π선형대수학
VII. 바깥으로의 다리 · 16/16

볼록집합과 크레인–밀만 정리

분리·지지 초평면, 극점

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

Lang은 책을 특이한 방식으로 마무리한다: 12장 전체를 선형대수의 마지막 응용이 아니라, $\mathbb{R}^n$의 기하학으로 돌린다. 지금까지 쌓아온 선형사상·함수형·초평면 이론이 여기서 전부 "도구"로 재등장하며, 목표는 순수 대수가 아니라 볼록집합(convex set)이라는 기하 대상을 분석하는 것이다. 이 장은 선형대수와 함수해석학·최적화 이론을 잇는 의도적인 다리다.

왜 볼록성이 중요한가? 직관적으로 볼록집합은 "움푹 들어간 곳이 없는" 집합이다 — 안의 두 점을 이으면 그 선분이 항상 안에 남는다. 이 단순한 조건 하나가 강력한 구조를 만든다: 모든 볼록집합은 (콤팩트할 때) 그 극점(extreme point, 더 이상 쪼갤 수 없는 "꼭짓점")들만으로 완전히 재구성된다는 것이 이 장의 정점인 Krein–Milman 정리다. 이 정리 하나가 선형계획법(모든 최적해가 극점에서 일어난다는 사실의 근거), 볼록최적화, 그리고 무한차원 함수해석학(Krein–Milman의 원래 무대)의 초석이다. Lang의 논증은 미적분(콤팩트집합 위 연속함수의 최솟값 존재)과 선형대수(함수형·초평면)를 결합해, 순수하게 기하적으로 보이는 정리를 대수적 도구로 증명해낸다 — 이 책 전체가 지향한 "추상 이론이 구체적 문제를 푼다"는 주제의 마지막 예시다.

직관

볼록집합. 원, 정사각형, 삼각형은 볼록이다. 별 모양이나 초승달 모양은 아니다 — 두 점을 이으면 밖으로 나가는 경우가 있기 때문이다. 직관적으로 볼록집합은 "고무줄로 감싸면 딱 맞는" 모양이다.

초평면과 반공간. $\mathbb{R}^2$에서 직선이, $\mathbb{R}^3$에서 평면이 초평면이다. 초평면은 공간을 두 반쪽(반공간)으로 자르는데, 각 반공간은 그 자체로 볼록이다(직관적으로 명확: 반쪽 평면 안의 두 점을 이어도 여전히 그 반쪽 안에 있다). 여러 개의 반공간을 교차시키면 다각형·다면체가 나온다 — 이것이 §1의 그림이다.

분리·지지 초평면. 볼록집합 $S$ 밖의 점 $P$는 항상 $S$로부터 초평면으로 "떼어놓을" 수 있다(분리 정리) — 마치 $S$와 $P$ 사이에 유리벽을 세울 수 있는 것과 같다. $S$의 경계 위의 점에서는, 그 점에서 $S$ 전체를 한쪽에 두고 접하는 초평면(지지 초평면)이 항상 존재한다 — 원 위의 한 점에서의 접선이 정확히 이 그림이다.

극점. 계란 껍질 위의 모든 점, 또는 다각형의 꼭짓점들이 극점이다 — "그 점을 내부에 포함하는 선분이 $S$ 안에 없는" 점. 원판(디스크) 내부의 점은 극점이 아니다(항상 어떤 선분의 중점으로 쓸 수 있으므로). 다각형은 유한개의 극점(꼭짓점)만 갖지만, 원은 경계 위 무한히 많은 점이 전부 극점이다.

Krein–Milman의 그림. 콤팩트 볼록집합을 그 극점들만으로 "다시 조립"할 수 있다는 것 — 극점들의 볼록결합(가중평균)을 전부 모으면 원래 집합 전체가 나온다. 다각형이면 유한한 꼭짓점의 볼록결합, 원이면 경계 전체의 볼록결합. 증명의 아이디어는 아름답게 순환적이다: 만약 어떤 점이 극점들의 볼록결합 바깥에 있다면, 분리 초평면 → 지지 초평면 → (그 지지 초평면 위의) 극점이라는 사슬을 따라가 모순을 얻는다.

정의

볼록집합(convex set). $S\subseteq\mathbb{R}^n$이 볼록이란, 임의의 $P,Q\in S$에 대해 선분 $\{tP+(1-t)Q:0\le t\le1\}$ 전체가 $S$에 속하는 것.1

볼록결합·볼록폐포(convex combination / convex closure). 점 $P_1,\dots,P_m$의 볼록결합은 $\sum x_iP_i$ ($x_i\ge0$, $\sum x_i=1$) 꼴의 선형결합. 집합 $E$의 모든 볼록결합을 모은 것이 $E$의 볼록폐포 $E_c$ — $E$를 포함하는 가장 작은 볼록집합이다.2

대상 정의 비고
열린 반공간 $\{X: A\cdot X>c\}$ 볼록; 함수형 $X\mapsto A\cdot X$의 초수준집합
닫힌 반공간 $\{X: A\cdot X\ge c\}$ 볼록
초평면 $\{X: A\cdot X=c\}$ 두 반공간의 경계; 그 자체로 볼록(아핀부분공간)
경계점 임의의 $\epsilon>0$에 대해 반지름 $\epsilon$ 공이 $S$ 안과 밖의 점을 모두 포함하는 점 지지 초평면이 존재하는 곳
지지 초평면 $P\in H$이고 $S$가 $H$가 정하는 닫힌 반공간 중 하나에 속함 경계점마다 존재(정리 2.2)
극점 $P=tQ_1+(1-t)Q_2$ ($Q_1\ne Q_2$, $0<t<1$) 꼴로 못 쓰는 $P\in S$ 선분의 진짜 내부점이 될 수 없는 점

볼록성은 교집합과 선형사상(순상·역상 모두)에 대해 닫혀 있다: $S,S'$ 볼록이면 $S\cap S'$도 볼록; $F$가 선형이면 $F(S)$, $F^{-1}(S')$도 볼록.3 유한개의 반공간의 교집합은 항상 볼록이다 — 이것이 볼록다면체(정의역이 선형부등식으로 주어지는 도형, 선형계획법의 기본 대상)의 정의다.4

주요 정리

정리 2.1 (분리 초평면). $S$가 닫힌 볼록집합이고 $P\notin S$이면, $P$를 지나고 $S$ 전체를 한쪽 열린 반공간에 담는 초평면 $H$가 존재한다.5

증명 보기

증명. 미적분의 사실 하나를 쓴다: 닫힌집합 $S$ 위에서 연속함수 $f(X)=\|X-P\|^2$는 최솟값을 가진다(콤팩트성이 필요하지는 않다 — $\epsilon$-$\delta$ 논증으로 국소적으로 충분). 최솟값을 주는 점을 $Q\in S$, $N=Q-P$라 하자. $P\notin S$이므로 $Q\ne P$, 즉 $N\ne O$. $Q$가 최소점이므로 임의의 $Q'\in S$, $0<t\le1$에 대해 $$\|Q+t(Q'-Q)-P\|^2\ge\|Q-P\|^2=\|N\|^2.$$ 좌변을 전개하고 정리하면 $2t\langle N,Q'-Q\rangle+t^2\|Q'-Q\|^2\ge0$. 양변을 $t$로 나누고 $t\to0$ 극한을 취하면 $\langle N,Q'-Q\rangle\ge0$, 즉 $N\cdot Q'\ge N\cdot Q$. $N\cdot Q=N\cdot P+\|N\|^2>N\cdot P$($\|N\|^2>0$)이므로 모든 $Q'\in S$에 대해 $N\cdot Q'>N\cdot P$ — $S$가 초평면 $X\cdot N=P\cdot N$이 정하는 열린 반공간에 담긴다. ∎ 이 증명의 핵심은 "가장 가까운 점으로의 방향"이 분리법선이 된다는 것 — 순전히 기하적인 최소화 논증이 선형대수적 대상(초평면)을 만들어낸다.

정리 2.2 (지지 초평면). 볼록집합 $S$의 모든 경계점 $P$에서, $S$를 지지하는 초평면이 존재한다.6

증명 보기

증명 스케치. $S$의 폐포 $\bar S$(역시 볼록)에 대해 증명하면 충분하다. $P$에 수렴하는 점열 $P_k\notin\bar S$($\|P_k-P\|<1/k$)를 잡고, 각 $P_k$에 정리 2.1을 적용해 법선 $N_k=Q_k-P_k$를 얻는다. 단위구는 콤팩트하므로 정규화된 $N_k'=N_k/\|N_k\|$가 어떤 극한점 $N'$을 갖고, 연속성으로 극한을 취하면 모든 $X\in\bar S$에 대해 $X\cdot N'\ge P\cdot N'$을 얻는다. ∎ 여기서 콤팩트성(단위구)이 결정적으로 쓰인다 — 극한을 취할 수 있게 해주는 것이 유일한 장치다.

따름 (경계점 판정). 초평면 $H=\{X:X\cdot N=a\}$가 볼록집합 $S$에 대해 $X\cdot N\ge a$($\forall X\in S$)를 만족하고 $P\in S\cap H$이면, $P$는 $S$의 경계점이다 — 만약 $P$가 내부점이라면 $\epsilon$이 충분히 작을 때 $P-\epsilon N\in S$인데 이는 $(P-\epsilon N)\cdot N=a-\epsilon\|N\|^2<a$가 되어 가정과 모순.7 이 관찰은 4.1의 증명에서 "지지 초평면을 만들어내는" 데 직접 쓰인다.

정리 3.1. $S$가 닫힌 유계(콤팩트) 볼록집합이면, $S$의 모든 지지 초평면은 극점을 포함한다.8

증명 보기

증명 스케치. 지지 초평면 $H$가 경계점 $P_0$에서 $X\cdot N\ge P_0\cdot N$을 만족한다고 하자. $T=S\cap H$는 콤팩트 볼록집합. 주장: $T$의 극점은 $S$의 극점이기도 하다 — $P\in T$가 $S$ 안에서 $Q_1,Q_2\in S$의 진짜 볼록결합으로 쓰인다면, $N$과 내적을 취해 $P\cdot N=P_0\cdot N$과 $Q_1\cdot N,Q_2\cdot N\ge P_0\cdot N$을 결합하면 $Q_1,Q_2$ 둘 다 $H$ 위에 있어야만 함(부등식이 등식으로 강제됨) — 즉 $Q_1,Q_2\in T$가 되어 $P$가 $T$ 안에서의 극점이라는 가정과 모순. 이제 $T$ 안에서 극점을 실제로 찾는다: 좌표를 사전식(lexicographic)으로 최소화한다 — 먼저 첫째 좌표가 최소인 점들의 부분집합 $T_1$(콤팩트), 그중 둘째 좌표가 최소인 $T_2$, ... 이렇게 $n$단계 진행하면 유일한 점 $P$에 도달하고, 이 $P$는 좌표별 최소성 때문에 어떤 진짜 볼록결합으로도 쓰일 수 없다(첫 좌표가 다르면 평균이 더 커지고, 같으면 둘째 좌표로 넘어가는 귀납). ∎ 사전식 최소화라는 조합적 트릭이 존재 증명을 구성적으로 만든다는 점이 이 증명의 묘미다.

정리 4.1 (Krein–Milman). 닫히고 유계인(콤팩트) 볼록집합 $S$는 그 극점들의 볼록폐포와 같다.9

증명 보기

증명. $S'$을 $S$의 모든 극점을 포함하는 닫힌 볼록집합들의 교집합이라 하면 $S'\subseteq S$는 명백. 역포함을 보이자: $P\in S$이고 $P\notin S'$이라 가정한다. 정리 2.1을 $S'$에 적용해 $P$를 지나는 초평면 $H:X\cdot N=c$을 얻는데, $S'$ 전체가 $X\cdot N>c$ 쪽에 있다. 함수형 $L(X)=X\cdot N$을 생각하면 $L(P)=c$이고 $c\notin L(S')$. $S$가 콤팩트이므로 $L(S)$는 닫힌구간 $[a,b]\ni c$(연속상은 콤팩트, 볼록상은 구간). $a\le c\le b$. 초평면 $H_a:X\cdot N=a$를 잡으면, 위 따름에 의해 $H_a$는 $S$의 지지 초평면이고, 정리 3.1에 의해 $H_a$는 $S$의 극점을 포함한다. 그런데 이 극점은 정의상 $S'$ 안에 있어야 하므로 $X\cdot N>c\ge a$를 만족해야 하는데, $H_a$ 위의 점은 $X\cdot N=a\le c$이므로 모순. 따라서 $P\notin S'$인 경우는 없다 — $S\subseteq S'$. ∎

증명 구조 요약. 이 증명은 이 페이지의 세 정리를 정확히 순서대로 사슬처럼 엮는다: 분리 초평면(2.1) → 지지 초평면(2.2, 경계점 판정 따름) → 지지 초평면 위의 극점(3.1) → 모순. "만약 극점들만으로 안 된다면, 그 반례가 오히려 새로운 극점을 만들어낸다"는 자기모순 논증이다.

두 가설이 모두 필요한 이유. 위 반평면($\{(x,y):y\ge0\}$, 닫혀 있지만 유계 아님)은 극점이 하나도 없다 — 정리가 유계성을 요구하는 이유. 계란 모양 도형의 내부(열려 있지만 닫혀 있지 않음)도 극점이 없다 — 닫힘성을 요구하는 이유.10 두 예외 모두 "극점 자체가 존재하지 않는" 경우이므로, Krein–Milman이 실패하는 것이 아니라 애초에 명제가 공허해지는 방식으로 실패한다는 점이 흥미롭다.

예제

예제 1 (삼각형의 극점). $S=\triangle(P_1,P_2,P_3)\subset\mathbb{R}^2$(꼭짓점의 볼록폐포)에서 극점은 정확히 세 꼭짓점이다. 변 위의 다른 점(꼭짓점 아닌)은 두 꼭짓점의 진짜 볼록결합이므로 극점이 아니다. Krein–Milman은 $S=\{x_1P_1+x_2P_2+x_3P_3:x_i\ge0,\sum x_i=1\}$이라 말하는데, 이는 애초의 정의 그 자체 — 유한집합에서는 정리가 "당연한" 사실을 재확인한다.

예제 2 (원판의 극점). $S=\{(x,y):x^2+y^2\le1\}$의 극점은 경계원 $x^2+y^2=1$ 전체다. 원판 내부의 임의의 점은 그 점을 지나는 어떤 현의 중점이므로 극점이 아니다. Krein–Milman: $S$는 경계원 위 점들의 볼록결합 전체와 같다 — 극점이 무한집합인 첫 사례.

예제 3 (사각형과 지지 초평면). $S=[0,1]\times[0,1]$을 생각하자. 점 $P=(1,\tfrac12)$(오른쪽 변의 중점)는 경계점. 지지 초평면은 $x=1$($N=(1,0)$) — $S$ 전체가 $x\le1$을 만족하고 $P$가 이 초평면 위에 있다. 정리 3.1에 따라 이 지지 초평면 $\{x=1\}\cap S=\{1\}\times[0,1]$은 극점을 포함해야 하는데, 실제로 $(1,0)$과 $(1,1)$이 바로 그 극점들이다(정확히 두 개, 사전식 최소화 논증이 찾아내는 점과 일치).

예제 4 (분리 초평면 명시적 계산). $S=\{(x,y):x^2+y^2\le1\}$, $P=(2,0)\notin S$. 정리 2.1의 증명대로 $S$에서 $P$에 가장 가까운 점은 $Q=(1,0)$(직관적으로 명백; 실제로 $f(x,y)=(x-2)^2+y^2$을 원판 위에서 최소화하면 경계 위, $x=1,y=0$). $N=Q-P=(-1,0)$. 분리 초평면은 $X\cdot N=Q\cdot N$, 즉 $-x=-1\Leftrightarrow x=1$ — 이는 원의 $x=1$에서의 접선, 예상대로다.

예제 5 (닫힘성이 없으면 실패). $S=\{(x,y):x^2+y^2<1\}$(열린 원판)은 극점이 하나도 없다 — 경계 위의 점이 아예 $S$에 속하지 않으므로 "쪼갤 수 없는 점"이라는 개념 자체가 성립할 자리가 없다. $S$가 닫혀있지 않다는 것이 정확히 정리 4.1의 가설 위반이다.

예제 6 (유계성이 없으면 실패, 응용: 선형계획법의 그림자). $S=\{(x,y):y\ge x^2\}$(포물선 위쪽, 닫혀 있지만 유계 아님)를 생각하면, 경계 위의 모든 점 $(t,t^2)$이 극점이지만(포물선은 어디서도 직선 구간을 포함하지 않으므로), 극점들의 볼록폐포는 $S$ 전체를 다시 만들지 못한다 — 예컨대 $(0,1)\in S$이지만 유한개의 경계점들의 볼록결합만으로는 도달할 수 없는 방향이 남는다(무한히 먼 "점근 방향"이 빠져 있다). 선형계획법에서 실현가능영역이 무계(unbounded)일 때 최적해가 "극점 + 무계 방향의 조합"으로 표현되어야 하는 이유가 여기 있다.

예제 7 (선형사상과 극점의 상호작용). $L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$가 가역 선형사상이고 $P$가 $S$의 극점이면 $L(P)$는 $L(S)$의 극점이다 — $L$이 전단사이므로 $L(P)=tL(Q_1)+(1-t)L(Q_2)$이면 선형성으로 $P=tQ_1+(1-t)Q_2$가 강제되고, 이는 $P$가 극점이라는 가정에 모순. $L$이 가역이 아니면(예: $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$로 사영) 실패할 수 있다 — 정사각형을 선분으로 찌그러뜨리면 네 꼭짓점이 두 끝점으로 뭉개져, 원래 네 극점이 상에서는 두 극점의 "중복 이미지"가 된다(연습문제 참고).

흔한 오해와 함정

큰 그림 / 연결

이 장은 선형사상에서 다진 선형사상 이론과 쌍대공간과 쌍선형형식의 함수형 개념을 기하학적 무대에 다시 올린다 — 초평면은 정확히 함수형의 수준집합(level set)이고, 분리·지지 정리는 함수형이 기하를 "감지"하는 방식이다. 스칼라곱과 직교성의 법선·직교사영 개념이 분리 초평면 증명(가장 가까운 점, 법선 $N=Q-P$)에서 그대로 재사용된다. Krein–Milman 정리는 이 책의 결말이자 더 넓은 수학으로의 관문이다: 선형계획법에서는 선형목적함수의 최적값이 반드시 실현가능다면체의 어떤 극점(꼭짓점)에서 달성된다는 사실의 기하적 근거이고(심플렉스법이 정확히 극점들 사이를 이동하며 탐색하는 알고리즘), 볼록최적화 전반에서 극값·볼록성 판정의 근본 원리다. 무한차원으로 일반화하면(바나흐 공간의 약한-* 위상에서의 콤팩트 볼록집합) 원래의 Krein–Milman 정리(1940)가 되며, 이는 함수해석학·확률론(확률측도 공간이 콤팩트 볼록이고 극점이 디랙측도)의 표준 도구다. 더 가깝게는, 이 장의 논증 스타일(순수 기하 문제를 선형대수·미적분 도구로 공략) 자체가 책 전체 — 벡터공간의 추상 이론이 구체적 기하·해석 문제를 어떻게 푸는가 — 의 마지막 예시로 기능한다.

연습문제

  1. $S=\{(x,y,z):x+y+z\le1,\ x,y,z\ge0\}$(단체, simplex)의 극점을 모두 나열하라.
  2. $P=(0,3)$, $S=\{(x,y):x^2+y^2\le4\}$일 때, 정리 2.1의 증명을 따라 분리 초평면을 명시적으로 구하라.
  3. 정사각형 $[-1,1]\times[-1,1]$을 $45°$ 회전시키는 선형사상 아래에서 극점(네 꼭짓점)이 어디로 가는지 확인하고, 예제 7의 주장을 검증하라.
  4. $S=\{(x,y):|x|+|y|\le1\}$(마름모)의 극점을 구하고, 정리 4.1이 말하는 볼록폐포 표현을 써 보라.
  5. 원기둥 $S=\{(x,y,z):x^2+y^2\le1,\ 0\le z\le1\}$의 극점 집합을 서술하라. (힌트: $z=0$ 또는 $z=1$인 경계원 위의 점만 극점이다 — 왜 옆면의 다른 점들은 극점이 아닌지 설명하라.)
  6. 정리 3.1의 사전식 최소화 논증에서, $n=2$인 경우($\mathbb{R}^2$)를 구체적인 그림으로 그려 각 단계($T_1$, $T_2$)가 무엇을 골라내는지 설명하라.
  7. 두 볼록집합 $S_1,S_2$의 교집합의 극점이 반드시 $S_1$ 또는 $S_2$ 각각의 극점이어야 하는지 반례 또는 증명으로 답하라.
  8. $S$가 유계 볼록다면체(유한개의 반공간의 교집합이면서 유계)이면 극점이 유한개임을 (직관적으로) 논하라 — 왜 곡선 경계를 가진 원판과 다른가?
힌트 / 정답
  1. 네 꼭짓점: $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$ — 4-단체의 극점.
  2. $f(x,y)=x^2+(y-3)^2$을 원 $x^2+y^2=4$ 위에서 최소화하면 $Q=(0,2)$(원과 $P$를 잇는 직선 위, $P$ 쪽에 가장 가까운 경계점). $N=Q-P=(0,-1)$. 분리 초평면: $-y=-2\Leftrightarrow y=2$.
  3. $45°$ 회전은 가역 선형사상이므로 꼭짓점 $(\pm1,\pm1)$이 회전된 정사각형의 네 꼭짓점으로 정확히 대응 — 예제 7이 확인됨(가역이므로 극점 개수·구조 보존).
  4. 극점은 $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$ 네 개. $S=\{x_1(1,0)+x_2(0,1)+x_3(-1,0)+x_4(0,-1):x_i\ge0,\sum x_i=1\}$.
  5. 극점은 $\{(x,y,0):x^2+y^2=1\}\cup\{(x,y,1):x^2+y^2=1\}$ — 위아래 두 경계원. 옆면의 중간 높이($0<z<1$) 점은 같은 $(x,y)$ 방향의 $z=0$, $z=1$ 점을 잇는 선분의 내부점이므로 극점이 아니다.
  6. $T_1$은 $x$좌표가 최소인 (콤팩트) 부분집합(보통 왼쪽 경계 전체 또는 한 점), $T_2$는 그중 $y$좌표까지 최소인 유일한 점 — 왼쪽 아래로 "사전식으로 가장 작은" 점을 순차적으로 좁혀가는 과정.
  7. 반례로 답할 수 있다: $S_1=[0,2]\times[0,1]$, $S_2=[1,3]\times[0,1]$이면 교집합은 $[1,2]\times[0,1]$이고 그 극점 $(1,0)$은 $S_1$의 극점이 아니다($S_1$의 변 위 내부점). 즉 교집합의 극점이 각 집합의 극점일 필요는 없다.
  8. 유한개의 반공간의 교집합이면 경계가 유한개의 평평한 "면"(초평면 조각)들로만 이루어지고, 각 극점은 이 면들이 서로 교차하는 유한한 조합 지점(꼭짓점)에서만 발생한다 — 원판처럼 경계가 곡선(무한히 많은 접초평면)이면 극점도 무한히 생길 수 있다.

관련 개념

  1. 원전 소개 — Lang §XII.1 — "$S$ is convex if given points $P,Q$ in $S$, the line segment joining $P$ to $Q$ is also contained in $S$." ↩

  2. 원전 소개 — Lang §XII.1 Thm 1.1–1.2, §XII.4 — convex combinations with $0\le x_i\le1$, $\sum x_i=1$ form "the smallest convex set containing all points"; "$E_c$ the convex closure of $E$." ↩

  3. 원전 소개 — Lang §XII.1 — "(1) intersection $S\cap S'$ is convex; (2) $F(S)$ is convex; (3) $F^{-1}(S')$ is convex" for linear $F$. ↩

  4. 원전 소개 — Lang §XII.1 — "the set of all $X$ such that $A\cdot X>c$... is called an open half space"; "the intersection of a finite number of half spaces is convex." ↩

  5. 원전 소개 — Lang §XII.2 Thm 2.1 — "either $P$ belongs to $S$, or there exists a hyperplane $H$ which contains $P$, and such that $S$ is contained in one of the open half spaces determined by $H$."; 증명은 closest point $Q\in S$와 법선 $N=Q-P$ 사용. ↩

  6. 원전 소개 — Lang §XII.2 Thm 2.2 — "let $P$ be a boundary point of $S$. Then there exists a supporting hyperplane of $S$ at $P$."; 증명은 $P_k\to P$인 외부점의 분리초평면 법선 $N_k'$의 (단위구 컴팩트성에 의한) 극한. ↩

  7. 원전 소개 — Lang §XII.2 (Remark) — "$P-\epsilon N$ would be a point of $S$"; 경계점 판정의 대우 논증. ↩

  8. 원전 소개 — Lang §XII.3 Thm 3.1 — "every supporting hyperplane of $S$ contains an extreme point."; 증명은 $T=S\cap H$의 사전식(lexicographic) 좌표 최소화. ↩

  9. 원전 소개 — Lang §XII.4 Thm 4.1 — "Let $S$ be a closed, bounded, convex set. Then $S$ is the smallest closed convex set containing the extreme points."; 증명은 분리(2.1)→지지(2.2)→극점(3.1)의 연쇄로 모순 유도. ↩

  10. 원전 소개 — Lang §XII.4 — "the closed upper half plane... has no extreme points"; "the interior of the egg has no extreme points." ↩