n$ 도 발산.
증명 보기
증명. Cauchy 판정으로 충분: $\sum b_n$ 이 수렴하므로 $\sum_{k=n}^m b_k <\varepsilon$ 인 $N$ 이 존재. $a_k\ge0$ 이므로 $\sum_{k=n}^m a_k \le \sum_{k=n}^m b_k < \varepsilon$ ($m\ge n\ge N$), 따라서 $\sum a_n$ 도 Cauchy. ∎
주요 판정법
| 판정 | 내용 |
|---|---|
| 기하급수 | $\sum r^n$ 은 $|r|<1$ 이면 $\frac{1}{1-r}$ 로 수렴, 아니면 발산 |
| $p$-급수 | $\sum 1/n^p$ 은 $p>1$ 이면 수렴, $p\le 1$ 이면 발산 |
| 근판정 | $\alpha=\limsup\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}$: $\alpha<1$ 수렴, $\alpha>1$ 발산, $\alpha=1$ 무판정 (limsup liminf) |
| 비판정 | $\limsup\lvert a_{n+1}/a_n\rvert<1$ 수렴, $\liminf>1$ 발산, $=1$ 무판정 |
| 교대급수(Leibniz) | $a_n \downarrow 0$ 이면 $\sum(-1)^{n+1} a_n$ 수렴 |
| 적분판정 | $f$ 감소·양수, $a_n=f(n)$: $\sum a_n$ 수렴 $\iff$ $\int_1^\infty f$ 수렴 |
| Dirichlet·Abel | 부분합 유계 + 단조 계수 $\to0$(또는 유계 단조) — 비절대수렴 판정 |
(절대수렴 ⟹ 수렴) $\sum |a_n|$ 수렴이면 $\sum a_n$ 수렴.
증명 보기
증명. 삼각부등식으로 $\left|\sum_{k=n}^m a_k\right| \le \sum_{k=n}^m |a_k|$, 우변이 Cauchy 판정의 $\varepsilon$ 조건을 만족하므로 좌변도 만족. ∎ 함의는 한 방향뿐(조건수렴이 그 증거). 절대수렴 급수는 재배열에 안전(합 불변, 유한합처럼 행동).
(Riemann 재배열 정리)4 조건수렴 실급수는 재배열로 임의의 값(또는 $\pm\infty$)에 수렴하게 만들 수 있다. 조건수렴의 위태로움을 보여주는 충격적 결과.
증명 보기
증명 스케치. 양수항들의 합과 음수항들의 합이 각각 $+\infty$, $-\infty$ 로 발산함을 먼저 보인다(둘 다 유한이면 절대수렴이 되어 가정에 모순). 그 다음 목표값 $\beta$ 를 향해, 양수항을 $\beta$ 를 넘을 때까지 순서대로 더하고, 넘으면 음수항을 $\beta$ 아래로 내려갈 때까지 더하고, 다시 양수항을 더하는 식으로 왔다갔다 하면, 각 부분합과 $\beta$ 의 차가 그 단계에서 마지막으로 더한 항의 크기보다 작아지고 $a_n\to0$ 이므로 그 차가 $0$ 으로 수렴한다. ∎
(교대급수판정, Leibniz) $a_1\ge a_2\ge\cdots\ge0$ 이고 $a_n\to0$ 이면 $\sum(-1)^{n+1}a_n$ 은 수렴하고, 오차는 $|s-s_N|\le a_{N+1}$.
증명 보기
증명 스케치. 짝수 부분합 $s_{2n}$ 은 단조증가, 홀수 부분합 $s_{2n+1}$ 은 단조감소, $s_{2n}\le s_{2n+1}$, 둘의 차 $a_{2n+1}\to0$. 단조유계수열은 수렴(→ 완비성 공리)하고 두 부분수열이 같은 극한으로 수렴하므로 전체 수열도 그 극한으로 수렴(→ limsup liminf "보통 극한과의 동치"). ∎
예시
예제 1 (기하급수, 직접 계산 가능한 드문 경우). $\sum_{n=0}^\infty (1/2)^n = 1/(1-1/2) = 2$. $s_N = 2(1-(1/2)^{N+1}) \to 2$ — 부분합을 닫힌 형태로 구해 직접 극한을 계산한 사실상 유일한 표준 예.
예제 2 (조화급수 발산 vs $p=2$ 수렴). $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$ (수렴, $p$-급수 $p=2$); $\sum 1/n$ 발산 — $p$-급수 판정의 경계 사례.
예제 3 (교대조화급수, 조건수렴의 표준례). $\sum (-1)^{n+1}/n = \ln 2$ 는 Leibniz 판정으로 수렴($a_n=1/n\downarrow0$)하지만 $\sum 1/n$ 은 발산하므로 조건수렴. 재배열로 $\ln 2$ 가 아닌 다른 값(예: $0$, $\pi$, $+\infty$)에 수렴시킬 수 있음 — Riemann 재배열 정리의 직접 응용.
예제 4 (비판정). $\sum n!/n^n$: $a_{n+1}/a_n = \frac{(n+1)!/(n+1)^{n+1}}{n!/n^n} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \to 1/e < 1$ ⟹ 비판정으로 수렴.
예제 5 (근판정으로 진동수열 처리, → limsup-liminf 연결). $a_n$ 의 $n$제곱근이 $1/2$ 과 $1/3$ 사이를 진동해도 $\limsup\sqrt[n]{|a_n|} = 1/2 < 1$ 이면 근판정으로 즉시 수렴 판정(비판정은 비율이 진동하면 적용이 어려울 수 있음).
예제 6 ($p$-급수의 경계 확인, 적분판정 응용). $\sum 1/(n\ln n)$ ($n\ge2$): $f(x)=1/(x\ln x)$ 가 감소·양수이고 $\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = [\ln\ln x]_2^\infty = \infty$ 이므로 발산 — $p$-급수보다 미묘한 발산 사례.
예제 7 (비교판정 직접 적용). $\sum \frac{1}{n^2+n}$: $\frac{1}{n^2+n} < \frac{1}{n^2}$ 이고 $\sum 1/n^2$ 이 수렴($p=2$)하므로 비교판정으로 수렴.
흔한 오해와 함정
- "$a_n\to0$ 이면 $\sum a_n$ 수렴" — 거짓. 필요조건일 뿐 충분조건이 아니다(조화급수가 표준 반례).
- "비교판정에서 부호를 확인 안 함" — 비교판정은 $a_n, b_n \ge 0$ 을 요구한다. 음수가 섞인 급수에는 절대수렴을 거쳐 적용해야 한다.
- "근판정·비판정에서 $\alpha=1, L=1$ 인데 발산이라 단정" — $\alpha=1$ 또는 $L=1$ 은 무판정(수렴·발산 둘 다 가능). 다른 판정법으로 넘어가야 한다.
- "조건수렴 급수도 재배열해도 합이 불변" — 정확히 반대다. Riemann 재배열 정리가 보여주듯 조건수렴 급수는 재배열로 어떤 값으로도 만들 수 있다. 절대수렴 급수만 재배열 불변성을 가진다.
- "부분합이 유계이면 급수가 수렴" — 거짓(부분합이 유계이지만 진동하며 수렴하지 않을 수 있음, 예: $a_n=(-1)^n$, $s_N\in\{0,-1\}$ 진동). 유계는 단조와 결합되거나 Cauchy 조건 자체를 만족해야 수렴이 보장된다.
두 교재의 접근
같은 정리, 배치와 깊이의 차이.
- Rudin §3.20–3.55는 이 모두를 수열 장 후반에 압축해 넣고, 근판정을 $\limsup$ 으로 진술해 항상 적용되게 하며 Riemann 재배열 정리까지 증명한다. 급수의 곱(Cauchy 곱, Mertens 정리)도 다룬다. limsup을 먼저 들여와 여러 판정법을 통합적으로 다루는 압축적 전개가 특징이다.
- Bartle은 급수를 두 장에 나눈다: §3.7의 "급수 입문"(시간 부족으로 누락되지 않도록)2 과 9장("무한급수")의 절대수렴·절대수렴 판정·비절대수렴 판정·함수급수.3 예시가 풍부하고 각 판정법을 독립된 도구로 점진적으로 익히게 하는 전개다.
큰 그림 / 연결
급수의 수렴은 수열의 수렴(부분합 수열)와 코시 수열(Cauchy 판정)의 직접적 응용이며, 근판정·비판정은 limsup liminf 없이는 가장 일반적인 형태로 진술할 수 없다. 절대수렴 vs 조건수렴의 구분은 power series의 수렴 구간 내부(절대수렴)와 경계(조건수렴 가능)의 거동을 이해하는 데 필수적이며, 더 나아가 함수항 급수의 균등수렴를 다룰 때(Weierstrass M-판정) 이 페이지의 비교판정이 그대로 일반화된다. 적분판정은 리만 적분과 급수를 연결하는 다리이며, 측도론적 관점에서는 절대수렴 급수의 항별 재배열 불변성이 합과 적분의 순서 교환이 정당화되는 원형적 예시로 lebesgue theory까지 이어진다.
연습문제
- $\sum \frac{n}{n^2+1}$ 의 수렴·발산을 비교판정으로 판정하라(힌트: $\frac{n}{n^2+1}$ 을 $1/n$ 과 비교).
- $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ 이 조건수렴함을 보여라(Leibniz + $p$-급수 $p=1/2$ 발산).
- $\sum n/2^n$ 의 수렴을 비판정으로 보여라.
- 필요조건("$a_n\to0$")만으로는 수렴을 보장할 수 없음을, 조화급수 외의 또 다른 반례로 제시하라.
- Cauchy 판정을 이용해 $\sum 1/n$ 이 발산함을 직접 보여라($m=2n$, $n=n$ 으로 잡고 $s_{2n}-s_n \ge 1/2$ 을 보이는 코시 수열 페이지의 논증을 재사용).
- 절대수렴 급수의 임의의 부분급수(원래 급수에서 일부 항만 뽑은 것)도 절대수렴함을 보여라.
- $\sum a_n$ 이 절대수렴하고 $\{b_n\}$ 이 유계수열이면 $\sum a_n b_n$ 도 절대수렴함을 보여라.
- 적분판정을 이용해 $\sum \frac{1}{n(\ln n)^2}$ ($n\ge2$) 이 수렴함을 보여라.
힌트 / 정답
- $\frac{n}{n^2+1} > \frac{n}{n^2+n^2} = \frac{1}{2n}$ (충분히 큰 $n$), $\sum 1/(2n)$ 은 조화급수의 상수배로 발산하므로 비교판정(발산 방향)으로 원급수도 발산.
- $a_n=1/\sqrt n$ 은 단조감소·$\to0$ ⟹ Leibniz로 $\sum(-1)^n/\sqrt n$ 수렴. $\sum 1/\sqrt n = \sum n^{-1/2}$ 은 $p=1/2<1$ 인 $p$-급수로 발산 ⟹ 절대수렴 아님 ⟹ 조건수렴.
- $a_n = n/2^n$, $a_{n+1}/a_n = \frac{n+1}{2n} \to 1/2 < 1$ ⟹ 비판정으로 수렴.
- 예: $a_n = 1/\ln n$ ($n\ge2$): $a_n\to0$ 이지만 $1/\ln n > 1/n$ (충분히 큰 $n$, $\ln n < n$ 이므로) ⟹ 비교판정으로 $\sum 1/\ln n$ 발산.
- $s_{2n}-s_n = \frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2n}$, 이 $n$개 항이 각각 $\ge \frac{1}{2n}$ 이므로 합 $\ge n\cdot\frac{1}{2n}=\frac12$, Cauchy 조건의 $\varepsilon=1/2$ 에서 결코 작아지지 않으므로 Cauchy 판정 실패 ⟹ 발산.
- 부분급수의 부분합은 원급수의 절댓값 부분합의 부분수열(혹은 그 이하)이므로 원급수의 절댓값 부분합이 유계(수렴하므로)이면 부분급수의 절댓값 부분합도 유계+단조증가 ⟹ 단조유계수열은 수렴.
- $|b_n|\le M$ 이라 하면 $\sum|a_nb_n|\le M\sum|a_n|<\infty$ (비교판정, 두 수열 모두 음이 아니므로 적용 가능).
- $f(x)=1/(x(\ln x)^2)$ 는 감소·양수, $\int_2^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^2}$ 를 $u=\ln x$ 치환하면 $\int_{\ln 2}^\infty u^{-2}\,du = [-1/u]_{\ln2}^\infty = 1/\ln 2 < \infty$ ⟹ 적분판정으로 수렴.
출처에서의 위치
- Rudin §3.20–3.55 — 급수, 비음항, 근/비판정, 멱급수, 부분합산, 절대수렴, 재배열, 곱.
- Bartle §3.7 (입문); 9장 (§9.1–9.4).
관련 개념
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원전 소개 — Rudin §3.+ [synthesis] — 급수의 Cauchy 판정: 부분합 수열의 Cauchy 조건을 급수의 부분합 차이로 직접 옮긴 것. ↩
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원전 소개 — Bartle §3.7 / Preface — "we give a brief introduction to infinite series, so that this important topic will not be omitted due to a shortage of time." ↩
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원전 소개 — Bartle 9장 [synthesis] — 절대수렴(9.1), 절대수렴 판정(9.2), 비절대수렴 판정(9.3), 함수급수(9.4). ↩
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원전 소개 — Rudin §3.54 [synthesis] — Riemann 재배열 정리: 조건수렴 실급수는 재배열로 임의의 값(또는 ±∞)에 수렴 가능. ↩