ℂ복소해석학
V. 코시 이론 · 11/16

리우빌 정리와 귀결들

리우빌, 대수학의 기본정리, 모레라

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

$\sin x$는 $\mathbb{R}$ 전체에서 매끄럽고(미분가능) 유계다($|\sin x|\le1$). 실해석학에서는 이런 함수가 흔하다. 그런데 $\sin z$를 복소평면 전체로 확장하면 $\sin(iy) = i\sinh y$이므로 허축을 따라 무한대로 발산한다 — 유계인 채로 전평면에서 해석적인 비상수 함수는 복소수 세계에 아예 존재하지 않는다. 이것이 Liouville 정리다. 코시 적분공식의 Cauchy 추정에서 한 줄 만에 따라 나오는 이 정리는, 복소해석이 실해석보다 훨씬 "경직된(rigid)" 세계임을 보여주는 첫 번째 결정적 증거다.

더 놀라운 것은 이 순수 해석학적 사실 하나가 대수학의 기본정리(차수 $n\ge1$인 복소다항식은 반드시 근을 가진다)를 단 두 줄로 증명한다는 점이다 — 대수적 명제가 해석적 방법으로 증명되는, 수학에서 가장 유명한 "분야 횡단" 사례 중 하나다. Morera 정리는 이 페이지에서 방향을 뒤집는다: Cauchy 정리가 "해석적이면 적분이 0"이라면, Morera는 "적분이 늘 0이면 해석적"이라는 순수한 역을 준다.

직관 (기하)

Liouville 정리를 기하적으로 이해하는 가장 좋은 방법은 성장(growth)의 관점이다. 해석함수 $f$가 유계라는 것은, 원점에서 아무리 멀리 나가도 $f$의 값이 반지름 $M$인 원판 안에 갇혀 있다는 뜻이다. Cauchy 추정 $|f'(z_0)|\le M/r$은 "반지름 $r$ 원 위에서 함수값이 $M$으로 제한되면, 중심에서의 변화율은 $M/r$로 제한된다"는 것을 말한다 — 마치 고무막을 아주 넓게 펼쳐서 잡아당길수록 표면의 국소적 기울기가 점점 완만해지는 것과 같다. $f$가 전평면에서 해석적이면 $r$을 얼마든지 크게 잡을 수 있으므로, 이 완만함의 상한 $M/r$이 $0$으로 짓눌린다. 즉 함수는 어디서도 변할 수 없다. 실함수 세계에서 이런 논증이 통하지 않는 이유는, 실함수의 미분가능성은 오직 한 방향(실축)의 극한만 요구하지만 복소 미분가능성은 모든 방향에서 동시에 성립해야 하는 훨씬 강한 조건이기 때문이다 — 이 방향 독립성이 Cauchy 적분공식을 가능케 하고, 그 적분공식이 다시 이 성장 억제를 가능케 한다.

Liouville의 강화판(Theorem 8.35)은 이 그림을 한 단계 확장한다: 함수가 유계일 필요 없이, "$|z|^{k}$보다 느리게 자라기만" 해도 $f$는 차수 $\le k$인 다항식으로 완전히 결정된다. 기하적으로는 "허용된 성장 속도가 함수의 복잡도 상한을 정한다"는 그림이다 — 다항식의 차수가 곧 무한대에서의 "성장 속도표"라는 사실(로랑 급수, riemann sphere and infinity에서 $\infty$에서의 극의 위수로 다시 등장)의 예고편이다.

정의

주요 정리

정리 (Liouville).1 유계 전해석함수는 상수다.

증명 보기

증명. $f$가 전해석이고 $|f(z)|\le M$ for all $z$라 하자. 임의의 점 $z_0$과 임의의 $r>0$에 대해, $f$가 전평면에서 해석적이므로 반지름 $r$인 원 $|z-z_0|=r$을 항상 사용할 수 있고 Cauchy 추정(코시 적분공식)으로 $$|f'(z_0)| \le \frac{M}{r}.$$ $f$가 전해석이라는 것이 핵심이다 — $r$을 얼마든지 크게 늘려도 원이 여전히 $f$의 해석 영역 안에 있다. $r\to\infty$이면 우변이 $0$으로 수렴하므로 $f'(z_0)=0$. $z_0$가 임의였으므로 $f'\equiv0$ on $\mathbb{C}$, 따라서 $f$는 상수다. ∎

정리 (대수학의 기본정리, FTA).2 차수 $n\ge1$인 복소다항식 $p(z) = a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n$ ($a_n\ne0$)은 $\mathbb{C}$에서 적어도 하나의 근을 가진다.

증명 보기

증명. $p$가 근이 없다고 가정하면 $1/p(z)$가 $\mathbb{C}$ 전체에서 해석적(분모가 0이 되는 점이 없으므로), 즉 전해석. 한편 $|z|\to\infty$일 때 최고차항이 지배하여 $|p(z)|\to\infty$이므로 $1/p(z)\to0$ — 특히 어떤 $R$ 밖에서 $|1/p(z)|<1$. 컴팩트 집합 $|z|\le R$ 위에서는 $1/p$가 연속이므로 유계. 두 조건을 합치면 $1/p$는 전평면에서 유계인 전해석함수 — Liouville 정리로 $1/p$는 상수, 따라서 $p$도 상수. 이는 $n\ge1$이라는 가정과 모순. ∎ — 근의 존재를 확보하면, $p(z)/(z-z_1)$에 귀납적으로 다시 적용해 $n$개(중복도 포함)의 근을 모두 얻는다.

정리 (Liouville의 일반화 — 값에 관한 버전).3 상수가 아닌 전해석함수 $f$는 모든 복소수에 임의로 가까워진다. 즉 임의의 $a\in\mathbb{C}$, $\varepsilon>0$에 대해 어떤 $z$가 존재해 $|f(z)-a|<\varepsilon$.

증명 보기

증명. 만약 어떤 $a$에 대해 $|f(z)-a|\ge\varepsilon>0$이 모든 $z$에서 성립한다고 가정하면, $g(z) = 1/(f(z)-a)$가 전해석이고 $|g(z)|\le1/\varepsilon$로 유계. Liouville로 $g$는 상수, 따라서 $f = 1/g + a$도 상수 — 모순. ∎ 이것이 Picard의 대정리(예외값 최대 하나를 제외한 모든 값을 무한히 취한다)의 약화판이며, 여기서는 "가까이 간다"만 보장하고 "실제로 그 값을 취한다"는 보장하지 않는다는 점에 유의(예제 1 대조).

정리 (Liouville의 성장 강화판).4 $f$가 전해석이고 어떤 $r_0,\ \alpha\ge0$에 대해 $|f(z)|\le M\,r^\alpha$ ($|z|=r\ge r_0$)이면, $f$는 차수 $\le\alpha$인 다항식이다.

증명 보기

증명 스케치. $f(z)=\sum a_nz^n$의 계수에 Cauchy 추정 적용: $|a_n| \le M(r,f)/r^n \le M r^{\alpha-n}$. $n>\alpha$이면 $r\to\infty$로 $|a_n|\to0$, 즉 $a_n=0$. 따라서 급수는 $n\le\alpha$인 항만 남는다. ∎ $\alpha=0$이면 정확히 원래 Liouville 정리가 된다 — "유계"는 "증가율 $0$"의 특수 경우일 뿐이다. 흥미로운 점은 유계성 자체가 필요 없고, "충분히 느린 증가"면 족하다는 것 — 예를 들어 $0<\alpha<1$이라도 $f$는 상수여야 한다.

정리 (Morera, Cauchy 정리의 역).5 $f$가 영역 $D$에서 연속이고, $D$ 안의 모든 닫힌 윤곽(또는 모든 삼각형)에 대해 $\oint_C f\,dz = 0$이면 $f$는 $D$에서 해석적이다.

증명 보기

증명 스케치. $\oint_C f=0$이 모든 닫힌 곡선에서 성립하므로 경로에 무관한 적분 $F(z) = \int_{z_0}^z f(\zeta)\,d\zeta$가 잘 정의되고, 차분몫 극한 계산으로 $F'=f$ — 즉 $F$는 해석적. 코시 적분공식의 "해석적이면 $C^\infty$" 정리에 의해 $F$의 도함수 $f=F'$ 자체도 해석적이다. ∎ — Cauchy 정리와 정확히 반대 방향의 동치를 완성하는 대구(對句): "해석적 $\Rightarrow$ 적분 0"(Cauchy)과 "적분 항상 0 $\Rightarrow$ 해석적"(Morera).

예제

예제 1 (Picard와 대조 — 값에 다가가지만 취하지 않음). $f(z)=e^z$는 전해석이고 상수가 아니므로 일반화된 Liouville에 의해 모든 값에 임의로 가까워진다. 그런데 $e^z$는 결코 $0$이 되지 않는다 — "가까이 감"과 "취함"은 다르다. $f(-n)=e^{-n}\to0$이지만 정확히 $0$인 점은 없다. (Picard 대정리는 이 예외가 최대 하나임을, 그리고 예외가 아닌 모든 값은 사실 무한히 많이 취해짐을 말해준다 — orientation 수준.)

예제 2 (Liouville로 비유계성 확인). $\sin z, \cos z, \sinh z, \cosh z$는 모두 상수가 아닌 전해석함수이므로 Liouville에 의해 반드시 비유계다. 직접 계산으로도 $|\sinh y|\to\infty$ ($y\to\infty$)를 확인할 수 있지만, Liouville은 계산 없이 "비상수 전해석이면 자동으로 비유계"라는 즉답을 준다.

예제 3 (FTA 적용). $p(z)=z^4+1$의 네 근은 $e^{i\pi/4}, e^{i3\pi/4}, e^{i5\pi/4}, e^{i7\pi/4}$ (단위원 위 4등분점을 $\pi/4$만큼 회전). FTA가 이 근들이 반드시 존재함을 먼저 보장하고, 실제 계산이 정확한 값을 준다.

예제 4 (Liouville 활용 — 실부 유계). 전해석 $f$가 $\operatorname{Re} f(z) \le 7$ for all $z$이면 $f$는 상수임을 보이자. $g = e^f$는 전해석이고 $|g(z)| = e^{\operatorname{Re} f(z)}\le e^7$로 유계이므로 Liouville에 의해 $g$는 상수 — $g' = f'e^f = 0$이고 $e^f$는 결코 $0$이 아니므로 $f'\equiv0$, $f$는 상수. 이 트릭(지수를 씌워 "한쪽만 유계"인 조건을 "모듈러스가 유계"인 조건으로 바꾸는 것)은 매우 표준적이다.

예제 5 (Liouville 강화판 직접 적용). $f$가 전해석이고 $|f(z)|\le a+b|z|$ (선형 성장)이면 $f(z) = f(0) + cz$ 꼴의 일차식임을 강화판($\alpha=1$)이 즉시 준다. 증명 스케치: $n\ge2$인 계수 $a_n$에 대해 $|a_n|\le M(r)/r^n \le (a+br)/r^n\to0$ as $r\to\infty$ — 이차 이상의 항이 전부 소멸.

예제 6 (Morera로 극한함수의 해석성). $f_n(z) = \sum_{k=0}^n z^k/k!$는 다항식이라 해석적이고, $f_n\to e^z$ 컴팩트 균등수렴(sequences series uniform convergence). 임의의 닫힌 윤곽 $C$에서 $\oint_C f_n\,dz = 0$(다항식, 원시함수 존재)이고 균등수렴은 항별 적분의 극한 교환을 허용하므로 $\oint_C e^z\,dz = \lim_n \oint_C f_n\,dz = 0$. $e^z$는 연속이고 모든 닫힌 윤곽에서 적분이 $0$이므로 Morera 정리로 $e^z$가 해석적 — 급수를 직접 미분하지 않고도 해석성을 얻는 대안 경로.

예제 7 (합성으로 도메인 확장 트릭). $f: \mathbb{D}\to\mathbb{C}$(단위원판에서 정의된 해석함수)에 대한 정리가 아니라, "$\mathbb{C}\to\mathbb{D}$의 전단사 해석함수가 없다"는 사실(Corollary 8.29)이 Liouville의 즉각적 따름정리다. $f:\mathbb{C}\to\mathbb{D}$가 해석적이면 $|f|<1$로 유계이므로 상수 — 따라서 전단사가 될 수 없다. 전평면과 단위원판은 "위상적으로는" 같지만 해석적으로는 결코 같지 않다는, 후에 conformal mapping riemann에서 리만 사상정리와 대비되는 핵심 사실이다(리만 사상정리는 진부분 단순연결 영역에만 적용됨을 상기시킨다).

흔한 오해와 함정

큰 그림 / 연결

Liouville 정리는 코시 적분공식의 Cauchy 추정이 낳는 첫 번째 극적인 귀결이며, 최대절댓값 원리과 함께 "해석함수는 국소적 자유도가 없다"는 복소해석의 경직성 테마를 완성하는 두 축이다. FTA의 증명은 순수 대수적 명제가 해석학으로 증명되는 대표 사례로, $\mathbb{C}$가 대수적으로 닫혀 있다는 사실(대수 위키의 "체의 대수적 폐포" 개념)을 해석적으로 재확인한다. 성장 강화판의 아이디어("자람의 속도가 함수의 복잡도를 결정한다")는 entire and meromorphic functions에서 유리형함수의 극의 차수, riemann sphere and infinity에서 $\infty$에서의 특이점 분류로 계승된다. Morera 정리는 sequences series uniform convergence에서 균등수렴하는 해석함수열의 극한이 해석적임을 보이는 표준 증명 경로이자, 멱급수와 테일러 정리의 멱급수가 그 수렴원판에서 해석적임을 보이는 데에도 같은 논리 구조가 재사용된다. 조화함수 쪽에서는 harmonic functions에 Liouville의 조화함수 버전(유계 조화함수는 상수)이 대응한다.

연습문제

  1. 전해석 $f$가 모든 $z$에서 $|f(z)|\ge1$이면 $f$가 상수임을 보여라.
  2. $p(z) = z^3 - 1$의 모든 근을 구하고 FTA와 대조하라.
  3. 전해석 $f$가 $\operatorname{Im} f$ 유계이면 상수임을 보여라.
  4. $f$가 전해석이고 $|f(z)|\le 3|z|$ for all $z$이면 $f(z)=cz$ 꼴이고 $|c|\le3$임을 강화판으로 보여라.
  5. $f$가 전해석이고 실수부 $\operatorname{Re} f(z) \ge -5$ for all $z$이면 $f$가 상수임을 보여라.
  6. Morera 정리를 이용해, $D$에서 컴팩트 균등수렴하는 해석함수열 $\{f_n\}$의 극한 $f$가 해석적임을 증명하는 논증의 개요를 서술하라.
  7. 상수가 아닌 전해석함수 $f$에 대해 $f(z)=100$인 점이 정확히 존재하지 않을 수 있음을(즉 $100$이 Picard의 예외값일 수 있음을) 예로 보여라.
  8. $f$가 전해석이고 $|f(z)| \le M|z|^{1/2}$ ($|z|\ge1$)이면 $f$가 상수임을 보여라(힌트: 강화판에서 $\alpha<1$).
힌트 / 정답
  1. $1/f$가 전해석이고 $|1/f|\le1$로 유계 ⟹ Liouville로 $1/f$ 상수 ⟹ $f$ 상수.
  2. $z = 1,\ e^{2\pi i/3},\ e^{4\pi i/3}$ (1의 세제곱근) — 정확히 3개, FTA가 보장한 최대 개수와 일치.
  3. $g = e^{if}$라 하면 $|g| = e^{-\operatorname{Im}f}$. $\operatorname{Im}f$가 위로 유계면 $g$가 아래로부터 지수적으로 유계는 아니지만, $\operatorname{Im}f$가 양쪽 유계이면 $g=e^{if}$와 $h=e^{-if}$ 둘 다 유계 ⟹ 둘 다 상수 ⟹ $f$ 상수. (정확히는 $\operatorname{Im}f$가 유계라는 가정 자체로 $e^{\pm if}$ 중 필요한 한쪽이 유계임을 보이면 충분.)
  4. 강화판($\alpha=1$): $f$는 차수 $\le1$ 다항식 $az+b$. $|f(0)|\le0 \Rightarrow b=0$ ⟹ $f=az$; $|a| = \lim_{z\to\infty}|f(z)/z|\le3$.
  5. $g=e^{-f}$는 전해석이고 $|g|=e^{-\operatorname{Re}f}\le e^{5}$ 유계 ⟹ $g$ 상수 ⟹ $f$ 상수(예제 4와 같은 트릭, 부호만 반대).
  6. 임의의 닫힌 윤곽 $C\subset D$에서 $\oint_C f_n\,dz=0$(각 $f_n$ 해석적, Cauchy 정리)이고 균등수렴이 항별 적분의 극한 교환을 허용하므로 $\oint_C f\,dz = \lim\oint_C f_n\,dz = 0$. $f$가 연속(균등극한이므로)이고 모든 닫힌 윤곽에서 적분이 $0$이므로 Morera 정리로 $f$ 해석적.
  7. $f(z)=e^z$는 $0$을 결코 취하지 않으므로 $0$이 Picard의 예외값. ($100$을 예외값으로 만들려면 $e^z+100$을 생각 — 이 함수는 $100$을 결코 취하지 않는다.)
  8. 강화판에서 $\alpha=1/2<1$이면 조건 "$n>\alpha$"가 모든 $n\ge1$에 대해 성립하므로 $a_n=0$ for all $n\ge1$ — $f$는 상수($n=0$ 항만 남음). 즉 $\alpha<1$이면 이미 일차항조차 살아남지 못한다.

관련 개념

  1. 원전 소개 — Ponnusamy §8.2, Theorem 8.27 — "Liouville's Theorem. A bounded entire function must be a constant." 증명은 Cauchy 부등식(estimate)에서 $r\to\infty$. ↩

  2. 원전 소개 — Ponnusamy §8.2, Theorem 8.39 — "The Fundamental Theorem of Algebra. Every nonconstant polynomial has at least one zero." 증명: $1/P(z)$가 근이 없다는 가정 하에 전해석·유계이므로 Liouville로 모순. ↩

  3. 원전 소개 — Ponnusamy §8.2, Theorem 8.31 — "Generalized version of Liouville's Theorem. A nonconstant entire function comes arbitrarily close to every complex number." 및 Theorem 8.34 (Picard's Theorem, 인용만). ↩

  4. 원전 소개 — Ponnusamy §8.2, Theorem 8.35 — "Suppose that f(z) is an entire function and that $|f(z)| \le M r^\alpha$ ($|z|=r\ge r_0$)... Then f(z) is a polynomial of degree at most $\alpha$." Remark 8.37: $\alpha=0$이면 원래 Liouville 정리로 환원. ↩

  5. 원전 소개 — Ponnusamy §8.2, Theorem 8.14 (Morera's Theorem) [synthesis: 본 페이지의 정리 목록에 편의상 재수록 — 원 출처는 §8.2 Cauchy 적분공식 절] — continuity + vanishing closed-contour integrals ⟹ analyticity. ↩