VI. 정칙함수의 성질 · 13/16

로랑 급수

환영역 전개, 주부, 유수의 정의

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

멱급수와 테일러 정리의 Taylor 급수는 함수가 해석적인 원판에서만 통한다 — 원판 안에 특이점이 하나라도 있으면 전개 자체가 성립하지 않는다. 그런데 $e^{1/z}$처럼 원점 자체가 특이점인 함수를 원점 "근처에서" 다뤄야 하는 상황은 매우 흔하다. 이때 필요한 것이 원판이 아니라 환영역(annulus) — 특이점을 뺀 도넛 모양 영역 — 에서의 전개이며, 여기서는 양의 거듭제곱뿐 아니라 음의 거듭제곱까지 허용해야 한다. 이것이 Laurent 급수다. 음의 거듭제곱 부분(주부, principal part)이 특이점 근처에서 함수가 "얼마나 나쁘게 행동하는지"를 고스란히 담아내고, 그중 단 하나의 계수 $(z-z_0)^{-1}$의 계수 — 유수(residue) — 가 그 환영역을 감싸는 임의의 폐곡선 적분 전체를 결정한다. 다음 두 페이지(특이점과 유수, residue-theorem-and-real-integrals)의 이론 전체가 이 한 계수 위에 세워진다.

직관 (기하)

Taylor 정리의 증명(원판 하나의 경계 원에 Cauchy 적분공식을 쓰는 것)을 환영역에 맞게 고치면 어떻게 될까? 환영역은 경계가 둘이다 — 바깥 원 $C_2$와 안쪽 원 $C_1$. 다중연결 영역의 Cauchy 적분공식(코시 정리)은 $f(z)$를 두 경계 위 적분의 차로 표현한다: $f(z) = \dfrac{1}{2\pi i}\oint_{C_2}\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta - \dfrac{1}{2\pi i}\oint_{C_1}\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta$. 바깥 원 위에서는 $|z-z_0| < |\zeta-z_0|$이므로 (Taylor 증명과 똑같이) 기하급수가 양의 거듭제곱을 낳는다. 그런데 안쪽 원 위에서는 반대로 $|\zeta-z_0| < |z-z_0|$이므로, 이번에는 역할이 뒤집혀 기하급수가 음의 거듭제곱을 낳는다 — 핵을 $\dfrac{(\zeta-z_0)}{(z-z_0)}$의 거듭제곱으로 전개해야 하기 때문이다. 그림으로 보면, 바깥 원은 "저 멀리 있는 경계로부터 정보가 스며들어와 다항식스러운(양의 거듭제곱) 부분을 만든다"는 익숙한 그림이고, 안쪽 원은 "특이점을 둘러싼 구멍의 존재가 함수를 특이점 쪽으로 밀어붙여 음의 거듭제곱을 강제한다"는 새로운 그림이다.

유수 하나가 적분 전체를 결정한다는 사실은 놀라울 정도로 강력하다: $\displaystyle\oint_C f\,dz = \oint_C \sum_n a_n(z-z_0)^n\,dz$에서, $n\ne-1$인 모든 항은 원시함수 $(z-z_0)^{n+1}/(n+1)$을 가지므로 닫힌 곡선 적분이 자동으로 $0$이 된다(정수 거듭제곱의 원시함수 존재, $n=-1$만 예외). 오직 $n=-1$ 항 $a_{-1}(z-z_0)^{-1}$만 원시함수가 없고(로그가 다가함수라서), 바로 이 항이 $\oint_C (z-z_0)^{-1}dz = 2\pi i$라는 유일하게 "값이 남는" 적분을 만든다. 즉 Laurent 급수의 무한히 많은 항 중 정확히 하나만 적분에 기여하며, 나머지는 전부 소멸한다 — 이것이 유수라는 개념이 왜 그렇게 강력한 계산 도구인지의 근본 이유다.

정의

함수 $f$가 환영역 $R_1 < |z - z_0| < R_2$에서 해석적일 때, Laurent 급수:¹ $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n,\qquad a_n = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}}\,d\zeta\quad(n=0,\pm1,\pm2,\dots),$$ $C$는 환영역 안에서 $z_0$를 한 번 감싸는 양의 방향(반시계) 폐곡선(단순닫힌곡선).

주부(principal part): $\displaystyle\sum_{n<0} a_n(z-z_0)^n$ — 음의 거듭제곱 부분. 특이점의 성격을 완전히 결정한다.
해석부(analytic part): $\displaystyle\sum_{n\ge0} a_n(z-z_0)^n$ — 보통의 Taylor 부분.
유수(residue): $\operatorname{Res}[f; z_0] = a_{-1}$.

주의(Taylor와의 차이). 일반적으로 $a_n \ne f^{(n)}(z_0)/n!$이다 — $f$가 $z_0$ 자체에서 해석적이지 않을 수 있으므로 도함수 공식이 적용되지 않는다. 계수는 오직 위 적분공식으로만 정의된다(단, $f$가 실제로 원판 전체 $|z-z_0|<R_2$에서 해석적이라면 Laurent 급수는 Taylor 급수로 환원되고 이때는 등식이 회복된다).

주요 정리

정리 (Laurent 정리).¹ $f$가 환영역 $R_1<|z-z_0|<R_2$에서 해석적이면 위 Laurent 표현이 그 환영역 전체에서 유효하고, 전개는 유일하다.

증명 보기

증명 스케치. 환영역 안의 점 $z$를 고정하고, $R_1<R_1'<|z-z_0|<R_2'<R_2$인 두 원 $C_1: |\zeta-z_0|=R_1'$, $C_2: |\zeta-z_0|=R_2'$을 잡자. $f$는 닫힌 환영역 $R_1'\le|\zeta-z_0|\le R_2'$에서 해석적이므로, 다중연결 영역에 대한 Cauchy 적분공식으로 $$f(z) = \frac{1}{2\pi i}\oint_{C_2}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta - \frac{1}{2\pi i}\oint_{C_1}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta.$$ 바깥 적분($C_2$): $\zeta\in C_2$에서 $|\zeta-z_0|=R_2' > |z-z_0|$이므로 Taylor 정리 증명과 동일하게 $\dfrac{1}{\zeta-z}$를 $\dfrac{z-z_0}{\zeta-z_0}$의 거듭제곱(비율 $<1$)으로 기하급수 전개하면, 항별 적분 후 나머지항이 ML 부등식으로 $0$에 수렴 — 양의 거듭제곱 $\sum_{k\ge0}a_k(z-z_0)^k$가 나오고 $a_k = \dfrac{1}{2\pi i}\oint_{C_2}\dfrac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{k+1}}d\zeta$. 안쪽 적분($C_1$): $\zeta\in C_1$에서 $|\zeta-z_0|=R_1' < |z-z_0|$이므로 이번엔 역할을 바꿔 $-\dfrac{1}{\zeta-z} = \dfrac{1}{z-\zeta} = \dfrac{1}{(z-z_0)}\cdot\dfrac{1}{1-\frac{\zeta-z_0}{z-z_0}}$를 $\dfrac{\zeta-z_0}{z-z_0}$의 거듭제곱(비율 $<1$)으로 전개하면 음의 거듭제곱 $\sum_{k\ge1}a_{-k}(z-z_0)^{-k}$가 나온다. 두 급수를 합치면 원하는 Laurent 전개. 계수 공식의 적분 경로 $C_2$(또는 $C_1$)는 다중연결 영역에서의 변형 원리(코시 정리)에 의해 환영역 안의 $z_0$를 감싸는 어떤 폐곡선 $C$로도 바꿔 쓸 수 있다 — 이것이 정의의 적분공식이 특정 원이 아니라 임의의 $C$로 서술되는 이유. 유일성은 계수가 적분공식으로 명시적으로 결정되기 때문에 따라 나온다. ∎

계수의 의미 — 유수정리의 씨앗. 유수 $a_{-1}$은 정의상 $a_{-1} = \dfrac{1}{2\pi i}\oint_C f(\zeta)\,d\zeta$이므로, 재정리하면 $$\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i\,a_{-1} = 2\pi i\,\operatorname{Res}[f;z_0].$$ 환영역을 감싸는 적분이 정확히 $2\pi i \times$(유수)와 같다는 이 등식이 유수 정리와 실적분의 핵심 재료다.

정리 (같은 함수, 다른 환영역 ⟹ 다른 급수). 특이점의 위치가 고정되어 있어도, 어느 환영역에서 전개하느냐에 따라 서로 다른 Laurent 급수를 얻는다 — Taylor 급수와 달리 유일성이 "환영역을 고정한 채로"만 성립한다는 점에 유의(아래 예제 3).

정리 (유수 계산의 대수적 지름길, 예고). 실전에서는 매번 적분공식으로 $a_{-1}$을 계산하지 않고, 알려진 급수를 대수적으로 조작(치환·곱셈·나눗셈)해 주부의 $(z-z_0)^{-1}$ 계수를 직접 읽어낸다(예제 1, 2). 극점에서의 더 체계적인 공식은 특이점과 유수에서 다룬다.

예제

예제 1 (극에서의 Laurent 전개). $f(z) = \dfrac{e^z}{z^2}$의 $z_0=0$ 둘레 전개. $e^z = 1 + z + \tfrac{z^2}{2} + \tfrac{z^3}{6}+\cdots$을 $z^2$으로 나누면 $$\frac{e^z}{z^2} = \frac{1}{z^2} + \frac{1}{z} + \frac12 + \frac{z}{6} + \cdots\qquad(0<|z|<\infty).$$ 주부 $\dfrac1{z^2}+\dfrac1z$ (유한, 위수 2), 유수 $a_{-1} = 1$. 이 급수는 $z_0=0$을 제외한 전평면에서 유효하다($e^z$가 전해석이므로 $R_2=\infty$, $R_1=0$).

예제 2 (본질적 특이점). $f(z) = e^{1/z}$의 $z_0=0$ 둘레. $1/z$를 $e^w=\sum w^n/n!$에 대입하면 $$e^{1/z} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!\,z^n} = 1 + \frac1z + \frac{1}{2z^2} + \frac{1}{6z^3}+\cdots\qquad(0<|z|<\infty).$$ 주부가 무한히 많은 음의 거듭제곱 항을 가진다 — 이것이 특이점과 유수에서 정의할 본질적 특이점의 표준 원형. 유수 $a_{-1}=1$.

예제 3 (같은 함수, 세 가지 환영역). $f(z) = \dfrac{1}{(z-1)(z-2)} = \dfrac{1}{z-2} - \dfrac{1}{z-1}$ (부분분수). 특이점은 $z=1,2$. - $|z|<1$ (원점 중심 원판, Taylor): 둘 다 해석적이므로 양의 거듭제곱만. $\dfrac{1}{z-2}=-\tfrac12\sum_{n\ge0}(z/2)^n$, $\dfrac{1}{z-1}=-\sum_{n\ge0}z^n$. 합쳐서 $f(z) = \sum_{n\ge0}\left(1-\tfrac{1}{2^{n+1}}\right)z^n$. - $1<|z|<2$ (진짜 환영역): $\dfrac{1}{z-2}$는 여전히 $|z|<2$쪽이라 Taylor로 남지만, $\dfrac{1}{z-1} = \dfrac1z\cdot\dfrac{1}{1-1/z} = \sum_{n\ge1} z^{-n}$ (이제 $|1/z|<1$이므로 음의 거듭제곱). 진짜 Laurent 급수 — 양쪽 부호가 섞인다. - $|z|>2$ (바깥 환영역): 둘 다 음의 거듭제곱. $\dfrac{1}{z-2} = \dfrac1z\sum_{n\ge0}(2/z)^n$, $\dfrac{1}{z-1}=\dfrac1z\sum_{n\ge0}(1/z)^n$.

같은 함수, 세 개의 완전히 다른 급수 — 환영역을 명시하지 않고 "Laurent 급수를 구하라"는 질문은 불완전한 질문이라는 것을 이 예제가 정확히 보여준다.

예제 4 (음의 거듭제곱만 있는 다항식형). $f(z) = z^3 + \dfrac{1}{z^3}$은 이미 $z_0=0$ 둘레의 자기 자신의 Laurent 급수다(더 전개할 것이 없음). 주부 $z^{-3}$ 한 항, 위수 3 극. 유수 $a_{-1}=0$ (계수가 $0$인 것이지, 극이 아니라는 뜻이 아니다 — 유수가 $0$인 극도 흔하다).

예제 5 (유수를 곱셈으로 읽기). $f(z) = \dfrac{\sin z}{z^4}$의 $z_0=0$ 둘레 전개. $\sin z = z - \tfrac{z^3}{6} + \tfrac{z^5}{120} - \cdots$를 $z^4$으로 나누면 $$\frac{\sin z}{z^4} = \frac{1}{z^3} - \frac{1}{6z} + \frac{z}{120} - \cdots.$$ $z^{-1}$의 계수를 직접 읽으면 유수 $a_{-1} = -\tfrac16$ — 미분이나 극한 계산 없이 급수를 나누는 것만으로 유수를 얻는 실전 지름길.

흔한 오해와 함정

"Laurent 급수의 계수도 Taylor처럼 $f^{(n)}(z_0)/n!$이다" — 아니다(정의 절 주의 참고). $f$가 $z_0$에서 해석적이지 않으므로 $f^{(n)}(z_0)$ 자체가 정의되지 않는 경우가 많다. 계수는 오직 적분공식(또는 대수적 조작)으로만 얻는다.
"환영역을 명시하지 않아도 Laurent 급수는 하나로 정해진다" — 예제 3이 보여주듯 완전히 틀렸다. 같은 중심이라도 환영역이 다르면 급수가 다르다. Taylor 급수의 유일성(원판 하나만 있으므로 모호함이 없음)과 대비되는 Laurent 급수 특유의 함정.
"주부가 유한하면 무조건 제거가능 특이점이다" — 정반대다. 주부가 정확히 $0$(모든 음의 계수가 $0$)이면 제거가능, 주부가 유한하지만 0이 아니면 극, 주부가 무한하면 본질적 특이점이다. 세 경우를 다음 페이지(특이점과 유수)에서 정확히 분류한다.
"유수는 항상 어려운 극한 계산이 필요하다" — 예제 5처럼 알려진 Taylor 급수를 나누거나 곱하는 것만으로 유수를 즉시 읽어낼 수 있는 경우가 많다. 극한 공식(다음 페이지)은 급수 전개가 번거로울 때의 대안이지, 유일한 방법이 아니다.
"$n<0$인 항도 원시함수가 있으니 닫힌 적분에 기여한다" — $n\le-2$인 항 $(z-z_0)^n$은 실제로 원시함수 $(z-z_0)^{n+1}/(n+1)$을 가지므로 닫힌 곡선 적분에 기여하지 않는다. 오직 $n=-1$ 항만 원시함수가 없어(로그의 다가성) 적분에 기여한다 — "직관" 절에서 강조한 핵심 포인트를 다시 한번 명심할 것.

큰 그림 / 연결

Laurent 급수는 멱급수와 테일러 정리의 Taylor 전개를 환영역으로 확장한 것이며, 증명 기법(기하급수 전개 + ML 부등식)이 그대로 재사용되지만 다중연결 영역에 대한 Cauchy 적분공식(코시 정리)이라는 한 단계가 추가로 필요하다. 주부의 구조는 다음 페이지 특이점과 유수에서 고립특이점을 제거가능·극·본질적 세 가지로 완전히 분류하는 유일한 근거이며, "적분 = $2\pi i \times$유수"라는 이 페이지의 계수 공식은 residue-theorem-and-real-integrals에서 여러 특이점을 가진 함수의 적분을 각 유수의 합으로 환원하는 유수정리의 직접적 출발점이다. $\infty$를 하나의 점으로 취급하는 riemann sphere and infinity에서는 $|z|>R$ 환영역에서의 Laurent 전개가 "$\infty$에서의 특이점"을 정의하는 표준 도구로 재등장한다.

연습문제

$\dfrac{1}{z(z-1)}$을 $0<|z|<1$에서 Laurent 전개하고 유수($z=0$)를 구하라.
$\dfrac{\sin z}{z^4}$의 $z=0$ 둘레 Laurent 급수와 유수를 구하라.
$z^2 e^{1/z}$의 $z=0$ 유수를 구하라.
$\dfrac{1}{z-3}$을 $|z|>3$에서 Laurent 전개하라.
$\dfrac{1}{(z-1)(z-2)}$을 $|z|>2$에서 전개하고, $|z|<1$에서의 전개(예제 3)와 계수를 비교하라.
$\dfrac{\cos z - 1}{z^2}$의 $z=0$ 둘레 Laurent 급수를 구하고, 이 특이점이 제거가능함을 급수로 확인하라.
$\dfrac{1}{z^2(z-1)}$을 $0<|z|<1$에서 전개하고 $z=0$에서의 유수를 구하라.
$\oint_{|z|=1/2} e^{1/z}\,dz$를 Laurent 급수(예제 2)를 이용해 계산하라.

힌트 / 정답

$\dfrac{1}{z(z-1)} = -\dfrac1z\cdot\dfrac{1}{1-z} = -\dfrac1z - \sum_{n\ge0}z^n = -\dfrac1z - 1 - z - \cdots$. 유수 $a_{-1}=-1$.
$\sin z = z - \tfrac{z^3}{6}+\cdots$ ⟹ $\dfrac{\sin z}{z^4} = \dfrac1{z^3} - \dfrac{1}{6z} + \cdots$. 유수 $a_{-1} = -\tfrac16$.
$z^2 e^{1/z} = z^2\left(1 + \tfrac1z + \tfrac1{2z^2} + \tfrac1{6z^3}+\cdots\right) = z^2+z+\tfrac12+\tfrac{1}{6z}+\cdots$. $1/z$ 계수 $\tfrac16$. 유수 $=\tfrac16$.
$\dfrac{1}{z-3} = \dfrac1z\cdot\dfrac{1}{1-3/z} = \sum_{n\ge1}\dfrac{3^{n-1}}{z^n}$.
$|z|>2$: $\dfrac{1}{z-2}-\dfrac{1}{z-1} = \dfrac1z\sum(2/z)^n - \dfrac1z\sum(1/z)^n = \sum_{n\ge1}\dfrac{2^{n-1}-1}{z^n}$ — 전부 음의 거듭제곱, $|z|<1$의 전부 양의 거듭제곱과 정반대 구조.
$\cos z - 1 = -\tfrac{z^2}{2}+\tfrac{z^4}{24}-\cdots$ ⟹ $\dfrac{\cos z-1}{z^2} = -\tfrac12+\tfrac{z^2}{24}-\cdots$ — 주부 없음(음의 거듭제곱 항이 전혀 없음) ⟹ 제거가능, $z=0$에서 $-\tfrac12$로 정의하면 해석적 확장.
$\dfrac{1}{z^2(z-1)} = -\dfrac{1}{z^2}\cdot\dfrac1{1-z} = -\dfrac{1}{z^2}\sum_{n\ge0}z^n = -\dfrac{1}{z^2}-\dfrac1z-1-z-\cdots$. 유수(= $z^{-1}$ 계수) $=-1$.
$e^{1/z}$의 유수(예제 2) $a_{-1}=1$이고 $|z|=1/2$는 $0<|z|<\infty$ 환영역 안에 있으므로 $\oint = 2\pi i\cdot a_{-1} = 2\pi i$.