≅현대대수학
V. 군 · 13/16

정규부분군과 몫군

정규성, 몫군 구성

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

잉여류 $G/N=\{gN:g\in G\}$ 는 그저 집합의 분할일 뿐이었다 — 원소 개수는 셀 수 있어도(Lagrange 정리), 그 위에 군 연산을 주려는 순간 문제가 생긴다. $(aN)(bN):=abN$ 이라고 정의하고 싶지만, 잉여류의 대표원 $a,b$ 는 유일하지 않다($a'=an_1$, $b'=bn_2$ 도 같은 잉여류를 대표) — 그러니 정의가 대표원 선택에 무관해야(well-defined) 말이 된다. 이 조건을 풀어보면 정확히 $N$ 이 정규부분군이어야 한다는 결론이 나온다. 이는 환에서 아이디얼이 몫환을 만들 때 했던 역할과 완전히 평행하다 — 임의의 부분환이 아니라 아이디얼이라야 $R/I$ 에 곱셈이 정의됐던 것과 같은 이야기다. 정규부분군·몫군은 이후 동형정리, Sylow 이론, 그리고 궁극적으로 Galois 이론의 기본정리(중간체 ↔ 부분군, 정규확장 ↔ 정규부분군)에서 반복해서 등장하는 핵심 개념이다.

직관

정규부분군을 이해하는 가장 좋은 방법은 "무엇을 무시해도 되는가"라는 질문이다. $G/N$ 을 만든다는 것은 $N$ 의 원소들을 "차이 없음(항등원과 같음)"으로 뭉개버리고 남은 구조만 보겠다는 뜻이다. 그런데 이 뭉갬이 군의 연산과 호환되려면, $N$ 이 $G$ 의 모든 원소에 대해 "똑같이 보여야" 한다 — $g$ 로 켤레(conjugate)를 취해도 $N$ 자신으로 되돌아와야($gNg^{-1}=N$) 뭉갠 결과가 $g$ 를 어디서 곱하든 일관된다. 기하적으로, 켤레 $gng^{-1}$ 은 "$g$ 라는 관점에서 본 $n$" 이다 — 정규성은 "$N$ 이 어느 관점에서 봐도 똑같다"는 대칭 조건이다. 아벨군에서는 모든 부분군이 자동으로 정규인 이유도 여기 있다 — 관점을 바꿔도($gng^{-1}=n$, 가환이므로) 아무것도 안 변하기 때문이다. 비가환군에서 정규부분군은 특별하고 드문 존재이며, 그 희소성이 오히려 군의 구조에 대한 정보를 담고 있다 — 정규부분군이 하나도 없는 (자명한 것 제외) 군을 단순군(simple group)이라 부르는데, 이는 군을 "더 쪼갤 수 없는" 원자적 구성요소로 만든다.

정의

$N\le G$ 가 정규부분군(normal subgroup), 기호 $N\trianglelefteq G$:1 $$gNg^{-1}=N\quad\forall g\in G.$$

동치 조건 설명
$gNg^{-1}=N,\ \forall g$ 원 정의
$gNg^{-1}\subseteq N,\ \forall g$ 포함관계만으로 충분(양방향 적용하면 등식)
$gN=Ng,\ \forall g$ 왼쪽 잉여류 = 오른쪽 잉여류 (집합으로서)
$N=\ker\varphi$ (어떤 준동형 $\varphi$) 정규부분군 특징화(아래 정리)

정규일 때, 잉여류들의 집합 $G/N=\{gN:g\in G\}$ 위에 $$(aN)(bN):=abN$$ 로 연산을 주면 몫군(quotient group)이 된다.2 항등원은 $N$(=$eN$), $(gN)^{-1}=g^{-1}N$.

주의: $N\trianglelefteq G$ 표기는 "정규부분군"을 뜻하며 $N\le G$(그냥 부분군)보다 강한 조건이다. 모든 정규부분군은 부분군이지만 역은 성립하지 않는다.

주요 정리

정리 (연산의 well-defined성 $\iff$ 정규성). $(aN)(bN)=abN$ 이 대표원 선택에 무관하게 정의되려면 $N\trianglelefteq G$ 가 필요충분이다.3

증명 보기

증명. ($\Leftarrow$) $N$ 정규, $a'=an_1$, $b'=bn_2$ ($n_1,n_2\in N$)라 하자. $a'b'=an_1bn_2=ab(b^{-1}n_1b)n_2$. $N$ 정규이므로 $b^{-1}n_1b\in N$, 따라서 $a'b'=ab\cdot n'$ ($n'=(b^{-1}n_1b)n_2\in N$) → $a'b'N=abN$. ($\Rightarrow$) well-defined라 가정. $n\in N$, $g\in G$ 임의로 고정. $a=g$, $a'=gn$ 은 같은 잉여류($a'N=gnN=gN$, $nN=N$이므로). $b=g^{-1}$, $b'=g^{-1}$(그대로) 로 두면, well-defined성에 의해 $ab N=a'b'N$, 즉 $eN=gng^{-1}N$ → $gng^{-1}\in N$. $g,n$ 임의였으므로 $gNg^{-1}\subseteq N$, 모든 $g$ 에 적용($g^{-1}$ 로도) 하면 등식. ∎

정리 (핵은 정규, 역도 성립). 군 준동형 $\varphi:G\to G'$ 의 핵 $\ker\varphi=\{g\in G:\varphi(g)=e'\}$ 는 항상 $G$ 의 정규부분군이다. 역으로 모든 정규부분군 $N\trianglelefteq G$ 는 어떤 준동형의 핵이다 — 자연사상(natural map) $\pi:G\to G/N$, $\pi(g)=gN$ 의 핵이 정확히 $N$.4

증명 보기

증명. $\ker\varphi$ 가 부분군임은 표준. 정규성: $n\in\ker\varphi$, $g\in G$ 임의 → $\varphi(gng^{-1})=\varphi(g)\varphi(n)\varphi(g)^{-1}=\varphi(g)e'\varphi(g)^{-1}=e'$ → $gng^{-1}\in\ker\varphi$. 역방향: $\pi(g)=gN$ 은 준동형($\pi(gh)=ghN=(gN)(hN)=\pi(g)\pi(h)$, 몫군 연산의 정의 그대로), $\pi(g)=N\iff gN=N\iff g\in N$ → $\ker\pi=N$. ∎ (이 대응이 제1동형정리의 토대다: $G/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi$.)

정리 (정규성의 충분조건들). 다음은 각각 $N\trianglelefteq G$ 를 보장한다:5 1. $[G:N]=2$ (지수 2); 2. $G$ 가 아벨군이면 모든 부분군; 3. $N=Z(G)$ (중심, $Z(G)=\{z\in G: zg=gz\ \forall g\}$).

증명 보기

증명(1, 지수2). $g\notin N$ 이면 $gN$ 과 $Ng$ 는 둘 다 $N$ 의 여집합 전체와 같다(지수가 2이므로 잉여류가 $N$과 그 여집합 단 두 개뿐, 왼쪽·오른쪽 모두). $g\in N$ 이면 $gN=N=Ng$ 자명. 두 경우 모두 $gN=Ng$ → 정규. ∎ 증명(3, 중심). $z\in Z(G)$, $g\in G$ → $gzg^{-1}=zgg^{-1}=z\in Z(G)$(중심의 정의로 교환 가능) → $gZ(G)g^{-1}\subseteq Z(G)$, 등식도 마찬가지 논증. ∎

정리 (몫군의 위수). $N\trianglelefteq G$, $G$ 유한이면 $|G/N|=[G:N]=|G|/|N|$ (Lagrange 정리의 직접 결과).6

예제

예제 1 ($\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, 원형). $\mathbb{Z}$ 는 아벨군이라 모든 부분군 $n\mathbb{Z}$ 가 정규. 몫군 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{0+n\mathbb{Z},1+n\mathbb{Z},\dots,(n-1)+n\mathbb{Z}\}\cong\mathbb{Z}_n$ — 정수의 나머지 연산이 바로 이 몫군의 연산이다.

예제 2 (교대군, $A_n\trianglelefteq S_n$). $\operatorname{sgn}:S_n\to\{\pm1\}$ 이 준동형이고 $A_n=\ker(\operatorname{sgn})$ → 정규(위 정리로 자동). $[S_n:A_n]=2$(지수2 정리로도 확인). $S_n/A_n\cong\mathbb{Z}_2$ — "부호"만 남기고 나머지를 뭉갠 몫군.

예제 3 (비정규 부분군, $S_3$). $H=\langle(1\,2)\rangle=\{e,(1\,2)\}\le S_3$. $(1\,3)(1\,2)(1\,3)^{-1}=(1\,3)(1\,2)(1\,3)=(2\,3)\notin H$ → $H$ 는 정규가 아니다(지수 3, 위 충분조건 어느 것도 적용 안 됨). 잉여류 $gHg^{-1}$ 를 $g$ 마다 계산하면 $\{e,(1\,2)\},\{e,(1\,3)\},\{e,(2\,3)\}$ 세 가지 서로 다른 부분군이 나온다 — "관점에 따라 다르게 보이는" 비정규성의 전형.

예제 4 (특수선형군, $SL_n\trianglelefteq GL_n$). $\det:GL_n(F)\to F^\times$ 는 준동형($\det(AB)=\det A\det B$), $SL_n(F)=\ker(\det)=\{A:\det A=1\}$ → 정규. $GL_n(F)/SL_n(F)\cong F^\times$(행렬식만 남기고 나머지를 뭉갬).

예제 5 (중심을 이용한 정규부분군, $D_4$). 정사각형의 대칭군 $D_4=\{e,r,r^2,r^3,f,rf,r^2f,r^3f\}$(위수 8, $r$=90도 회전, $f$=반사). 중심 $Z(D_4)=\{e,r^2\}$(180도 회전만 모든 것과 교환) → 정규(중심이므로 자동). 몫군 $D_4/Z(D_4)$ 는 위수 4, 계산해 보면 Klein 4군과 동형($D_4$ 는 비아벨이지만 $Z$ 로 나누면 아벨이 되는 예).

예제 6 (정규부분군의 교집합). $N_1,N_2\trianglelefteq G$ 이면 $N_1\cap N_2\trianglelefteq G$. 확인: $g(N_1\cap N_2)g^{-1}=gN_1g^{-1}\cap gN_2g^{-1}=N_1\cap N_2$(각각 정규이므로). 이는 두 준동형의 핵의 교집합이 다시 어떤 준동형(곱사상)의 핵이라는 사실과 상응한다.

흔한 오해와 함정

큰 그림 / 연결

정규부분군·몫군은 환의 아이디얼·몫환 이야기와 정확히 평행하다 — "구조를 보존하는 사상의 핵"이라는 하나의 패턴이 환에서는 아이디얼로, 군에서는 정규부분군으로 나타난다. 이 패턴은 동형정리 전체($G/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi$)의 토대이며, Sylow 정리에서 Sylow $p$-부분군이 유일할 때(곧 $n_p=1$일 때) 그것이 정규가 되어 군을 $G\cong H\times K$ 꼴로 분해하는 데 결정적으로 쓰인다. 가장 심오한 응용은 Galois 이론의 기본정리다 — 체확장의 중간체가 $F$ 위 정규(=Galois) 확장이 되는 조건이 정확히 대응하는 부분군이 Galois 군 안에서 정규부분군이 되는 조건과 일치한다. 더 나아가 정규부분군의 열(정규열) 각 몫이 아벨군이 되는지가 가해군의 정의이며, 이것이 5차 방정식의 근의 공식이 왜 없는지를 설명하는 열쇠가 된다. 정규부분군이 하나도 없는(자명한 것 제외) 단순군은 $A_n$($n\ge5$)이 대표적 예로, 바로 이 단순성이 5차 방정식의 비가해성을 만든다.

연습문제

  1. $\mathbb{Z}_{12}/\langle4\rangle$ 의 위수와 구조(어떤 순환군과 동형인지)를 구하라.
  2. 아벨군의 모든 부분군이 정규임을 정의로부터 직접 보여라.
  3. $S_3$ 의 모든 부분군 중 정규부분군을 찾아라(전부 나열).
  4. 몫군 연산 $(aN)(bN)=abN$ 이 well-defined이려면 $N$ 이 정규여야 함을 (본문 증명과 별도로) 구체적 반례로 확인하라 — 예제 3의 $H$ 를 이용.
  5. $G/Z(G)$ 가 순환군이면 $G$ 가 아벨군임을 보여라.
  6. $N\trianglelefteq G$, $H\le G$ 이면 $NH=\{nh:n\in N,h\in H\}$ 가 $G$ 의 부분군임을 보여라.
  7. $D_4/Z(D_4)$ 가 Klein 4군과 동형임을 직접 곱셈표로 확인하라.
  8. $N_1,N_2\trianglelefteq G$ 이면 $N_1N_2\trianglelefteq G$ 임을 보여라.
정답·힌트
  1. $\langle4\rangle=\{0,4,8\}$, $|\mathbb{Z}_{12}/\langle4\rangle|=12/3=4$; $1+\langle4\rangle$ 의 위수를 확인하면($4\cdot(1+\langle4\rangle)=4+\langle4\rangle=0+\langle4\rangle$이고 그보다 작은 배수는 0이 안 됨) 위수 4 → $\mathbb{Z}_4$ 와 동형.
  2. $G$ 아벨, $N\le G$ 임의, $g\in G$, $n\in N$ → $gng^{-1}=n(gg^{-1})=n\in N$(교환법칙으로 $g$와 $n$ 순서 바꿈) → $gNg^{-1}\subseteq N$, 등식.
  3. $\{e\}$, $A_3=\{e,(123),(132)\}$(지수2), $S_3$ 자신 — 이 세 개뿐. 위수2 부분군 $\{e,(ij)\}$ 세 개는 모두 비정규(예제 3).
  4. $H=\{e,(1\,2)\}$, $a=e,b=e$ 로 $aH=H$, $bH=H$; 대표원을 $a'=(1\,2)\in aH$, $b'=e\in bH$ 로 바꾸면 $a'b'=(1\,2)$, $abH=H$ 인데 $a'b'H=(1\,2)H=\{(1\,2),e\}=H$ — 이 경우엔 우연히 같지만, $b'=(1\,3)$(다른 대표원 선택 시도, 단 $(1\,3)\notin b H=H$이므로 이건 애초에 성립하지 않는 대표원 선택임에 주의) 등 실제로 $a=(1\,3), a'=(1\,3)(1\,2)=(1\,2\,3)\cdot$... 핵심은 본문 증명의 일반논증: $N$ 비정규면 어떤 $n,g$ 에 대해 $gng^{-1}\notin N$ 이 존재하고 이것이 대표원을 바꿀 때 다른 잉여류를 준다.
  5. $G/Z=\langle gZ\rangle$ 라 하면 임의 원소는 $g^iZ$ 꼴, 즉 $G$ 의 임의 원소는 $g^iz$ ($z\in Z$) 꼴. 두 원소 $g^iz_1,g^jz_2$ 의 곱: $g^iz_1g^jz_2=g^ig^jz_1z_2$(중심원소라 이동 자유) $=g^{i+j}z_1z_2$, 반대 순서로 곱해도 $g^{j+i}z_2z_1=g^{i+j}z_1z_2$(같음, $\mathbb{Z}$ 덧셈 교환 + $z_1z_2=z_2z_1$) → 교환법칙 성립 → $G$ 아벨.
  6. 닫혀있음: $(n_1h_1)(n_2h_2)=n_1(h_1n_2h_1^{-1})h_1h_2$, $h_1n_2h_1^{-1}\in N$(정규성, $N$ 은 $G$ 전체에 대해 정규이므로 $H$ 의 원소로 켤레해도 $N$ 안에 남음) → 전체가 $N\cdot(NH$ 꼴$)\subseteq NH$. 항등원 $e=ee\in NH$. 역원 $(nh)^{-1}=h^{-1}n^{-1}=(h^{-1}n^{-1}h)h^{-1}\in NH$(정규성으로 $h^{-1}n^{-1}h\in N$).
  7. $D_4/Z=\{Z,rZ,fZ,rfZ\}$(대표원 $e,r,f,rf$), 각 원소 제곱: $(rZ)^2=r^2Z=Z$(∵$r^2\in Z$), $(fZ)^2=f^2Z=eZ=Z$, $(rfZ)^2=(rf)^2Z=eZ=Z$(∵$(rf)^2=e$, 반사는 위수2) → 모든 비항등원소 위수2, 위수4 → Klein 4군.
  8. $N_1N_2$ 가 부분군임은 연습6과 비슷(양쪽 정규 이용). 정규성: $g(N_1N_2)g^{-1}=(gN_1g^{-1})(gN_2g^{-1})=N_1N_2$(각각 정규이므로 개별 켤레가 자기 자신).

관련 개념

  1. 원전 소개 — Hungerford §8.2 [synthesis] — 정규부분군 정의($gNg^{-1}=N$), 동치조건($gN=Ng$). ↩

  2. 원전 소개 — Hungerford §8.3 [synthesis] — 몫군 정의, 연산 $(aN)(bN)=abN$. ↩

  3. 원전 소개 — Hungerford §8.3 [synthesis] — 연산의 well-defined성이 정규성과 동치임의 증명. ↩

  4. 원전 소개 — Hungerford §8.2, §8.4 [synthesis] — 핵의 정규성, 자연사상 $\pi:G\to G/N$, 역방향(모든 정규부분군은 어떤 핵). ↩

  5. 원전 소개 — Hungerford §8.2 [synthesis] — 정규성의 충분조건(지수2, 아벨군의 부분군, 중심). ↩

  6. 원전 소개 — Hungerford §8.3 [synthesis] — 몫군의 위수, Lagrange 정리의 결과. ↩