체와 벡터공간

개요 — 동기·문제의식

대부분의 선형대수 입문서는 $\mathbb{R}^n$의 화살표 벡터에서 시작한다. Lang은 정반대로 시작한다 — 스칼라가 사는 세계 $K$부터 공리화한 뒤, 그 위에서 벡터공간을 정의한다.¹ 왜 이렇게 거꾸로 가는가? 정리(theorem)를 증명할 때 실제로 쓰는 성질은 "실수다"가 아니라 "더하고 곱하고 $0$이 아니면 나눌 수 있다"는 것뿐이기 때문이다. 이 성질만 추출해 공리로 박아두면, $\mathbb{R}$에서 증명한 정리가 $\mathbb{C}$, $\mathbb{Q}$, 심지어 유한체에서도 공짜로 성립한다. 이것이 Lang이 처음부터 중립적인 글자 $K$를 강제하는 이유다.²

이 페이지는 이 책 전체의 지반을 놓는다: 무엇이 "스칼라"로 허용되는가(체 $K$), 무엇이 "벡터"로 허용되는가(공리 VS 1–VS 8을 만족하는 집합), 그리고 그 안에서 "부분공간"·"생성"이 무엇을 뜻하는가. 이후의 모든 정의 — 기저(기저와 차원), 직합(합과 직합), 선형사상(선형사상) — 은 전부 이 골격 위에서 임의의 체 $K$에 대해 작동한다.

직관

체(field)는 "사칙연산이 막힘없이 되는 수 체계"다. 정수 $\mathbb{Z}$에서는 나눗셈이 막힌다 — $1/2$은 정수가 아니다. 유리수·실수·복소수는 $0$이 아닌 한 항상 나눌 수 있다. 이 "나눗셈 가능"이라는 한 가지 성질이 선형대수의 거의 모든 논증(예: 기저 계수 $a_1\ne0$이면 $v_1$에 대해 풀 수 있다)에서 쓰인다.

벡터공간은 "방향과 크기를 가진 화살표들의 집합"이라는 기하적 그림을 한 발 물러나 일반화한 것이다. 화살표를 더하고(평행사변형 법칙) 늘이는(스칼라곱) 연산이 일정한 대수 규칙(결합·교환·분배법칙)을 만족하기만 하면, 그 집합은 "벡터공간"이라 부를 자격이 있다 — 화살표일 필요도, $\mathbb{R}^n$의 원소일 필요도 없다. 함수들의 집합, 다항식들의 집합, 행렬들의 집합 모두 같은 자격을 갖춘다. 부분공간은 "그 안에서만 연산을 해도 절대 빠져나가지 않는" 더 작은 세계이고, 선형결합은 "이미 가진 벡터들을 스칼라배해서 더하는" 가장 기본적인 조작이다 — 이 조작으로 도달 가능한 모든 것이 "생성된 부분공간"이다.

정의

체 (Field)

$K\subseteq\mathbb{C}$가 다음을 만족하면 체라 한다:¹ - (a) $x,y\in K \implies x+y,\ xy\in K$ (덧셈·곱셈에 닫혀 있음) - (b) $x\in K \implies -x\in K$; $x\ne0$이면 $x^{-1}\in K$ (역원에 닫혀 있음) - (c) $0,1\in K$

이 정의에서 $\mathbb{R}$과 $\mathbb{C}$는 체이고, $\mathbb{Q}$도 체다(분수 $m/n$, $n\ne0$의 집합).² 그러나 $\mathbb{Z}$는 체가 아니다 — 조건 (b)가 깨진다: $n\ne\pm1$인 정수 $n$에 대해 $n^{-1}=1/n$은 정수가 아니다.² 체의 본질은 "사칙연산(덧셈·곱셈·뺄셈, $0$이 아닌 것으로 나눗셈)이 산술의 통상 규칙을 만족하며 자유롭게 되는 집합"이라는 것이며, Lang은 이를 더 추상적으로 공리화할 수 있다고 언급하지만 당장은 $K\subseteq\mathbb{C}$인 구체적 정의로 충분하다고 본다.³ $K\subseteq L$이면 $K$를 $L$의 부분체(subfield)라 한다; 예: $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$.

체 $K$의 원소는 문맥에 따라 수(number) 또는 스칼라(scalar)라 부른다.⁴ 표기 $K$는 의도적으로 중립적이다 — 이후 모든 정리가 $K=\mathbb{R}$이든 $K=\mathbb{C}$이든 $K=\mathbb{Q}$이든 그대로 성립함을 강조하기 위함이다.

참고(현대적 관점). 표준 추상대수학 교재는 체를 $K\subseteq\mathbb{C}$로 제한하지 않고, 덧셈군·곱셈군(영 제외)의 공리만으로 정의해 유한체 $\mathbb{F}_p$ 등을 포함시킨다. Lang은 §I.1에서 "더 진전된 공리화는 나중에"라고 명시적으로 미뤄두며,³ 이 wiki에서도 이후 모든 정리의 증명이 $K\subseteq\mathbb{C}$ 가정을 본질적으로 쓰지 않는다는 점에 주목할 가치가 있다 — 사용하는 것은 오직 사칙연산 공리뿐이다.

벡터공간 (VS 1–VS 8)

정의. 체 $K$ 위의 벡터공간 $V$란, 원소들끼리 더할 수 있고 $K$의 원소로 스칼라곱할 수 있는 집합으로서, 두 연산의 결과가 다시 $V$에 속하고(닫혀 있고) 다음 여덟 공리를 만족하는 것이다:⁵

이 여덟 공리는 Lang이 "벡터를 다룰 때, 또는 함수를 다룰 때 늘 암묵적으로 써오던 규칙들을 체계적으로 적은 목록"이라고 설명한다.⁵ 정의에서 즉시 따라오는 두 사실: $0\cdot v = O$이고 $(-1)v = -v$.⁶ 영벡터 $O$는 유일하다(연습문제로 증명 가능).

표기 주의. 숫자 $0\in K$와 벡터 $O\in V$는 다른 객체이지만 같은 이름 "영"으로 부른다 — 혼동의 여지는 없다.⁶

보기

함수공간 안에서 연속함수의 집합, 미분가능함수의 집합은 각각 부분공간을 이루며, 미분가능 $\Rightarrow$ 연속이므로 후자는 전자의 부분공간이다.⁷

부분공간과 선형결합

정의. $W\subseteq V$가 다음을 만족하면 $W$는 부분공간이다:⁸ - (i) $v,w\in W \implies v+w\in W$ - (ii) $v\in W,\ c\in K \implies cv\in W$ - (iii) $O\in W$

이때 $W$ 자체가 (VS 1–VS 8을 전체 $V$에서 물려받아) 벡터공간이 된다.⁸

정의. $v_1,\dots,v_n\in V$와 $x_1,\dots,x_n\in K$에 대해 $x_1v_1+\cdots+x_nv_n$를 $v_1,\dots,v_n$의 선형결합이라 한다.⁹ 모든 선형결합의 집합 $W$는 부분공간이며, $v_1,\dots,v_n$이 생성하는(generate) 부분공간이라 부른다; $W=V$이면 $v_1,\dots,v_n$이 $V$를 생성한다고 말한다.⁹

명제. 부분공간의 교집합 $U\cap W$와 합 $U+W=\{u+w : u\in U, w\in W\}$은 다시 부분공간이다.¹⁰ 합은 합과 직합에서 더 깊이 다룬다.

주요 정리

정리 ($0v=O$). 모든 $v\in V$에 대해 $0\cdot v = O$.⁶

정리 ($(-1)v=-v$). 모든 $v\in V$에 대해 $(-1)v=-v$.

명제 (선형결합의 집합은 부분공간). $v_1,\dots,v_n\in V$의 모든 선형결합의 집합 $W$는 $V$의 부분공간이다.⁹

왜 "닫혀 있음 + $O$ 포함"이 정확히 필요한 조건인가. VS 1–VS 8 중 결합·교환법칙 등은 $V$ 전체에서 이미 성립하므로 $W$가 부분집합이라는 사실만으로 자동 상속된다(a fortiori).⁸ 진짜로 검사해야 할 것은 오직 "연산 결과가 $W$를 벗어나지 않는가"(닫힘성)와 "영벡터가 그 안에 있는가"(공집합이 아님을 보장) 뿐이다 — 이것이 부분공간 판정이 세 조건으로 충분히 간단해지는 이유다.

예제

예제 1 (체의 예와 반례). $\mathbb{Q}(\sqrt2)=\{a+b\sqrt2 : a,b\in\mathbb{Q}\}$는 체다 — 닫힘성은 분배로, 역원은 $\dfrac{1}{a+b\sqrt2}=\dfrac{a-b\sqrt2}{a^2-2b^2}$로 확인된다($a^2\ne2b^2$는 $\sqrt2$가 무리수이므로 보장).¹¹ 반면 $\mathbb{Z}$는 체가 아니다: $2\in\mathbb{Z}$이지만 $2^{-1}=1/2\notin\mathbb{Z}$.

예제 2 ($K^n$의 부분공간). $V=K^n$, $W=\{(a_1,\dots,a_n)\in K^n : a_n=0\}$. $W$는 부분공간이며 사실상 $K^{n-1}$과 동일시된다.⁸

예제 3 (함수공간의 선형결합). $V$를 $\mathbb{R}$에서 $\mathbb{R}$로 가는 미분가능함수들의 공간이라 하자. $f(t)=e^t$, $g(t)=e^{2t}$가 생성하는 부분공간의 원소는 $ae^t+be^{2t}$ ($a,b\in\mathbb{R}$) 꼴이다 — 예컨대 $3e^t+2e^{2t}$, $2e^t+\pi e^{2t}$ 모두 이 부분공간에 속한다.⁷

예제 4 (구체적 부분공간 판정, $\mathbb{R}^2$). $W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x=y\}$가 부분공간인지 확인: $O=(0,0)\in W$ (성립); $(a,a)+(b,b)=(a+b,a+b)\in W$ (닫힘); $c(a,a)=(ca,ca)\in W$ (닫힘). 따라서 $W$는 부분공간이다 — 기하적으로는 원점을 지나는 직선 $y=x$.

예제 5 (부분공간이 아닌 집합). $W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x+y=1\}$은 부분공간이 아니다 — $O=(0,0)\notin W$ ($0+0=0\ne1$). 직선이지만 원점을 지나지 않으므로 즉시 탈락한다.

예제 6 (직교 여공간이 부분공간임). $A\in K^n$ 고정, $W=\{B\in K^n : B\cdot A=0\}$. $O\cdot A=0$이므로 $O\in W$; $B,C\in W\Rightarrow (B+C)\cdot A = B\cdot A+C\cdot A = 0$; $x\in K\Rightarrow (xB)\cdot A = x(B\cdot A)=0$. 셋 다 성립하므로 $W$는 부분공간이다.¹⁰ 이는 스칼라곱과 직교성에서 직교여공간(orthogonal complement)으로 일반화된다.

예제 7 (추상 instance — 다항식 공간). $K[t]$를 계수가 $K$에 있는 다항식 전체의 집합이라 하면, 통상의 다항식 덧셈·스칼라곱 아래 $K[t]$는 $K$ 위의 벡터공간이다(VS 1–VS 8을 직접 확인하면 모두 성립). 차수 $\le n$인 다항식들의 집합은 $K[t]$의 부분공간이다. 이 공간은 연산자의 다항식에서 연산자의 다항식을 다룰 때 다시 등장한다.

흔한 오해와 함정

• "체는 항상 $\mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{C}$의 부분집합이어야 한다" — Lang의 §I.1 정의는 접근성을 위한 잠정적 정의일 뿐이다.³ 일반 추상대수에서는 $\mathbb{C}$ 밖의 체(유한체 $\mathbb{F}_p$ 등)도 존재한다; 이 wiki의 정리들은 $K\subseteq\mathbb{C}$를 본질적으로 쓰지 않으므로 더 일반적인 체에도 그대로 성립한다.
• "벡터 = 화살표"라는 고정관념 — 함수, 다항식, 행렬 모두 "벡터"다. 여덟 공리를 만족하기만 하면 무엇이든 벡터공간의 원소가 될 수 있다.
• 부분공간 판정에서 영벡터 포함을 빠뜨림 — 닫힘성만 확인하고 $O\in W$를 빠뜨리면 공집합도 "닫혀 있다"는 함정에 빠진다(공허하게 참). $O$ 포함은 반드시 별도로 확인해야 한다.
• "생성하는 벡터들이 유일하다"는 착각 — 같은 부분공간 $W$를 생성하는 벡터 집합은 무수히 많다(예: $K^2$ 전체는 $\{E_1,E_2\}$로도, $\{(1,1),(1,-1)\}$로도 생성된다). "생성"은 도달 가능성의 개념이지 유일한 좌표계가 아니다 — 유일성은 기저와 차원에서 선형독립이 추가될 때 비로소 나온다.
• $\mathbb{R}^n$이 $\mathbb{C}$ 위의 벡터공간이라는 착각 — 아니다. $cv$가 $v\in\mathbb{R}^n$, $c\in\mathbb{C}$일 때 결과가 $\mathbb{R}^n$ 밖으로 나갈 수 있어 닫혀 있지 않다. 벡터공간을 말할 때는 항상 "어떤 체 위에서"인지 명시해야 한다.⁷

큰 그림 / 연결

체와 벡터공간의 공리는 이 책 전체의 문법이다. "임의의 체 $K$ 위에서"라는 어구는 이후 모든 정리 진술에 등장하며, $\mathbb{R}$이나 $\mathbb{C}$로 특수화하는 것은 독자의 몫으로 남는다. 다음 단계는 "이 추상적 공간의 크기를 어떻게 재는가"라는 질문이고, 그 답이 선형독립과 기저(기저와 차원)다. 부분공간들을 합치는 연산은 합과 직합에서 직합으로 정밀화되고, $K^n$ 위에서 정의한 닷곱(예제 6)은 스칼라곱과 직교성에서 일반 스칼라곱·쌍선형형식(쌍대공간과 쌍선형형식)으로 확장된다. 함수공간의 예(예제 3)는 무한차원 벡터공간의 첫 만남이며, 해석학에서 함수해석학(노름공간·힐베르트공간)의 기초가 되는 것과 같은 발상이다 — 다만 그 위상적 구조(수렴·완비성)는 이 책의 범위 밖이다. 대수학 쪽에서는 "체 위의 벡터공간"이라는 틀이 더 일반적인 "환 위의 가군(module)" 개념의 특수한 경우로, $K[t]$ 위의 가군 구조가 조르당 표준형에서 핵심적으로 쓰인다.

연습문제

1. $V$가 벡터공간이고 $c\in K$일 때, $c\cdot O = O$임을 VS 1–VS 8로부터 증명하라.
2. $c\ne0$이고 $cv=O$이면 $v=O$임을 증명하라.
3. $\mathbb{R}^3$에서 $W=\{(x,y,z) : x+y+z=0\}$이 부분공간임을 보여라.
4. $\mathbb{R}^2$에서 $W=\{(x,y) : xy=0\}$이 부분공간이 아님을 (반례로) 보여라.
5. $A_1,\dots,A_r\in\mathbb{R}^n$이 주어졌을 때, $W=\{B\in\mathbb{R}^n : B\cdot A_i=0,\ i=1,\dots,r\}$이 부분공간임을 증명하라.
6. $K$가 체이고 $L$이 $K$를 부분체로 포함하는 체이면, $L$은 $K$ 위의 벡터공간임을 보여라. 이로부터 $\mathbb{C}$와 $\mathbb{R}$이 $\mathbb{Q}$ 위의 벡터공간임을 설명하라.
7. $a,b\in\mathbb{Q}$ 꼴 $a+bi$ 전체의 집합이 체임을 보여라 (즉 $\mathbb{Q}(i)$가 체임을 보여라).
8. (종합) $U,W$가 벡터공간 $V$의 부분공간일 때, $U\cup W$가 부분공간이려면 $U\subseteq W$ 또는 $W\subseteq U$이어야 함을 보여라(즉 합집합은 일반적으로 부분공간이 아니다 — $U+W$와 비교하라).

관련 개념

• 기저와 차원 — 독립성·기저·차원이 이 위에서 쌓인다
• 합과 직합 — 부분공간을 합치는 정밀한 방법
• 스칼라곱과 직교성 — $K^n$의 닷곱이 일반 스칼라곱으로 확장됨
• 행렬과 선형방정식 — 행렬 공간도 벡터공간의 한 예
• 선형사상 — 벡터공간 사이의 구조 보존 사상
• 원전 소개 — Lang — 이 모든 정의의 출처