≅현대대수학
IV. 아이디얼과 몫환 · 8/16

아이디얼

아이디얼, 주아이디얼, 생성

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

$\mathbb{Z}$ 에서 "법 $n$ 으로 나머지를 본다"는 합동산술이 왜 환의 구조를 망가뜨리지 않는지 생각해 보면, 핵심은 $n\mathbb{Z}$ 가 $\mathbb{Z}$ 의 부분환을 넘어 "임의의 정수를 곱해도 그 안에 머무는" 특별한 부분집합이라는 데 있다. 이 성질을 추상화한 것이 아이디얼이다. 일반적인 부분환으로는 몫환의 곱셈이 잘 정의되지 않는다 — 아이디얼이라는 "흡수" 조건이 정확히 그 well-definedness를 보장하는 조건이다. 군론에서 정규부분군이 몫군을 가능하게 했던 것과 정확히 평행한 역할을 환에서 아이디얼이 수행한다.

직관

부분환 $H\le R$ 로 몫 $R/H$ 를 만들려 하면, 덧셈은 $H$ 가 덧셈 부분군이라 문제없지만 곱셈 $(a+H)(b+H)=ab+H$ 이 잘 정의되려면 대표원의 선택에 무관해야 한다. $a'=a+h_1$, $b'=b+h_2$ ($h_1,h_2\in H$) 로 바꿔 곱하면 $a'b'=ab+ah_2+h_1b+h_1h_2$ — 이게 $ab+H$ 안에 있으려면 $ah_2, h_1b\in H$ 이어야 한다. 즉 $H$ 의 원소에 환의 임의 원소를 곱해도 $H$ 를 벗어나면 안 된다 — 이것이 아이디얼의 "흡수(absorption)" 조건이다. 비유하면, 아이디얼은 "블랙홀"이다: 일단 안에 들어간 원소는 무엇을 곱해도 빠져나오지 못한다.

정의

환 $R$ 의 부분집합 $I$ 가 아이디얼(ideal)(엄밀히는 양쪽 아이디얼, two-sided ideal):1 - $I$ 는 $(R,+)$ 의 부분군 (특히 $0\in I$, $a,b\in I\Rightarrow a-b\in I$); - 흡수 성질: $r\in R,\ a\in I \;\Rightarrow\; ra\in I$ 그리고 $ar\in I$.

(가환환에서는 좌·우 아이디얼 구분이 사라진다. 비가환환에서는 좌아이디얼·우아이디얼·양쪽아이디얼을 구분하지만, 이 위키는 Hungerford를 따라 주로 가환환의 아이디얼을 다룬다.)

대상 정의
주아이디얼(principal ideal) $(c)$ $\{rc: r\in R\}$ (단위원 있는 가환환에서) — $c$ 가 생성하는 가장 작은 아이디얼
유한생성 아이디얼 $(c_1,\dots,c_k)$ $\{r_1c_1+\cdots+r_kc_k : r_i\in R\}$
진아이디얼(proper ideal) $I\ne R$
자명한 아이디얼 $\{0\}$ 과 $R$

주의: $1\in I$ 이면 임의 $r=r\cdot1\in I$ 이므로 $I=R$ — 단위원을 포함하는 아이디얼은 전체환뿐이다. 이 사실이 "$I$ 가 진아이디얼 $\iff 1\notin I$"라는 자주 쓰이는 동치를 준다.

주요 정리

정리 ($\mathbb{Z}$ 의 아이디얼은 모두 주아이디얼). $\mathbb{Z}$ 의 모든 아이디얼은 $n\mathbb{Z}=(n)$ ($n\ge0$) 꼴이다.2

증명 보기

증명. $I=\{0\}$ 이면 $I=(0)$. $I\ne\{0\}$ 이면 $I$ 에 양의 정수가 있다(있으면 $-a\in I$ 도 있으므로). 정렬원리로 최소 양의 원소 $n\in I$ 를 택한다. $n\mathbb{Z}\subseteq I$ 는 흡수 성질로 명백. 역포함: 임의 $a\in I$ 에 나눗셈정리(integers-and-division-algorithm) $a=nq+r$, $0\le r<n$. $r=a-nq=a-q\cdot n\in I$ ($a\in I$, $qn\in n\mathbb{Z}\subseteq I$, $I$ 는 덧셈군이라 차도 닫힘). $n$ 의 최소성과 $0\le r<n$ 에서 $r=0$ — $a=nq\in n\mathbb{Z}$. 따라서 $I=n\mathbb{Z}$. ∎

정리 ($F[x]$ 의 아이디얼은 모두 주아이디얼). $F$ 가 체이면 $F[x]$ 의 모든 아이디얼은 $(p(x))$ 꼴이다.2

증명 보기

증명. 동일한 논증을 $F[x]$ 의 나눗셈 정리(polynomial-rings)와 "최소 양의 정수" 대신 "최소 차수"로 바꿔 적용. $I=(0)$ 이 아니면 $I$ 에서 차수가 최소인 $p(x)$ 를 택한다. 임의 $f\in I$ 에 $f=pq+r$, $r=0$ 또는 $\deg r<\deg p$; $r=f-pq\in I$ 이고 차수 최소성으로 $r=0$. ∎ 이런 정역을 주아이디얼정역(PID)이라 부른다 → euclidean pid ufd에서 일반화.

정리 (준동형의 핵 ↔ 아이디얼). 환 준동형의 핵 $\ker f$ 는 아이디얼(환 준동형). 역으로 모든 아이디얼 $I$ 는 어떤 준동형의 핵이다 — 자연사상 $\pi:R\to R/I$, $\pi(a)=a+I$ 의 핵이 정확히 $I$.3 즉 "아이디얼"과 "어떤 준동형의 핵"은 같은 개념의 두 이름이다.

정리 (체의 아이디얼은 자명한 것뿐). $R$ 이 체이면 $R$ 의 아이디얼은 $\{0\}$ 과 $R$ 뿐이다. 역도 성립: 가환환(단위원 有) $R$ 에서 $\{0\},R$ 이 유일한 아이디얼이면 $R$ 은 체다.

증명 보기

증명. ($\Rightarrow$) $I\ne\{0\}$ 인 아이디얼에 $a\ne0$ 가 있으면 체이므로 $a^{-1}$ 존재, $a^{-1}a=1\in I$ → 위 주의에서 $I=R$. ($\Leftarrow$) $a\ne0$ 이면 $(a)$ 는 $0$ 이 아닌 아이디얼이므로 가정에 의해 $(a)=R$, 즉 $1\in(a)$ — $ra=1$ 인 $r$ 존재 → $a$ 가역. ∎ 이 동치는 극대 아이디얼 이론의 출발점이다($\{0\}$ 이 극대 $\iff$ 체).

정리 (아이디얼의 연산). 아이디얼 $I,J\subseteq R$ 에 대해 $I\cap J$, $I+J=\{a+b:a\in I,b\in J\}$, $IJ=\{\sum_{\text{유한}} a_ib_i : a_i\in I, b_i\in J\}$ 는 모두 아이디얼이며 $IJ\subseteq I\cap J$.

증명 보기

증명 스케치. 교집합·합은 직접 확인(흡수성이 양쪽에서 옴). $IJ\subseteq I$(각 항 $a_ib_i\in I$, $I$ 흡수성), 같은 이유로 $IJ\subseteq J$ → $IJ\subseteq I\cap J$. (역포함은 일반적으로 거짓: $\mathbb{Z}$ 에서 $2\mathbb{Z}\cap2\mathbb{Z}=2\mathbb{Z}\ne4\mathbb{Z}=2\mathbb{Z}\cdot2\mathbb{Z}$.)

예제

예제 1 ($\mathbb{Z}$ 에서 연산). $2\mathbb{Z}=\{\dots,-2,0,2,\dots\}$ 는 $\mathbb{Z}$ 의 아이디얼. $2\mathbb{Z}\cap3\mathbb{Z}=6\mathbb{Z}=\operatorname{lcm}(2,3)\mathbb{Z}$, $2\mathbb{Z}+3\mathbb{Z}=\mathbb{Z}=\gcd(2,3)\mathbb{Z}$(베주 항등식 $1=3-2\cdot1$ 이 $1\in2\mathbb{Z}+3\mathbb{Z}$ 를 증명).

예제 2 (비주아이디얼, $\mathbb{Z}[x]$). $\mathbb{Z}[x]$ 에서 "상수항이 짝수인 다항식" $I=(2,x)=\{2f(x)+xg(x): f,g\in\mathbb{Z}[x]\}$ 는 아이디얼이지만 주아이디얼이 아니다(증명은 연습문제 5) — $\mathbb{Z}[x]$ 가 PID가 아니라는 표준 반례.

예제 3 (체가 아닌 환의 비자명 아이디얼). $\mathbb{Z}$ 가 $\mathbb{Q}$ 의 부분환이지만 $\mathbb{Q}$ 의 아이디얼은 아니다: $\frac12\in\mathbb{Q}$, $1\in\mathbb{Z}$ 인데 $\frac12\cdot1=\frac12\notin\mathbb{Z}$(흡수 실패). 부분환이라고 아이디얼이 되는 것은 아니라는 좋은 반례.

예제 4 (행렬환의 비자명 아이디얼 부재). $M_2(\mathbb{R})$(2×2 실수행렬환)은 단순환(simple ring) — 자명하지 않은 양쪽 아이디얼이 없다(체와 비슷하게 행동하지만 정의상 체는 아님, 비가환이고 영인자도 있음). 직관: 어떤 0 아닌 행렬 $A$ 도 적절한 행렬을 좌우로 곱하면 임의의 행렬을 만들어낼 수 있다.

예제 5 (다항식환의 극대 사슬). $\mathbb{Q}[x]$ 에서 $(x)\subsetneq(x,x^2+1)$? 사실 $\mathbb{Q}[x]$ 는 PID이므로 모든 아이디얼이 주아이디얼 — $(x,x^2+1)=(\gcd(x,x^2+1))=(1)=\mathbb{Q}[x]$(∵ $x^2+1=x\cdot x+1$, 나머지 1). 두 생성원의 아이디얼이 더 큰 아이디얼처럼 보여도 PID에서는 항상 gcd로 축약된다.

예제 6 (곱 아이디얼의 진부분 포함). $\mathbb{Z}$ 에서 $(2)(3)=(6)$, $(2)\cap(3)=(6)$ — 서로소($\gcd=1$)인 경우 곱과 교집합이 일치(중국인의 나머지 정리의 아이디얼 버전). 반면 $(2)(2)=(4)\subsetneq(2)\cap(2)=(2)$ — 같은 아이디얼끼리는 진부분.

흔한 오해와 함정

큰 그림 / 연결

아이디얼은 환론의 "정규부분군"이다 — 군에서 정규부분군이 몫군을 가능하게 했듯, 아이디얼이 몫환을 가능하게 한다. 환 준동형의 핵이 항상 아이디얼이라는 사실은 "아이디얼 ↔ 어떤 준동형의 핵"이라는 완전한 대응을 보여준다. 아이디얼을 더 세분하면 소 아이디얼과 극대 아이디얼이 나오는데, 이들이 정확히 몫환이 정역/체가 되는 조건을 결정한다. "모든 아이디얼이 주아이디얼인가"라는 질문은 PID를 정의하며, 이는 유일인수분해(UFD) 위계의 중간 단계다. 정수론(numbertheory 위키)에서는 대수적 정수환의 아이디얼 이론(예: $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$)이 "이상적인 수"라는 19세기 Kummer의 원래 동기 — 유일인수분해가 깨지는 환에서 아이디얼이 그 빈자리를 메운다는 역사적 맥락과 직결된다.

연습문제

  1. $(6)$ 과 $(4)$ 의 합·교집합을 $\mathbb{Z}$ 에서 구하라.
  2. $\mathbb{Z}$ 의 모든 아이디얼이 $(n)$ 꼴임을 증명하라(정렬원리 사용).
  3. 체 $F$ 의 아이디얼이 $\{0\}, F$ 뿐임을 보여라.
  4. 두 아이디얼의 합 $I+J$, 곱 $IJ$ 가 아이디얼임을 보여라.
  5. $(2,x)$ 가 $\mathbb{Z}[x]$ 에서 주아이디얼이 아님을 보여라.
  6. $1$ 을 포함하는 아이디얼은 전체 환뿐임을 증명하라.
  7. $I,J$ 가 서로소($I+J=R$)일 때 $IJ=I\cap J$ 임을 보여라.
  8. 환 $R$ 의 아이디얼들의 사슬 $I_1\subseteq I_2\subseteq\cdots$ 의 합집합 $\bigcup_n I_n$ 이 아이디얼임을 보여라.
정답·힌트
  1. $(6)+(4)=(\gcd(6,4))=(2)$ (베주: $\gcd(6,4)=2=6-4$); $(6)\cap(4)=(\operatorname{lcm}(6,4))=(12)$.
  2. $I\ne\{0\}$ 의 최소 양의 원소 $n$ (정렬원리로 존재); 임의 $a\in I$ 를 나눗셈정리 $a=nq+r$ → $r=a-nq\in I$, $0\le r<n$ → $n$ 최소성으로 $r=0$ → $I=(n)$.
  3. $I\ne\{0\}$ 에 $a\ne0$ 있으면 $a^{-1}a=1\in I$ → 임의 $r=r\cdot1\in I$ → $I=F$.
  4. $I+J=\{a+b\}$: $r(a+b)=ra+rb\in I+J$(각 항이 $I,J$ 에 흡수). $IJ=$ 유한합 $\sum a_ib_i$: $r\sum a_ib_i=\sum(ra_i)b_i\in IJ$(∵$ra_i\in I$).
  5. $(2,x)=\{$상수항 짝수인 다항식$\}$. 주아이디얼 $(f)$ 라 가정하면 $2\in(f)\Rightarrow f\mid2 \Rightarrow f=\pm1,\pm2$; $x\in(f)\Rightarrow f\mid x\Rightarrow f=\pm1,\pm x$. 공통은 $f=\pm1$ 뿐인데 $f=\pm1$ 이면 $(f)=\mathbb{Z}[x]$ — 그러나 $1\notin(2,x)$(상수항이 1, 홀수) — 모순.
  6. $1\in I$ 이면 임의 $r\in R$ 에 $r=r\cdot1\in I$(흡수 성질) → $R\subseteq I\subseteq R$ → $I=R$.
  7. $IJ\subseteq I\cap J$ 는 항상 성립(주요 정리). 역포함: $x\in I\cap J$. $I+J=R$ 이므로 $1=a+b$ ($a\in I,b\in J$); $x=x\cdot1=xa+xb$. $x\in J$ 이므로 $xa\in IJ$(∵$a\in I$, 정확히는 $x\in J,a\in I\Rightarrow xa\in JI=IJ$); $x\in I$ 이므로 $xb\in IJ$. 따라서 $x=xa+xb\in IJ$.
  8. $a,b\in\bigcup I_n$ 이면 각각 어떤 $I_m,I_k$ 에 속하고, $n=\max(m,k)$ 로 두면 사슬이므로 $a,b\in I_n$ → $a-b\in I_n\subseteq\bigcup I_n$. $r\in R$, $a\in I_n$ 이면 $ra\in I_n\subseteq\bigcup I_n$ — 흡수성도 성립.

관련 개념

  1. 원전 소개 — Hungerford §6.1 — "A subring I of a ring R is an ideal provided: Whenever r ∈ R and a ∈ I, then ra ∈ I and ar ∈ I." ↩

  2. 원전 소개 — Hungerford §6.1 [synthesis] — $\mathbb{Z}$, $F[x]$ 의 아이디얼은 모두 주아이디얼; 나눗셈 정리를 이용한 증명. ↩↩

  3. 원전 소개 — Hungerford §6.2 [synthesis] — 자연사상 $\pi:R\to R/I$ 의 핵이 $I$ — 아이디얼과 준동형의 핵의 대응. ↩