ℂ복소해석학
VII. 유수와 응용 · 14/16

특이점과 유수

제거가능·극·본질 특이점, 유수 계산법

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

함수가 해석성을 잃는 지점 하나하나가 전부 "똑같이 나쁜" 것은 아니다. $\dfrac{\sin z}{z}$의 $z=0$은 사실상 아무 문제도 없는(정의만 다시 해주면 되는) 점이고, $\dfrac{1}{z^2}$의 $z=0$은 함수가 무한대로 발산하는 "진짜" 특이점이며, $e^{1/z}$의 $z=0$은 근방에서 함수가 상상할 수 있는 모든 값에 다가가는 극도로 사나운 점이다. 로랑 급수가 보여준 것처럼, 이 세 가지 서로 다른 성격은 정확히 Laurent 급수의 주부(음의 거듭제곱 부분)의 형태에 의해 완전히 분류된다 — 급수 하나를 보면 특이점이 어떤 "종(species)"에 속하는지 즉시 알 수 있다는 뜻이다. 그리고 각 특이점에서 추출하는 단 하나의 수, 유수(residue) $a_{-1}$이 다음 페이지의 유수정리를 통해 복잡한 적분 계산을 대수 문제로 환원시킨다.

직관 (기하)

세 종류의 특이점을 "함수가 그 점에 접근할 때 그래프가 어떻게 보이는가"로 그려보자. 제거가능 특이점은 사실 그림에 구멍조차 없다 — 함수가 이미 어디로 수렴해야 하는지 정해져 있는데, 정의만 깜빡 빠뜨린 상태다(마치 함수의 정의역에서 한 점만 인위적으로 지운 것과 같다). 극(pole)은 그 점 주위에서 함수가 깔때기처럼 무한대로 빨려 들어가는 그림이다 — $|f|\to\infty$가 모든 방향에서 균일하게 일어나며, 위수(order) $m$이 클수록 그 발산이 더 가파르다(마치 $1/z^m$이 원점 근처에서 $m$이 클수록 더 급격히 커지는 것과 같다). 본질적 특이점은 완전히 다른 종류의 병리다 — 함수가 무한대로 발산하는 것도, 어떤 값으로 수렴하는 것도 아니고, 그 점의 임의로 작은 근방 안에서 함수의 상(image)이 복소평면 거의 전체를 뒤덮는다(Casorati–Weierstrass). $e^{1/z}$를 원점 근처의 서로 다른 방향에서 접근시켜보면 이 그림이 생생해진다 — 양의 실축을 따라가면 $e^{1/z}\to\infty$, 음의 실축을 따라가면 $e^{1/z}\to0$, 허축을 따라가면 $e^{1/z}$가 단위원 위에서 진동한다: 접근 경로에 따라 극한이 완전히 다르다는 것 자체가 이 점이 극이나 제거가능점일 수 없다는 신호다.

유수의 기하적 의미는 로랑 급수에서 이미 확립됐다: Laurent 급수의 무한히 많은 항 중 $(z-z_0)^{-1}$ 항만 원시함수를 갖지 않기 때문에(로그의 다가성), 이 항의 계수만이 닫힌 곡선 적분에 "살아남아" 기여한다. 즉 유수는 "이 특이점이 주변을 도는 폐곡선 적분에 정확히 얼마만큼 기여하는가"를 재는 유일한 숫자다 — 특이점의 나머지 모든 정보(위수, 다른 계수들)는 적분값 자체에는 영향을 주지 않는다는 점이 이 개념을 실전적으로 강력하게 만든다.

정의

$z_0$가 $f$의 고립특이점(isolated singularity): $f$가 구멍 뚫린 근방 $0<|z-z_0|<r$에서 해석적이지만 $z_0$ 자신에서는 해석적이지 않은(또는 정의되지 않은) 점. (특이점 근방에 다른 특이점이 무한히 몰려 있으면 비고립(non-isolated) — 예: $1/\sin(1/z)$의 원점은 $z_n=1/(n\pi)$들이 쌓여 비고립.)

Laurent 급수 $f = \sum a_n(z-z_0)^n$의 주부에 따라 고립특이점을 세 가지로 분류한다:1

종류 주부 극한 거동 대표 예
제거가능(removable) 없음 ($a_n=0,\ \forall n<0$) $\lim_{z\to z_0}f(z)$ 유한하게 존재 $\dfrac{\sin z}{z}$
극(pole), 위수 $m$ 유한, $a_{-m}\ne0$, $a_n=0\ (n<-m)$ $|f(z)|\to\infty$ (모든 방향) $\dfrac{1}{z^m}$
본질적(essential) 무한히 많은 음의 항 극한 존재 안 함(모든 값에 조밀하게 접근) $e^{1/z}$

유수: $\operatorname{Res}[f; z_0] = a_{-1}$ — Laurent 급수의 $(z-z_0)^{-1}$ 계수.

주요 정리

정리 (제거가능 특이점, Riemann).2 $z_0$가 $f$의 고립특이점이고 $f$가 $z_0$의 구멍 뚫린 근방에서 유계이면, $z_0$은 제거가능이다 — 즉 $f(z_0)$를 적절히(정확히는 $\lim_{z\to z_0}f(z)$ 값으로) 정의하면 $f$가 그 점에서 해석적이 되도록 확장할 수 있다.

증명 보기

증명 스케치. 두 원 $C$(반지름 $R$, 바깥), $C_1$(반지름 $r<R$, 안쪽) 사이의 환영역에 Cauchy 적분공식을 쓰면 $f(z_1) = \dfrac{1}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z_1}d\zeta - \dfrac{1}{2\pi i}\oint_{C_1}\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z_1}d\zeta$. $f$가 유계($|f|\le M$)이므로 ML 부등식으로 $C_1$ 위 적분의 절댓값이 $\le \dfrac{M}{2\pi}\cdot\dfrac{2\pi r}{|z_1-z_0|-r} \to 0$ as $r\to0$. 따라서 $f(z_1) = \dfrac{1}{2\pi i}\oint_C \dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z_1}d\zeta$ — 이는 $C$ 안쪽 전체(구멍을 포함해!)에서 해석적인 함수의 표현이다. $f(z_0) := \dfrac{1}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z_0}d\zeta$로 정의하면 $f$는 원판 $|z-z_0|<R$ 전체에서 해석적이 된다. ∎ — 이 증명이 사실상 유계인 고립특이점은 "가짜" 특이점(정의를 안 해서 생긴 구멍)일 뿐임을 정확히 보여준다.

정리 (극의 판정).3 $z_0$이 $f$의 위수 $m$인 극 $\iff$ $\displaystyle\lim_{z\to z_0}(z-z_0)^m f(z) = A \ne 0,\infty$가 존재 $\iff$ $(z-z_0)^m f(z)$가 $z_0$에서 해석적으로 확장되고 그 값이 $0$이 아님 $\iff$ $g(z)=1/f(z)$가 $z_0$에서 위수 $m$인 영점을 가짐.

증명 보기

증명 스케치(⟹ 방향). $f(z) \to \infty$ as $z\to z_0$이면, 어떤 근방에서 $f\ne0$이고 $g=1/f$가 유계($1/R$로)로 그 근방에서 해석적 — Riemann 정리로 $g$는 $z_0$에서 제거가능, $\lim g(z) = 0$이므로 $g(z) = (z-z_0)^m h(z)$ ($h(z_0)\ne0$, 해석적) 꼴로 쓸 수 있다(위수 $m$인 영점의 표준형). 그러면 $f(z) = \dfrac{1}{(z-z_0)^m h(z)}$이고 $1/h(z)$가 $z_0$에서 해석적·$0$이 아니므로, $f$의 Laurent 급수는 정확히 $(z-z_0)^{-m}$에서 시작하는 유한 주부를 가진다 — 위수 $m$인 극. ∎

정리 (Casorati–Weierstrass).4 $z_0$이 $f$의 본질적 특이점이면, $z_0$의 임의로 작은 구멍 뚫린 근방에서 $f$의 상은 $\mathbb{C}$에서 조밀하다 — 임의의 $a\in\mathbb{C}$, $\varepsilon>0$, $\delta>0$에 대해 $0<|z-z_0|<\delta$인 어떤 $z$가 존재해 $|f(z)-a|<\varepsilon$.

증명 보기

증명 스케치. 만약 어떤 $a,\varepsilon,\delta$에 대해 $|f(z)-a|\ge\varepsilon$이 $0<|z-z_0|<\delta$ 전체에서 성립한다고 가정하면, $g(z)=1/(f(z)-a)$가 그 구멍 뚫린 근방에서 해석적이고 $|g|\le1/\varepsilon$로 유계 — Riemann 정리로 $g$는 $z_0$에서 제거가능. $g(z_0)\ne0$이면 $f=1/g+a$가 $z_0$에서 해석적(제거가능)이 되어 모순; $g(z_0)=0$이면 $f = 1/g + a \to \infty$가 되어 $z_0$이 극이 되어 모순(본질적 가정과 배치). 두 경우 모두 모순이므로 원래 가정이 거짓 — 임의의 $a$에 임의로 가까워진다. ∎ (강화판 Picard 대정리: 많아야 한 값을 제외한 모든 값을 무한히 취한다 — orientation 수준, 증명은 인용만.)

유수 계산 공식.5 - 단순극(위수 1): $\operatorname{Res}[f; z_0] = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$. - $f=p/q$, $q(z_0)=0$, $q'(z_0)\ne0$ (단순영점), $p(z_0)\ne0$: $\operatorname{Res}[f;z_0] = \dfrac{p(z_0)}{q'(z_0)}$.

증명. $q$가 $z_0$에서 단순영점이므로 $q(z) = (z-z_0)q'(z_0) + O((z-z_0)^2)$ (Taylor 전개). 단순극 공식에 대입하면 $\lim_{z\to z_0}(z-z_0)\dfrac{p(z)}{q(z)} = \lim_{z\to z_0}\dfrac{p(z)}{q(z)/(z-z_0)} = \dfrac{p(z_0)}{q'(z_0)}$ (로피탈 또는 직접 극한). ∎ - 위수 $m$ 극: $\operatorname{Res}[f;z_0] = \dfrac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\dfrac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}\big[(z-z_0)^m f(z)\big]$.

증명 스케치. $(z-z_0)^m f(z) = a_{-m} + a_{-m+1}(z-z_0) + \cdots + a_{-1}(z-z_0)^{m-1} + a_0(z-z_0)^m+\cdots$는 $z_0$에서 해석적인 함수(주부가 정확히 상쇄됨)이고, 그 Taylor 계수 중 $(z-z_0)^{m-1}$의 계수가 바로 $a_{-1}$이다. Taylor 계수공식 $a_{-1} = \dfrac{1}{(m-1)!}\left[\dfrac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}(z-z_0)^mf(z)\right]_{z=z_0}$을 적용하면 끝. ∎ $m=1$이면 $0! = 1$이고 미분 없이 극한만 남아 단순극 공식과 일치한다.

예제

예제 1 (제거가능). $f(z) = \dfrac{\sin z}{z}$. $\dfrac{\sin z}{z} = 1 - \tfrac{z^2}{6}+\tfrac{z^4}{120}-\cdots$, 주부 없음 ⟹ 제거가능, $f(0):=1$로 정의하면 전해석함수로 확장. 유수 $a_{-1}=0$ (제거가능점의 유수는 항상 $0$).

예제 2 (위수가 다른 두 극). $f(z) = \dfrac{z+1}{(z-1)^2(z+3)}$. $z=1$은 위수 2 극, $z=-3$은 단순극. $$\operatorname{Res}[f;-3] = \lim_{z\to-3}(z+3)f(z) = \frac{-3+1}{(-3-1)^2} = \frac{-2}{16}=-\frac18.$$ $$\operatorname{Res}[f;1] = \lim_{z\to1}\frac{d}{dz}\left[\frac{z+1}{z+3}\right] = \lim_{z\to1}\frac{(z+3)-(z+1)}{(z+3)^2} = \frac{2}{16}=\frac18.$$

예제 3 (단순극, $p/q'$ 공식). $f(z) = \dfrac{e^z}{z^2+1}$, $z_0=i$. $q(z)=z^2+1$는 $z_0=i$에서 단순영점($q'(i)=2i\ne0$), $p(z)=e^z$는 $p(i)=e^i\ne0$. 공식으로 즉시 $\operatorname{Res}[f;i] = \dfrac{e^i}{2i}$ — 극한을 직접 계산하는 것보다 훨씬 빠르다.

예제 4 (본질적, 급수로). $f(z)=e^{1/z}$의 $z=0$은 본질적(주부 무한, 로랑 급수 예제 2). $\operatorname{Res} = a_{-1} = 1$ ($1/z$의 계수). 극 공식은 애초에 적용 불가능(위수가 무한대이므로) — 본질적 특이점의 유수는 오직 급수 전개로만 얻는다.

예제 5 (위수 판정 후 계산). $f(z) = \dfrac{1-\cos z}{z^3}$의 $z=0$ 특이점을 분류하자. $1-\cos z = \tfrac{z^2}{2} - \tfrac{z^4}{24}+\cdots$이므로 $f(z) = \dfrac{1}{2z} - \dfrac{z}{24}+\cdots$ — 주부가 $\dfrac{1}{2z}$ 하나뿐(위수 1). 단순극, 유수 $a_{-1}=\tfrac12$. 이 예는 분자·분모의 차수만 봐서는(둘 다 $z^2, z^3$처럼) 위수를 오판하기 쉬운 경우 — 실제로 급수를 전개해야 정확한 위수가 나온다는 점을 보여준다.

예제 6 (위수 3 극에서 두 번 미분). $f(z) = \dfrac{e^{2z}}{z^3}$의 $z=0$ 유수. $m=3$ 공식: $\operatorname{Res} = \dfrac{1}{2!}\lim_{z\to0}\dfrac{d^2}{dz^2}\left[z^3\cdot\dfrac{e^{2z}}{z^3}\right] = \dfrac12\lim_{z\to0}\dfrac{d^2}{dz^2}e^{2z} = \dfrac12\cdot4e^{2z}\Big|_{z=0} = 2$. 급수로 교차검증: $e^{2z}=1+2z+2z^2+\tfrac43z^3+\cdots$이므로 $\dfrac{e^{2z}}{z^3} = \dfrac{1}{z^3}+\dfrac{2}{z^2}+\dfrac{2}{z}+\cdots$ — $z^{-1}$ 계수가 정확히 $2$로 일치. ✓

흔한 오해와 함정

큰 그림 / 연결

이 페이지는 로랑 급수가 정의한 주부 구조를 세 가지 완전한 분류로 정리하고, 각 분류에 맞는 유수 계산 공식을 확립한다. 다음 페이지 residue-theorem-and-real-integrals에서는 이 유수들의 합이 폐곡선 적분 전체를 결정한다는 유수정리로 이어지며, 그 정리의 기하적 골격은 코시 정리의 다중연결 영역 버전(적분을 여러 작은 원 적분의 합으로 쪼개는 것)과 정확히 일치한다. 극의 위수 개념은 entire and meromorphic functions에서 유리형함수(극만 허용하는 함수)를 정의하는 데 그대로 쓰이고, 편각 원리와 루셰 정리에서는 영점과 극의 개수(위수까지 합산)를 세는 논증으로 확장된다. Casorati–Weierstrass와 그 강화판인 Picard 대정리는 본질적 특이점 근방의 "카오스적" 거동을 정량화하는 orientation 수준의 정리이며, $\infty$에서의 특이점 분류는 riemann sphere and infinity에서 $w=1/z$ 치환을 통해 이 페이지의 정의를 그대로 재사용한다.

연습문제

  1. $\dfrac{1}{z^2+1}$의 두 특이점을 분류하고 각 유수를 구하라.
  2. $\dfrac{z}{(z-2)^3}$의 $z=2$ 유수를 구하라.
  3. $\dfrac{\cos z}{z^3}$의 $z=0$ 특이점 종류와 유수를 구하라.
  4. $\dfrac{1}{\sin z}$의 $z=0$ 특이점을 분류하고 유수를 구하라.
  5. $z\cos(1/z)$의 $z=0$ 특이점을 분류하고 (가능하면) 유수를 구하라.
  6. $\dfrac{z^2-1}{z-1}$의 $z=1$ 특이점을 분류하라(힌트: 인수분해).
  7. $\dfrac{e^z-1}{z^2}$의 $z=0$ 특이점을 분류하고 유수를 구하라.
  8. $\dfrac{1}{z^2(z^2+4)}$의 모든 특이점을 분류하고 유수를 구하라.
힌트 / 정답
  1. $z=\pm i$ 단순극. $\operatorname{Res}[\,\cdot\,;i] = \dfrac{1}{2i}$ ($p/q'$: $p=1,q'=2z$), $\operatorname{Res}[\,\cdot\,;-i]=\dfrac{1}{-2i}$.
  2. 위수 3 극. $\operatorname{Res} = \dfrac{1}{2!}\lim_{z\to2}\dfrac{d^2}{dz^2}[z] = 0$ ($z$가 일차식이라 이계도함수 $0$). 유수 $0$.
  3. $\cos z = 1 - \tfrac{z^2}{2}+\cdots$ ⟹ $\dfrac{\cos z}{z^3} = \dfrac1{z^3} - \dfrac{1}{2z}+\cdots$. 위수 3 극, 유수 $-\tfrac12$.
  4. $\sin z = z - \tfrac{z^3}6+\cdots$, 단순영점 ⟹ $1/\sin z$ 단순극. $\operatorname{Res} = \dfrac{1}{\cos0}=1$ ($p=1,q=\sin z,q'=\cos z$).
  5. $\cos(1/z) = 1 - \tfrac{1}{2z^2}+\tfrac{1}{24z^4}-\cdots$이므로 $z\cos(1/z) = z - \tfrac{1}{2z}+\tfrac{1}{24z^3}-\cdots$ — 주부 무한 ⟹ 본질적 특이점. 유수(=$z^{-1}$ 계수) $=-\tfrac12$(본질적이어도 유수는 급수에서 정상적으로 읽을 수 있다).
  6. $\dfrac{z^2-1}{z-1} = \dfrac{(z-1)(z+1)}{z-1} = z+1$ ($z\ne1$) — 주부가 아예 없음 ⟹ 제거가능, $f(1):=2$로 정의하면 해석적. 유수 $0$.
  7. $e^z-1 = z+\tfrac{z^2}{2}+\tfrac{z^3}{6}+\cdots$ ⟹ $\dfrac{e^z-1}{z^2} = \dfrac1z+\dfrac12+\dfrac{z}{6}+\cdots$ — 단순극, 유수 $1$.
  8. $z=0$: $q(z)=z^2(z^2+4)$의 $z=0$은 위수 2 (분자 $1$이므로) ⟹ 위수 2 극; $\operatorname{Res}[\,\cdot\,;0] = \lim_{z\to0}\dfrac{d}{dz}\left[\dfrac{1}{z^2+4}\right] = \lim_{z\to0}\dfrac{-2z}{(z^2+4)^2}=0$. $z=\pm2i$: 단순극 ($q'=2z(z^2+4)+z^2\cdot2z$의 $z=2i$ 값 확인, 또는 직접 $p/q'$: $q=z^2(z^2+4)$, $q'(2i) = 2(2i)( (2i)^2+4) + (2i)^2\cdot 2(2i)= 0 + (-4)(4i) = -16i$이므로 $\operatorname{Res}[\,\cdot\,;2i] = 1/(-16i) = i/16$; 대칭적으로 $\operatorname{Res}[\,\cdot\,;-2i]=-i/16$.

관련 개념

  1. 원전 소개 — Ponnusamy §9.2 — classification of isolated singularities (removable, pole of order $k$, essential) via the principal part of the Laurent expansion; 정의는 원문의 (i)(ii)(iii) 분류 및 표 형태로 [synthesis] 정리. ↩

  2. 원전 소개 — Ponnusamy §9.2, Theorem 9.10 (Riemann's Theorem) — "Suppose that $f(z)$ has an isolated singularity at $z=z_0$ and is bounded in some deleted neighborhood of $z_0$. Then $f(z)$ can be defined at $z_0$ in such a way as to be analytic at $z_0$." ↩

  3. 원전 소개 — Ponnusamy §9.2, Theorem 9.12 및 정의 — "If $f(z)$ has an isolated singularity at $z=z_0$ and $f(z)\to\infty$ as $z\to z_0$, then $f(z)$ has a pole at $z=z_0$"; pole of order $k$: $\lim_{z\to z_0}(z-z_0)^kf(z)=A\ne0,\infty$. ↩

  4. 원전 소개 — Ponnusamy §9.2, Theorem 9.15 (Casorati–Weierstrass) 및 Theorem 9.17 (Picard's Great Theorem, 인용만). ↩

  5. 원전 소개 — Ponnusamy §9.3, Theorem 9.25 (Residue at a pole of order $k$) and Theorem 9.26 (Residue at a simple pole) — $\operatorname{Res} = p(z_0)/q'(z_0)$ for simple pole of $p/q$. ↩