III. 스칼라곱과 쌍대성 · 8/16

쌍대공간과 쌍선형형식

V ≅ V*, 이차형식, 실베스터 관성법칙

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

선형사상에서 사상 $V\to W$ 전반을 공부했다면, 이 페이지는 그중 가장 단순해 보이지만 가장 널리 쓰이는 특수한 경우 — 사상 $V\to K$, 즉 스칼라값을 돌려주는 사상(함수형, functional) — 을 별도로 조명한다. 왜 별도 취급이 필요한가? 함수형들 자체가 다시 벡터공간(쌍대공간 $V^*$)을 이루고, $\dim V^*=\dim V$이기 때문에 유한차원에서는 $V$와 $V^*$가 "같은 크기"이지만 자연스러운 동형은 아니다 — 동형을 얻으려면 기저를 고르거나(좌표함수), 스칼라곱을 고정해야 한다(그레이디언트가 바로 이 메커니즘이다). 이 미묘한 구분이 미적분의 그레이디언트, 물리의 공변/반변 벡터, 딥러닝의 역전파(cotangent space)에서 반복해서 등장하는 개념적 뼈대다.

두 번째 축은 쌍선형형식(bilinear form)이다. 스칼라곱(스칼라곱과 직교성)은 사실 대칭 쌍선형형식의 특수한 경우였다 — 이 페이지는 그 일반 이론을 완성한다. 쌍선형형식은 다시 이차형식(quadratic form)을 낳고, 이차형식의 "부호 패턴"을 다루는 Sylvester 정리가 이 장의 정점이다. Lang은 §V.6에서 쌍대공간, §V.7에서 쌍선형형식·이차형식, §V.8에서 Sylvester 정리로 매끄럽게 이어간다 — 이는 우연이 아니라, 쌍대공간의 동형($V\cong V^*$)이 정확히 비퇴화 스칼라곱을 필요로 하고, 그 스칼라곱을 실수 위에서 분류하는 것이 Sylvester 정리이기 때문이다.

직관

쌍대공간을 직관적으로. $V=\mathbb{R}^3$을 "위치 벡터의 공간"이라 생각하면, $V^*$는 "측정 도구의 공간"이다 — 좌표 $x_1,x_2,x_3$을 읽어내는 세 가지 자, 또는 어떤 고정된 방향으로의 사영 등. $V$의 원소와 $V^*$의 원소는 종류가 다르다: 하나는 "화살표"이고 다른 하나는 "화살표를 숫자로 바꾸는 기계"다. 기저를 고르면 우연히 둘 다 $n$개의 숫자로 표시되어 헷갈리기 쉽지만, 좌표계를 바꾸면 이 둘은 다른 방식으로 변환한다(하나는 공변, 하나는 반변) — 물리학에서 이 구분이 왜 중요한지의 근원이다.

쌍선형형식을 직관적으로. 쌍선형형식 $g(v,w)$은 "두 벡터를 넣으면 숫자가 나오는, 각 자리에 대해 선형인 기계"다. 대칭이면 $g(v,w)=g(w,v)$, 이는 정확히 스칼라곱의 SP1이었다. $g$에서 대각선 $f(v)=g(v,v)$만 떼어낸 것이 이차형식 — 이는 $g$의 "정보 손실 버전"처럼 보이지만, 극화 항등식(polarization)이 보여주듯 대칭 $g$는 $f$ 하나로부터 완전히 복원된다. 기하적으로 $f(v)=c$는 이차곡면(타원면·쌍곡면 등)이고, $g$의 행렬을 대각화하면(스펙트럼 정리, 스펙트럼 정리) 이 곡면의 주축이 드러난다.

Sylvester 정리를 직관적으로. 실수 대칭행렬을 대각화하면 대각원소의 부호(+, $-$, $0$)가 나오는데, 이 부호 패턴의 개수(양수 몇 개, 음수 몇 개, 영 몇 개)는 대각화 방법과 무관하게 항상 같다는 것이 Sylvester 정리다. 직관적으로: 이차형식이 그리는 도형의 "본질적 모양"(타원인지 쌍곡선인지 퇴화됐는지)은 좌표계를 어떻게 돌리든 바뀌지 않는다 — 좌표축을 재선택해도 양의 방향 개수·음의 방향 개수는 불변량이다.

정의

쌍대공간과 함수형. $V$를 체 $K$ 위의 벡터공간이라 하면, $V^*=\mathcal{L}(V,K)$는 $V$에서 $K$(자기 자신 위의 1차원 공간으로 봄)로 가는 선형사상들의 공간이다. $V^*$의 원소를 함수형(functional)이라 부른다.¹

구성	정의	비고
쌍대기저 $\{\varphi_1,\dots,\varphi_n\}$	$\varphi_i(v_j)=\delta_{ij}$	$\{v_1,\dots,v_n\}$가 $V$의 기저일 때, $\varphi_i$는 정확히 $i$번째 좌표함수
$L_v:V\to K$ ($v\in V$ 고정, 스칼라곱 있을 때)	$L_v(w)=\langle v,w\rangle$	$v\mapsto L_v$는 선형(실수) 또는 반선형(복소, 두 번째 인수 고정 관례에 따라 다름)
$W^\perp$ (스칼라곱 버전)	$\{v\in V:\langle v,w\rangle=0\ \forall w\in W\}$	$V$ 안의 부분공간
$W^0$ (쌍대공간 버전, annihilator)	$\{\varphi\in V^*:\varphi(W)=0\}$	$V^*$ 안의 부분공간

쌍선형사상과 쌍선형형식. $U,V,W$가 $K$ 위 벡터공간일 때 $g:U\times V\to W$가 쌍선형(bilinear) 이란, 한쪽 인수를 고정하면 다른 쪽에 대해 선형인 것이다.² $W=K$인 경우 $g$를 (쌍대)쌍선형형식이라 부른다. $m\times n$ 행렬 $A$가 주어지면 $g_A(X,Y)={}^tXAY$가 표준적인 쌍선형형식이다.³

대칭 쌍선형형식과 이차형식. $g$가 대칭($g(v,w)=g(w,v)$)이면 스칼라곱과 동일한 대상 — "스칼라곱=대칭 쌍선형형식"이다.⁴ 이때 이차형식 $f(v)=g(v,v)$를 정의한다. $V=K^n$이고 $g$가 대칭행렬 $C$로 표현되면 $f(X)={}^tXCX$이고, $C$가 대각이면 $f(X)=\sum c_ix_i^2$의 단순한 형태다.⁵

부호수(signature)와 지표(index). 실수 스칼라곱(꼭 양의 정부호일 필요 없음)에 대해 직교기저 $\{v_1,\dots,v_n\}$를 $\langle v_i,v_i\rangle$의 부호에 따라 재배열하면, 처음 $r$개가 양수, 다음 $s-r$개가 음수, 나머지 $n-s$개가 $0$이 되게 할 수 있다. 영도 지표(index of nullity) $=n-s=\dim V_0$, 양성도 지표(index of positivity) $=r$이라 부른다.⁶

주요 정리

정리 6.1. $V$가 유한차원이면 $\dim V^*=\dim V$.⁷

증명 보기

증명 스케치. $V\cong K^n$을 고정하면(기저 선택), 4장의 결과로 모든 함수형 $\varphi:K^n\to K$은 유일한 $A\in K^n$에 대해 $\varphi(X)=A\cdot X$ 꼴이다. $\varphi\mapsto A$가 선형 전단사이므로 $V^*\cong K^n\cong V$. ∎ 더 구체적으로, 기저 $\{v_1,\dots,v_n\}$에서 유도된 쌍대기저 $\{\varphi_1,\dots,\varphi_n\}$이 $V^*$의 기저를 이룬다는 것이 이 정리의 구성적인 버전이다.⁸

정리 6.2. $V$가 유한차원이고 비퇴화 스칼라곱을 가지면, $v\mapsto L_v$는 $V\xrightarrow{\sim}V^*$의 동형이다.⁹

증명 보기

증명. $v\mapsto L_v$가 선형임은 스칼라곱의 쌍선형성에서 바로 나온다. $L_v=O$이면 모든 $w$에 대해 $\langle v,w\rangle=0$인데, 비퇴화 가정에 의해 $v=O$ — 즉 이 사상은 단사. $\dim V=\dim V^*$(정리 6.1)이므로 단사 사상은 자동으로 전단사(선형사상의 차원 논증). ∎ 이 정리가 말하는 것은: 쌍대공간 자체는 기저 없이도 존재하지만(자연스러운 대상), $V\cong V^*$라는 동형은 스칼라곱이라는 추가 구조에 의존한다는 것 — 미적분의 그레이디언트가 방향미분(함수형)을 벡터로 "표현"하는 메커니즘이 정확히 이것이다.

정리 6.3. $W\subseteq V$가 부분공간이면 $\dim W^0=\dim V-\dim W$, 여기서 $W^0=\{\varphi\in V^*:\varphi(W)=0\}$은 zeroizer(annihilator).¹⁰

증명 보기

증명 스케치. $\{w_1,\dots,w_r\}$을 $W$의 기저로 잡아 $V$의 기저 $\{w_1,\dots,w_r,v_{r+1},\dots,v_n\}$로 확장하고, 쌍대기저 $\{\varphi_1,\dots,\varphi_n\}$을 취한다. $j>r$인 $\varphi_j$들은 $W$ 위에서 $0$이므로 $W^0$에 속하고, 역으로 $\varphi\in W^0$을 쌍대기저로 전개하면 $j\le r$인 계수가 모두 $0$임을 $\varphi(w_j)=0$에서 얻는다. 따라서 $\{\varphi_{r+1},\dots,\varphi_n\}$이 $W^0$의 기저 — 개수 $n-r$. ∎

정리 6.4 (직교여공간 차원 정리, 일반형). $V$가 비퇴화 스칼라곱을 가진 유한차원 공간이고 $W\subseteq V$이면 $\dim W+\dim W^\perp=\dim V$.¹¹

증명 보기

증명. 정리 6.2의 동형 $v\mapsto L_v$은 $W^\perp$를 정확히 $W^0$ 위로 대응시킨다($v\in W^\perp\iff L_v(W)=0\iff L_v\in W^0$). 따라서 $\dim W^\perp=\dim W^0=\dim V-\dim W$(정리 6.3). ∎ 이 정리는 스칼라곱과 직교성의 계수(rank) 정리를 증명하는 데 이미 빌려 썼던 결과다 — 쌍대공간 이론이 그 정리의 진짜 근거였던 셈이다.

극화(polarization). 대칭 쌍선형형식 $g$는 이차형식 $f$로부터 완전히 복원된다: $$g(v,w)=\tfrac12\big(f(v+w)-f(v)-f(w)\big).$$

증명 보기

증명. $f(v+w)=g(v+w,v+w)=g(v,v)+2g(v,w)+g(w,w)=f(v)+2g(v,w)+f(w)$을 대칭성과 쌍선형성으로 전개하면 바로 나온다.¹² 이것이 미적분에서 2계 편미분의 대칭 헤시안 행렬이 이차형식(테일러 전개의 2차항)을 정의하는 이유다.

정리 8.1 (영도 지표). $\langle v_i,v_i\rangle=0$인 $i$의 개수는 $\dim V_0$과 같다. 여기서 $V_0=\{v:\langle v,w\rangle=0\ \forall w\in V\}$. 특히 형식이 비퇴화 $\iff$ 이 지표가 $0$.¹³

증명 보기

증명 스케치. 직교기저를 $\langle v_i,v_i\rangle\ne0$인 것들이 앞에 오도록($i\le s$) 재배열한다. $j>s$인 $v_j$는 정의상 $V_0$에 속한다. 역으로 $v=\sum x_iv_i\in V_0$이면 $j\le s$에 대해 $\langle v,v_j\rangle=x_j\langle v_j,v_j\rangle=0$이고 $\langle v_j,v_j\rangle\ne0$이므로 $x_j=0$ — 즉 $v$는 $\{v_{s+1},\dots,v_n\}$의 생성공간에 있다. 따라서 이들이 $V_0$의 기저이고 $\dim V_0=n-s$. ∎

정리 8.2 (Sylvester의 관성 법칙). $\langle v_i,v_i\rangle>0$인 $i$의 개수 $r$은 직교기저 선택과 무관하다 — 이 수를 양성도 지표라 부른다.¹⁴

증명 보기

증명. $\{v_1,\dots,v_n\}$, $\{w_1,\dots,w_n\}$을 두 직교기저로, 각각 양수 인덱스 개수를 $r$, $r'$이라 하자(부호별로 재배열). $r>r'$이라 가정하고 모순을 유도한다. $\{v_1,\dots,v_r\}$과 $\{w_{r'+1},\dots,w_n\}$을 합치면 총 $r+(n-r')>n$개이므로 선형종속 — 어떤 비자명 관계 $$\sum_{i=1}^r x_iv_i=\sum_{j=r'+1}^n y_jw_j=:u$$ 가 존재한다. $\langle u,u\rangle$을 좌변으로 계산하면 $\sum x_i^2\langle v_i,v_i\rangle\ge0$이고, 우변으로 계산하면 $\sum y_j^2\langle w_j,w_j\rangle\le0$이므로 $\langle u,u\rangle=0$. 이는 두 쪽 다 각 항이 $0$이어야 함을 강제하는데, 좌변에서 $\langle v_i,v_i\rangle>0$($i\le r$)이므로 모든 $x_i=0$, 즉 $u=O$; 그러면 우변에서 $w_{r'+1},\dots,w_n$의 선형독립성으로 모든 $y_j=0$도 나와 애초 관계가 자명해져 모순. 따라서 $r\le r'$이고 대칭적으로 $r'\le r$, 고로 $r=r'$. ∎ 이 논증의 핵심 트릭은 "너무 많은 벡터를 모으면 종속"이라는 차원 논증과, 부호가 다른 두 표현이 만나면 $0$으로 짓눌린다는 관찰의 결합이다.

따름 (분해와 부호수). $V=V_0\oplus V_+\oplus V_-$로 분해되며 형식은 $V_+$에서 양의 정부호, $V_-$에서 음의 정부호다. $(\dim V_0,\dim V_+,\dim V_-)$가 실수 대칭형식의 부호수 — 이 세 수(또는 관례에 따라 $(r,s-r,n-s)$)가 기저 무관 불변량이다.¹⁵

예제

예제 1 (쌍대기저를 손으로 계산). $V=\mathbb{R}^2$, $v_1=(1,1)$, $v_2=(1,-1)$을 기저로 잡자. $\varphi_1,\varphi_2$를 좌표 $(x,y)\mapsto ax+by$ 꼴로 찾는다. $\varphi_1(v_1)=1,\varphi_1(v_2)=0$: $a+b=1$, $a-b=0\Rightarrow a=b=\tfrac12$, 즉 $\varphi_1(x,y)=\tfrac12(x+y)$. 비슷하게 $\varphi_2(x,y)=\tfrac12(x-y)$. 검산: $\varphi_2(v_1)=\tfrac12(1-1)=0$✓, $\varphi_2(v_2)=\tfrac12(1-(-1))=1$✓.

예제 2 (그레이디언트 = $L_v$의 구체적 사례). $f(x,y,z)=x^2yz$이면 $\mathrm{grad}\,f=(2xyz,\,x^2z,\,x^2y)$이고, 미분 $f'(P):\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$은 함수형 $H\mapsto \mathrm{grad}\,f(P)\cdot H$다. 이는 정리 6.2를 점 $P$에서 그대로 적용한 것 — 함수형 $f'(P)$가 벡터 $\mathrm{grad}\,f(P)$로 "표현"된다.¹⁶

예제 3 (annihilator 계산). $V=\mathbb{R}^3$, $W=\langle(1,1,0)\rangle$(1차원). 정리 6.3으로 $\dim W^0=3-1=2$. 실제로 $W^0=\{\varphi=(a,b,c): a+b=0\}$ — $a=-b$인 평면, 확실히 2차원.

예제 4 (이차형식 ↔ 쌍선형형식, 극화로 역산). $f(x,y)=2x^2+3xy+y^2$의 대칭행렬을 극화로 구하자. $g\big((x,y),(x',y')\big)=ax x'+b(xy'+x'y)+cyy'$ 꼴을 가정하면 $f(x,y)=g\big((x,y),(x,y)\big)=ax^2+2bxy+cy^2$이므로 $a=2$, $2b=3\Rightarrow b=\tfrac32$, $c=1$. 행렬은 $\begin{pmatrix}2&3/2\\3/2&1\end{pmatrix}$ — 이 값이 예제 1(스펙트럼 정리 페이지)에서 다뤘던 이차형식의 행렬과 정확히 일치한다(부호만 다름).

예제 5 (Sylvester 지표 계산, $\mathbb{R}^2$). $C=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$이 주는 형식 $f(x,y)=x^2-y^2$을 생각하자. 표준기저 $e_1,e_2$가 이미 직교($\langle e_1,e_2\rangle=0$)이고 $\langle e_1,e_1\rangle=1>0$, $\langle e_2,e_2\rangle=-1<0$이므로 양성도 지표 $r=1$, 영도 지표 $0$(비퇴화). 다른 직교기저, 예컨대 $u_1=(1,1)$, $u_2=(1,-1)$을 시도하면 $\langle u_1,u_1\rangle=1-1=0$이므로 이건 직교기저가 아니다(직교기저이려면 $\langle u_1,u_2\rangle=0$뿐 아니라 재배열 조건이 자동으로 만족되어야). 실제로 대각원소 값 자체($1,-1$)는 기저에 따라 달라지지만(예: $u_1'=(2,1)$로 정규화하면 다른 수), 부호의 개수 $r=1$, $s-r=1$은 항상 불변 — Sylvester 정리가 보장하는 바로 그 사실이다.

예제 6 (퇴화 형식과 $V_0$). $C=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$가 주는 $\mathbb{R}^3$ 위 형식은 $f(x,y,z)=x^2-z^2$. $V_0=\{(0,y,0):y\in\mathbb{R}\}$(첫째·셋째 성분이 0이면 모든 벡터와의 스칼라곱이 0), $\dim V_0=1$ — 정리 8.1대로 대각원소 중 $0$인 것의 개수(하나, $y$성분)와 일치. 부호수는 $(\dim V_0,\dim V_+,\dim V_-)=(1,1,1)$.

예제 7 (비퇴화 쌍대성이 실패하는 경우와의 대조). $V$가 무한차원(예: 다항식 전체 공간)이면 정리 6.1의 $\dim V^*=\dim V$가 더 이상 성립하지 않는다 — $V^*$가 "훨씬 더 큰" 공간이 된다(기저가 유한하지 않을 때 쌍대기저 논증이 깨짐). 이는 유한차원 가설이 정리 6.1–6.2 전체에서 왜 필수적인지를 보여주는 대조 사례다.

흔한 오해와 함정

"$V\cong V^*$이니 $v$와 $\varphi$를 같은 것으로 취급해도 된다" — 틀림. 이 동형은 스칼라곱(또는 기저)에 의존한다. 스칼라곱을 바꾸면 $L_v$가 바뀐다. $V$와 $V^*$를 진짜로 자연스럽게 동일시할 수 있는 것은 $V^{**}\cong V$(이중쌍대) 뿐이며, 이는 기저나 스칼라곱 없이 성립하는 정리다(연습문제 참고).
"모든 함수형이 $\langle v_0,\cdot\rangle$ 꼴로 표현된다" — 유한차원 + 비퇴화 스칼라곱 가정이 있을 때만 참(정리 6.2). 스칼라곱이 없는 일반 공간에서는 함수형은 쌍대기저로만 표현되지, 특정 벡터와의 스칼라곱으로 자동 표현되지 않는다.
복소수 위에서 $v\mapsto\langle v_0,v\rangle$이 선형이라고 착각 — 에르미트곱의 관례(첫 인수 켤레선형 또는 두 번째 인수 켤레선형, 텍스트마다 다름)에 따라 이 사상은 반선형(anti-linear) 일 수 있다. Lang의 관례에서는 $v\mapsto\langle v_0,v\rangle$이 반선형.¹⁷
극화 공식을 특성 2인 체에 그대로 적용 — $\tfrac12$가 등장하므로 표수(characteristic) $2$인 체에서는 정의되지 않는다. 이 페이지의 이론은 암묵적으로 표수 $\ne2$(실수·복소수 포함)를 가정한다.
Sylvester 지표를 "고유값의 개수"와 혼동 — 양성도 지표 $r$은 직교기저에서의 대각원소 부호 개수이지, 원래 행렬 $C$(표준 내적 기준)의 고유값의 부호와 반드시 같지 않다(단, $C$가 이미 대칭이고 표준 내적을 쓰면 스펙트럼 정리에 의해 두 값이 일치 — 그러나 일반적인 비표준 스칼라곱에서는 "직교기저"의 의미 자체가 다르므로 혼동하지 않도록 주의).
$W^\perp$(스칼라곱 버전)와 $W^0$(annihilator, 쌍대공간 버전)를 같은 대상으로 착각 — 서로 다른 공간($V$ 안 vs. $V^*$ 안)에 사는 부분공간이다. 정리 6.2의 동형이 둘을 대응시켜 줄 뿐, 원래는 별개의 구성이다.

큰 그림 / 연결

쌍대공간은 선형사상에서 배운 일반 선형사상 이론의 특수 사례이지만, 독립적인 지위를 가질 만큼 중요하다 — 미분기하의 코탄젠트 공간, 물리의 공변/반변 텐서, 범주론의 반변 함자(contravariant functor)가 전부 이 구조의 확장이다. 스칼라곱을 매개로 한 $V\cong V^*$의 동일시는 스칼라곱과 직교성의 직교여공간 이론을 완성시켰고(정리 6.4), 이는 다시 선형사상과 행렬에서 다룬 수반사상(adjoint) 개념의 토대다 — 수반연산자는 정확히 $\langle Av,w\rangle=\langle v,A^*w\rangle$를 만족시키도록 쌍대공간의 동일시를 이용해 정의된다. 이차형식의 주축과 부호수는 스펙트럼 정리의 대각화와 직결된다 — 실수 대칭행렬을 정규직교 기저로 대각화하면 대각원소의 부호가 정확히 Sylvester의 부호수를 준다. 응용 측면에서는 이차형식의 정부호성 판정(라그랑지안의 극값 판정, 최적화의 이차근사, 통계학의 공분산 행렬)이 전부 이 이론 위에 서 있다. 더 넓게는, 상대성이론의 민코프스키 공간(부호수 $(1,3)$ 또는 $(3,1)$의 비퇴화 형식)이 Sylvester 이론의 물리적 현현이다.

연습문제

$V=\mathbb{R}^3$, 기저 $v_1=(1,0,0), v_2=(1,1,0), v_3=(1,1,1)$의 쌍대기저를 구하라.
$V=K^n$, $W=\{X:x_1=0\}$일 때 $W^0\subset V^*$의 기저를 (쌍대기저 관점에서) 서술하라.
극화 공식을 이용해 $f(x,y,z)=x^2+4xy+2y^2-6yz+3z^2$의 대칭행렬을 구하라.
$C=\mathrm{diag}(2,-1,0,3)$이 주는 $\mathbb{R}^4$ 위 형식의 영도 지표와 양성도 지표를 구하라.
$A,B$가 대칭 $n\times n$ 행렬이고 $A$가 양의 정부호이면, 어떤 가역행렬 $P$에 대해 ${}^tPAP=I$가 됨을 이용하여 ${}^tP B P$가 대칭임을 보여라(Sylvester 이론이 "동시에 단순화"에 쓰이는 첫걸음).
$\varphi,\psi\in V^*$가 0이 아니고 어떤 스칼라 $c\ne0$에 대해서도 $\psi=c\varphi$가 아니라면, $\ker\varphi\cap\ker\psi$의 차원이 $\dim V-2$임을 보여라.
$V$가 유한차원이면 모든 $v\in V$가 $V^{**}$의 원소 $\lambda_v$($\lambda_v(\varphi)=\varphi(v)$)를 주고, $v\mapsto\lambda_v$가 (스칼라곱 없이도!) $V\cong V^{**}$의 동형임을 보여라.
대칭행렬 $A$가 비퇴화이면 $W^{\perp\perp}=W$임을 정리 6.4를 이용해 보여라 (힌트: 차원으로 먼저 $\dim W^{\perp\perp}=\dim W$를 보이고, $W\subseteq W^{\perp\perp}$가 항상 성립함을 별도로 확인).
$2\times2$ 대칭행렬 $C=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$의 부호수를 구하라. (힌트: 직접 대각화하거나, $x^2-y^2$ 꼴로 좌표변환.)
표수 $2$인 체 위에서 극화 공식이 왜 깨지는지, $f(v)=g(v,v)$에서 $g$를 복원하는 다른 방법이 있는지 생각해 보라(완전한 답은 요구하지 않음 — 왜 $\tfrac12$가 문제인지만 설명).

힌트 / 정답

$\varphi_1(x,y,z)=x-y$, $\varphi_2(x,y,z)=y-z$, $\varphi_3(x,y,z)=z$가 검산됨: $\varphi_1(v_1)=1,\varphi_1(v_2)=0,\varphi_1(v_3)=0$; 나머지도 유사하게 확인.
$\{\varphi_2,\dots,\varphi_n\}$(표준 쌍대기저에서 $\varphi_1$을 뺀 것) — $W$의 여차원이 $n-1$이므로 $\dim W^0=1$이 아니라 실제론 $\dim W=n-1$이므로 $\dim W^0=1$, 즉 $W^0=\langle\varphi_1\rangle$.
$a=1,\,2b=4\Rightarrow b=2,\,c=2,\,2d=-6\Rightarrow d=-3,\,e=3$: $\begin{pmatrix}1&2&-3\\2&2&-3\\-3&-3&3\end{pmatrix}$ — 대칭행렬 원소는 $A_{12}=A_{21}=2$(계수 4의 절반), $A_{13}=A_{31}=-3$, $A_{23}=A_{32}=-3$, 대각은 각 제곱항 계수: $1,2,3$.
대각원소 부호: $2>0$, $-1<0$, $0$, $3>0$. 영도 지표 $=1$, 양성도 지표 $=2$.
$B'={}^tPBP$의 전치 $={}^tB'={}^tP\,{}^tB\,{}^t({}^tP)={}^tP\,{}^tB\,P={}^tPBP$($B$가 대칭이므로 ${}^tB=B$) $=B'$. 대칭 확인.
$\ker\varphi,\ker\psi$는 각각 $\dim V-1$차원 초평면. 두 초평면이 서로 다른 방향(비례하지 않음)이면 교집합은 $\dim V-2$ — 정리 6.3 스타일의 논증을 두 함수형에 적용.
$\lambda_v$가 선형임은 함수형들의 선형결합의 정의에서, $v\mapsto\lambda_v$가 단사임은 어떤 $v\ne O$에 대해서도 (기저를 확장해) $\varphi(v)\ne0$인 $\varphi$가 존재함에서, 전단사는 $\dim V=\dim V^{**}$(정리 6.1을 두 번 적용)에서.
$\dim W^{\perp\perp}=\dim V-\dim W^\perp=\dim V-(\dim V-\dim W)=\dim W$(정리 6.4를 두 번). $v\in W\Rightarrow v\perp W^\perp\Rightarrow v\in W^{\perp\perp}$이므로 $W\subseteq W^{\perp\perp}$이고 차원이 같으므로 등호.
$x^2-y^2$ 형태로 변환: $u=x+y,\,v=x-y$로 두면 $xy=\tfrac14(u^2-v^2)$이므로 $f=\tfrac12(u^2-v^2)$ 꼴 — 양성도 지표 1, 음성도 지표 1, 영도 지표 0. 부호수 $(0,1,1)$.
$\tfrac12$가 나눗셈이려면 표수가 $2$가 아니어야 한다(표수 2에서는 $2=0$이라 역원이 없음). 표수 2에서는 대칭 쌍선형형식과 이차형식이 일반적으로 서로 다른 정보를 담으며, 별도의 이론(이차형식의 표수-2 특수 취급, "alternating form"과의 구분)이 필요하다 — Lang의 논의 범위 밖.

개요 — 동기·문제의식

직관

정의

주요 정리

예제

흔한 오해와 함정

큰 그림 / 연결

연습문제

관련 개념