기저와 차원

개요 — 동기·문제의식

체와 벡터공간에서 벡터공간을 정의했지만, "생성한다"는 개념만으로는 같은 공간을 생성하는 벡터 집합이 무수히 많다 — $K^2$는 $\{E_1,E_2\}$로도, $\{(1,1),(1,-1)\}$로도, 심지어 $\{E_1,E_2,(1,1)\}$(군더더기 포함)로도 생성된다. 이 군더더기를 없애려는 요구가 선형독립이고, "독립이면서 생성도 한다"는 두 요구를 동시에 만족시키는 최소 집합이 기저다. 그런데 기저를 고르는 방법은 여러 가지인데, 그 개수는 늘 똑같다는 사실 — 이것이 이 페이지의 정점인 차원의 불변성이다. 차원이 잘 정의된 불변량이라는 사실이 없다면 "$n$차원 공간"이라는 말 자체가 의미를 갖지 못한다. 이 장의 증명 기법(Steinitz 교환정리)은 이후 합과 직합의 여공간 존재성, 선형사상의 차원정리(rank-nullity), 행렬식의 비특이성 판정까지 — 사실상 이 책 전체의 차원 논증의 엔진이다.

직관

선형독립은 "어느 벡터도 나머지의 선형결합으로 중복 표현되지 않는다"는 뜻이다 — 기하적으로, 평면 위의 두 벡터가 같은 직선 위에 있지 않으면(즉 한쪽이 다른 쪽의 스칼라배가 아니면) 독립이다. 기저는 그 공간을 "빠짐없이, 중복 없이" 펼치는 좌표축 집합이다: 생성성이 "빠짐없음"(모든 점에 도달 가능)을, 독립성이 "중복 없음"(각 점이 유일한 좌표로 표현됨)을 보장한다.

교환정리(Exchange Theorem) 의 직관은 이렇다 — 기저가 $m$개의 벡터로 이루어져 있다면, 그보다 많은 $n>m$개의 벡터는 반드시 서로 의존적이다. 왜? 기저 벡터를 새 벡터로 하나씩 "교체"해 나가다 보면, $m$개를 다 교체한 순간 이미 공간 전체를 생성하는 집합이 완성되고, 남은 $(n-m)$개의 벡터는 이미 생성된 공간 안에 갇혀 자동으로 의존적이 될 수밖에 없다. 즉 "공간의 크기(=기저 크기)를 넘어서는 벡터 묶음은 반드시 군더더기를 포함한다"는 것이 차원이라는 불변량의 본질이다.

정의

정의 (선형종속/독립). $v_1,\dots,v_n\in V$가 $K$ 위에서 선형종속(linearly dependent) 이라 함은, 모두 $0$은 아닌 $a_1,\dots,a_n\in K$가 존재하여 $a_1v_1+\cdots+a_nv_n=O$가 되는 것이다. 그런 $a_i$들이 존재하지 않으면 — 즉 $a_1v_1+\cdots+a_nv_n=O \implies$ 모든 $a_i=0$이면 — 선형독립(linearly independent) 이라 한다.¹

정의 (기저). $v_1,\dots,v_n$이 $V$를 생성하고 동시에 선형독립이면, $\{v_1,\dots,v_n\}$을 $V$의 기저(basis)라 한다.² 표준기저: $K^n$에서 $E_1=(1,0,\dots,0),\dots,E_n=(0,\dots,0,1)$은 선형독립이며 $K^n$을 생성하므로 기저를 이룬다.³

정의 (좌표). 기저 $\{v_1,\dots,v_n\}$이 주어지면 $v\in V$는 $v=x_1v_1+\cdots+x_nv_n$ 꼴로 유일하게 표현된다(독립성에서 유일성이 나온다 — 아래 정리 2.1). 이 $n$-순서쌍 $(x_1,\dots,x_n)$을 $v$의 그 기저에 대한 좌표(coordinates)라 한다.⁴

정의 (극대 독립집합). $\{v_1,\dots,v_r\}$이 선형독립이고, 임의의 $i>r$에 대해 $\{v_1,\dots,v_r,v_i\}$가 종속이면, $\{v_1,\dots,v_r\}$을 (생성집합 $\{v_1,\dots,v_n\}$ 안에서의) 극대 선형독립 부분집합이라 한다.[^2 변형] 더 일반적으로, $V$ 전체에 대해 "어떤 $w\in V$를 추가해도 종속이 되는" 독립집합을 $V$의 극대 독립집합이라 한다.

정의 (차원). $V$가 $n$개의 원소로 이루어진 기저를 가지면, $n$을 $V$의 차원이라 하고 $\dim_K V$ (또는 $\dim V$)로 쓴다. $V=\{O\}$뿐이면 $\dim V=0$ (기저 없음, 관례상 정의).⁸ 유한 개의 원소로 된 기저를 갖는 공간을 유한차원, 그렇지 않은 공간을 무한차원이라 한다. 이 책에서 "차원"을 말할 때는 이후 항상 유한차원을 가정한다.

주요 정리

정리 2.1 (좌표의 유일성). $v_1,\dots,v_n$이 선형독립이고 $\sum x_iv_i=\sum y_iv_i$이면 모든 $i$에 대해 $x_i=y_i$.⁵

정리 3.1 (교환정리, Steinitz Exchange). $\{v_1,\dots,v_m\}$이 $V$의 기저이고 $w_1,\dots,w_n\in V$, $n>m$이면 $w_1,\dots,w_n$은 선형종속이다.⁶

정리 3.2 (차원의 불변성). $V$의 두 기저가 각각 $n$개, $m$개의 원소를 가지면 $m=n$.⁷

따름 (왜 이 정리가 결정적인가). 이 정리가 없다면 "$\dim V=n$"이라는 말은 어떤 기저를 골랐는지에 따라 값이 바뀌는 무의미한 표현이 된다. 정리 3.2는 차원이 기저의 선택과 무관한 $V$ 자체의 불변량임을 보장하며, 이로써 비로소 "$n$차원 벡터공간"이라는 분류가 가능해진다.

정리 3.3 (극대독립 ⟹ 기저). $V$의 극대 선형독립집합 $\{v_1,\dots,v_n\}$은 $V$의 기저다.¹⁰

정리 3.4 ($n$차원에서 $n$개 독립 ⟹ 기저). $\dim V=n$이고 $v_1,\dots,v_n$이 독립이면 이들은 기저다.¹⁰

따름 3.5. $W\subseteq V$가 부분공간이고 $\dim W=\dim V$이면 $W=V$.

따름 3.6 (기저로의 확장). $\dim V=n$이고 $v_1,\dots,v_r$ ($r<n$)이 독립이면, $v_{r+1},\dots,v_n$을 적절히 찾아 $\{v_1,\dots,v_n\}$이 $V$의 기저가 되게 할 수 있다.¹¹

정리 3.7 (부분공간의 차원). $V$가 $n$차원이고 $W\subseteq V$가 $\{O\}$가 아닌 부분공간이면, $W$는 기저를 가지며 $\dim W\le n$.¹²

예제

예제 1 (표준기저의 독립성, $K^n$). $E_1,\dots,E_n\in K^n$에서 $a_1E_1+\cdots+a_nE_n=(a_1,\dots,a_n)=O$이면 즉시 모든 $a_i=0$ — 정의상 자명히 독립.³

예제 2 (함수공간의 독립성, $e^t,e^{2t}$). $V$ = 모든 (미분가능)함수 공간. $ae^t+be^{2t}=0$ (모든 $t$)이라 가정하고 미분하면 $ae^t+2be^{2t}=0$. 두 식을 빼면 $be^{2t}=0\Rightarrow b=0$; 첫 식에서 $a=0$. 따라서 $e^t,e^{2t}$는 선형독립.¹³ $\{e^t,e^{2t}\}$가 생성하는 공간의 기저이며, $3e^t+5e^{2t}$의 좌표는 $(3,5)$.¹⁴

예제 3 (구체 좌표 계산, $\mathbb{R}^2$). $(1,0)$을 기저 $\{(1,1),(-1,2)\}$로 표현: $a(1,1)+b(-1,2)=(1,0)$ 즉 $a-b=1,\ a+2b=0$. 두 식을 풀면 $b=-1/3$, $a=2/3$. 좌표는 $(2/3,-1/3)$.¹⁵

예제 4 ($\mathbb{R}^2$에서 기저 검증). $\{(1,1),(-1,2)\}$가 $\mathbb{R}^2$의 기저임을 확인: 독립성 — $a(1,1)+b(-1,2)=O \Rightarrow a-b=0,\ a+2b=0$, 빼면 $3b=0\Rightarrow b=0\Rightarrow a=0$. 생성성 — 임의의 $(p,q)$에 대해 $x(1,1)+y(-1,2)=(p,q)$를 풀면 $x-y=p,\ x+2y=q$에서 $y=(q-p)/3$, $x=p+y$로 항상 해가 존재. 독립 + 생성 = 기저.¹⁶

예제 5 (구체 행렬·차원, 행렬공간). $2\times2$ 행렬공간 $\operatorname{Mat}_{2\times2}(K)$의 차원은 $4$: 기저 $\left\{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\right\}$. 일반적으로 $m\times n$ 행렬공간은 차원 $mn$ — 이 사실은 행렬과 선형방정식에서 다시 쓰인다.

예제 6 (추상 instance, $K$ 자기 자신). $K$를 $K$ 위의 벡터공간으로 보면, $\{1\}$이 기저다 — 모든 $x\in K$는 $x=x\cdot1$로 유일하게 표현되기 때문이다.⁹ 따라서 $\dim_K K=1$.

예제 7 (기저 확장, 구체적). $\mathbb{R}^3$에서 $v_1=(1,0,0)$ 하나만 주어졌을 때(독립, $r=1<n=3$), $v_2=(0,1,0)$, $v_3=(0,0,1)$을 추가하면 $\{v_1,v_2,v_3\}$가 표준기저로 확장된다 — 따름 3.6의 가장 단순한 예.

예제 8 (선형종속 판정, 함수). $f(t)=t$, $g(t)=t^2$가 독립인지: $at+bt^2=0$이 모든 $t$에서 성립하려면 (예: $t=1,2$ 대입) $a+b=0$, $2a+4b=0$ — 풀면 $a=b=0$. 독립.

흔한 오해와 함정

• "기저는 유일하다" — 틀림. 같은 공간이 무수히 많은 기저를 가질 수 있다(예제 3, 4 참조). 불변인 것은 기저의 개수(차원)이지 기저 자체가 아니다.
• "생성하는 벡터 개수가 많을수록 좋다" — 틀림. 군더더기(종속 벡터)가 들어가면 좌표 표현의 유일성이 깨진다. 기저는 최소 생성집합이자 극대 독립집합 — 둘이 정확히 같은 지점에서 만난다(정리 3.3–3.4).
• "$n$개의 벡터만 있으면 기저" — 개수가 맞아도 독립성을 확인하지 않으면 안 된다. $\dim V=n$일 때 $n$개의 벡터가 기저가 되는 것은 독립일 때만(정리 3.4) — 혹은 동치로 생성할 때만(쌍대 명제, 연습문제 참조).
• 차원이 음수이거나 정의 안 될 수 있다는 착각 — 유한차원 공간에서는 $\dim\ge0$이 항상 정의된다(정리 3.2가 보장). 함수공간 전체처럼 유한 기저가 없는 경우만 "무한차원"으로 따로 분류되고, 이 책의 차원 정리들은 적용되지 않는다.
• 교환정리의 부등호 방향 혼동 — "기저 $m$개, 후보 $n$개, $n>m$이면 종속"이지 "$n<m$이면 독립"이 아니다. 개수가 적다고 자동으로 독립인 것은 아니다(예: $K^3$에서 $(1,0,0)$과 $(2,0,0)$은 2개뿐이지만 종속).

큰 그림 / 연결

차원 불변성은 이 책의 거의 모든 정량적 논증의 출발점이다. 합과 직합에서 $\dim(U\oplus W)=\dim U+\dim W$는 직합의 기저가 양쪽 기저의 합집합이라는 사실(정리 3.2의 직접 응용)에서 나온다. 선형사상의 차원정리(rank-nullity: $\dim V=\dim\ker f+\dim\operatorname{im}f$)는 기저 확장(따름 3.6)을 핵심 도구로 쓴다. 행렬과 선형방정식에서 동차 연립방정식의 비자명해 존재성(미지수 > 방정식 개수)은 정리 3.1을 $K^m$의 열벡터들에 직접 적용한 결과다. 선형사상과 행렬에서 좌표 벡터(이 페이지의 정의)는 기저를 고정한 뒤 추상적 선형사상을 구체적 행렬로 번역하는 다리 역할을 한다. 더 멀리, 해석학에서 함수공간처럼 "무한 기저"가 필요한 경우 하멜 기저(Hamel basis, 선택공리 필요)나 위상적 기저(Schauder basis, 노름 수렴 이용) 등으로 개념이 분화되는데, 이는 이 책의 범위를 넘어선다.

연습문제

1. $\mathbb{R}^3$에서 $(1,1,1)$과 $(0,1,-2)$가 선형독립임을 보여라.
2. $X=(2,1)$을 기저 $A=(1,-1),\ B=(1,1)$의 선형결합으로 표현하고 좌표를 구하라.
3. $(a,b)$, $(c,d)\in\mathbb{R}^2$에 대해, $ad-bc=0$이면 종속, $ad-bc\ne0$이면 독립임을 보여라.
4. 함수공간에서 $\sin t,\ \cos t$가 선형독립임을 보여라. (힌트: 특정 $t$값 대입 또는 미분.)
5. $V$가 $n$차원이고 $v_1,\dots,v_n$이 $V$를 생성하면, 이들은 자동으로 독립이며 기저임을 보여라. (정리 3.4의 쌍대.)
6. $v,w$가 벡터공간의 원소이고 $v\ne O$이며 $v,w$가 종속이면, $w=av$인 $a\in K$가 존재함을 보여라.
7. $\mathbb{R}^4$에서 $v_1=(1,0,0,0)$, $v_2=(1,1,0,0)$이 주어졌다. 이를 $\mathbb{R}^4$의 기저로 확장하라.
8. $2\times2$ 대칭행렬 전체의 부분공간의 차원과 기저를 구하라.
9. (도전) $V$가 유한차원이고 $W_1\subseteq W_2\subseteq V$가 부분공간이며 $\dim W_1=\dim W_2$이면 $W_1=W_2$임을 따름 3.5를 이용해 보여라.

관련 개념

• 체와 벡터공간 — 이 정의들이 사는 무대
• 합과 직합 — $\dim(U\oplus W)=\dim U+\dim W$
• 선형사상 — 차원정리(rank-nullity)가 기저 확장을 이용
• 선형사상과 행렬 — 좌표는 기저 선택에 의존
• 행렬과 선형방정식 — 열벡터의 독립성으로 연립방정식 해석
• 행렬식 — $n\times n$ 행렬의 비특이성 = 열들의 독립성