VII. 갈루아 이론 · 16/16

갈루아 이론

갈루아 군, 갈루아 대응, 5차 방정식의 불가해성

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

이 책 전체가 향해 온 정점이 여기다. 군과 체는 지금까지 서로 다른 이야기처럼 보였지만, Galois 이론은 둘을 완벽하게 하나로 묶는다: 체확장 $E/F$ 의 중간체들과 그 확장의 대칭군(자기동형군)의 부분군들 사이에 포함관계가 뒤집힌 일대일 대응이 존재한다는 것이다. 이 "사전(dictionary)"이 왜 중요한가 — 체론의 질문("이 다항식은 근호로 풀리는가? 이 각은 삼등분 가능한가?")이 순수 군론의 질문("이 군은 가해군인가? 이 군은 소수 위수 순환군들로만 이루어져 있는가?")으로 정확하게 번역되기 때문이다. 군론은 유한 대상이라 계산·분류가 가능한 반면, 체론의 무한한 대수적 질문들은 손대기 어려웠다 — Galois의 통찰은 이 무한한 문제를 유한한 군론 문제로 압축하는 사전을 만든 것이다. 이 페이지가 5차방정식에 근의 공식이 없다는 사실을 증명하는 마지막 도구가 된다.

직관

Galois 군을 이해하는 가장 직접적인 방법은 "근을 다시 근으로 보내는, 산술을 보존하는 재배열"이다. $x^3-2$ 의 세 근 $\sqrt[3]2,\omega\sqrt[3]2,\omega^2\sqrt[3]2$ 을 생각하면, 이 근들을 서로 뒤바꾸면서도 $\mathbb{Q}$ 의 모든 계산 규칙(덧셈·곱셈)을 존중하는 방법이 몇 가지나 있는지 세는 것이 Galois 군을 계산하는 것과 같다 — 답은 정확히 $S_3$(6가지), 근 3개의 가능한 모든 순열이 실제로 대칭으로 실현된다. 기본정리의 대응은 "고정한다"는 관계로 자연스럽게 나온다: 부분군 $H$ 가 작을수록(적은 대칭만 허용) 그 대칭들이 모두 고정하는 원소들의 집합(고정체 $E^H$)은 커진다 — 자유도를 덜 포기할수록 더 많은 원소가 "가만히 있게" 되는 것이다. 반대로 $H=G$(모든 대칭 허용)이면 고정체는 가장 작은 $F$ 가 되고, $H=\{e\}$(대칭 전혀 없음)이면 고정체는 전체 $E$ 가 된다 — 이 "포함관계 반전"이 대응의 핵심 그림이다. 정규부분군에 대응하는 중간체가 특별히 "Galois 확장"(그 자체로도 대칭이 풍부한 확장)이 되는 이유도 직관적이다: 정규부분군은 "관점에 무관하게 똑같이 보이는" 부분군이었는데, 이 관점 무관성이 중간체 위에서도 대칭군이 "잘 정의되는(몫군으로 내려오는)" 조건과 정확히 일치한다.

정의

자기동형(automorphism): 체 $E$ 에서 자기 자신으로 가는 (환) 동형사상. Galois 군 $\operatorname{Gal}(E/F)$: $F$ 의 모든 원소를 고정하는 $E$ 의 자기동형 전체, 합성 아래 군을 이룸.¹
Galois 확장: 다음 동치 조건 중 하나(모두)를 만족하는 유한확장 $E/F$: (a) $E$ 가 $F$ 위 어떤 분리다항식의 분해체(splitting and finite fields); (b) $|\operatorname{Gal}(E/F)|=[E:F]$; (c) $E^{\operatorname{Gal}(E/F)}=F$(고정체가 정확히 밑체).
고정체(fixed field) $E^H=\{a\in E:\sigma(a)=a\ \ \forall\sigma\in H\}$($H\le\operatorname{Gal}(E/F)$ 에 대해 정의).
정규화된 대응: $K\mapsto\operatorname{Gal}(E/K)$(중간체 → 부분군), $H\mapsto E^H$(부분군 → 중간체) — 서로 역사상.

주의: "Galois 확장"이라는 용어는 (a),(b),(c) 세 조건이 실제로 서로 동치임을 증명해야 의미가 있다 — 이 동치성 자체가 Galois 이론의 기초 정리 중 하나(증명은 분리다항식의 근의 개수를 세는 논증에 의존, 이 위키에서는 결과만 사용).

주요 정리

정리 (Galois 확장에서 군의 크기 = 확장차수). $E/F$ 가 유한 Galois 확장이면 $|\operatorname{Gal}(E/F)|=[E:F]$.²

증명 보기

증명 스케치. $E$ 가 분리다항식 $f$ 의 분해체라 하면, $\operatorname{Gal}(E/F)$ 의 원소는 $f$ 의 근들의 순열과 정확히 대응한다(자기동형이 근을 근으로 보내고, 근들이 $E$ 를 생성하므로 근 위의 작용이 전체를 결정). 분리성(중근 없음)으로 근의 개수가 정확히 $[E:F]$ 와 맞아떨어지는 조합적 계산(단순확장 단계별로 뻗어나가며 각 단계마다 가능한 확장 개수를 세는 귀납적 논증, 단순대수확장의 구조와 분해체의 유일성을 반복 사용)으로 등식을 얻는다.

정리 (Galois 이론의 기본정리, Fundamental Theorem). $E/F$ 가 유한 Galois 확장, $G=\operatorname{Gal}(E/F)$ 라 하면, 다음 두 대응은 서로 역인 포함관계 역전 전단사를 이룬다:³ $$\{K: F\subseteq K\subseteq E,\ K\text{ 체}\} \;\longleftrightarrow\; \{H: H\le G\},$$ $$K\longmapsto\operatorname{Gal}(E/K),\qquad H\longmapsto E^H.$$ 이 대응 아래: $$[E:K]=|H|,\qquad [K:F]=[G:H],$$ $$K/F\text{ Galois 확장} \iff H\trianglelefteq G,\quad\text{이때}\quad\operatorname{Gal}(K/F)\cong G/H.$$

증명 보기

증명 스케치(핵심 아이디어만). 대응이 서로 역임: $E^{\operatorname{Gal}(E/K)}=K$ 는 $E/K$ 도 Galois 확장이라는 사실(분해체 조건이 밑체를 $K$ 로 올려도 유지됨)에서, $\operatorname{Gal}(E/E^H)=H$ 는 Artin의 보조정리(유한 자기동형군의 고정체 위에서 $[E:E^H]=|H|$ 라는 별도 정리, 선형독립성 논증으로 증명)에서. 차수 공식: $[E:K]=|\operatorname{Gal}(E/K)|=|H|$ 는 위 정리를 $E/K$ 에 적용; $[K:F]=[E:F]/[E:K]=|G|/|H|=[G:H]$(탑 정리+Lagrange). 정규성 대응: ($\Rightarrow$) $\sigma\in G$ 임의, $\sigma K$($\sigma$ 를 $K$ 에 제한한 것으로 얻는 체)가 다시 $F$ 위 같은 최소다항식들의 근을 담으므로 $\sigma K=K$(분해체의 유일성) → $\sigma$ 가 $K$ 를 보존 → $\sigma H\sigma^{-1}$ 이 $\operatorname{Gal}(E/\sigma K)=\operatorname{Gal}(E/K)=H$ 와 같음 → $H\trianglelefteq G$. 반대 방향도 비슷한 논증. 몫군 동형: 사상 $G\to\operatorname{Gal}(K/F)$, $\sigma\mapsto\sigma|_K$(제한사상)가 준동형이고 핵이 정확히 $H$($K$ 를 고정하는 원소들) → 제1동형정리로 $G/H\hookrightarrow\operatorname{Gal}(K/F)$, 차수를 비교하면($[G:H]=[K:F]=|\operatorname{Gal}(K/F)|$, $K/F$ 도 Galois이므로) 전사 → 동형. ∎ (이 정리가 이 위키 전체의 정점 — 체론의 대수적 문제를 유한군론의 조합적 문제로 완전히 번역한다.)

예제

예제 1 (복소수, 가장 작은 비자명 사례). $\operatorname{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\mathrm{id},\text{켤레}\}\cong\mathbb{Z}_2$($a+bi\mapsto a-bi$ 가 유일한 비자명 자기동형, $\mathbb{R}$ 고정 확인 자명). $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2=|\operatorname{Gal}|$ ✓(Galois 확장, $x^2+1$ 의 분해체이자 분리적).

예제 2 ($\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ 완전 대응). $E=\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3)$, $[E:\mathbb{Q}]=4$(vector-spaces 예제 3). $G=\operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q})$: 자기동형은 $\sqrt2\mapsto\pm\sqrt2$, $\sqrt3\mapsto\pm\sqrt3$ 을 독립적으로 선택(각 선택이 실제로 자기동형을 정의 — 근들의 최소다항식이 같은 형태라 산술 보존 확인 가능), 총 $2\times2=4$ 가지 → $|G|=4=[E:\mathbb{Q}]$ ✓, $G\cong\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$(각 생성원이 자기 자신의 역, 아벨). 부분군 5개 ↔ 중간체 5개: $\{e\}\leftrightarrow E$, 세 위수2 부분군 $\leftrightarrow\mathbb{Q}(\sqrt2),\mathbb{Q}(\sqrt3),\mathbb{Q}(\sqrt6)$, $G\leftrightarrow\mathbb{Q}$. $G$ 가 아벨이므로 모든 부분군이 정규 → 모든 중간체가 $\mathbb{Q}$ 위 Galois(기본정리로 확인).

예제 3 ($x^3-2$ 의 Galois 군, 비아벨 사례). $E=\mathbb{Q}(\sqrt[3]2,\omega)$(splitting-and-finite-fields 예제 2), $[E:\mathbb{Q}]=6$. 세 근 $\sqrt[3]2,\omega\sqrt[3]2,\omega^2\sqrt[3]2$ 의 임의 순열이 자기동형으로 실현되어 $\operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q})\cong S_3$(위수6, $|G|=6=[E:\mathbb{Q}]$ ✓). $S_3$ 의 유일한 진정규부분군 $A_3$(위수3)에 대응하는 중간체는 $[E:K]=3$, $[K:\mathbb{Q}]=2$ 인 $K=\mathbb{Q}(\omega)$(정규 대응, $A_3\trianglelefteq S_3$ 이므로 $\mathbb{Q}(\omega)/\mathbb{Q}$ 가 Galois — 실제로 $\mathbb{Q}(\omega)$ 는 $x^2+x+1$ 의 분해체). 비정규 부분군(위수2, 예: $\langle(\sqrt[3]2\leftrightarrow\omega\sqrt[3]2 \text{ 교환})\rangle$)에 대응하는 중간체 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)$ 는 $\mathbb{Q}$ 위 Galois가 아니다($x^3-2$ 의 다른 두 근이 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)\subset\mathbb{R}$ 안에 없으므로 — 분해체가 아님).

예제 4 (유한체의 Frobenius, 순환 Galois 군). $\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p)=\langle\phi\rangle\cong\mathbb{Z}_n$($\phi(a)=a^p$, Frobenius 자기동형). 이는 유한체가 항상 Galois 확장(분리다항식 $x^{p^n}-x$ 의 분해체)이라는 사실과 정확히 부합 — $|\operatorname{Gal}|=n=[\mathbb{F}_{p^n}:\mathbb{F}_p]$.

예제 5 (원분확장, 아벨 Galois 군). $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_5)/\mathbb{Q})\cong\mathbb{Z}_4$(원시 5제곱근 $\zeta_5\mapsto\zeta_5^k$, $k\in\{1,2,3,4\}=\mathbb{Z}_5^\times$, 곱셈군 구조가 그대로 Galois 군 구조 — $\mathbb{Z}_5^\times$ 가 순환이므로). 일반적으로 $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q})\cong\mathbb{Z}_n^\times$(원분확장의 Galois 군은 항상 아벨) — 이 사실이 근호확장의 Galois 군이 항상 아벨이라는 가해성 정리 증명의 핵심 재료가 된다.

예제 6 (비Galois 확장, 함정 확인). $\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)/\mathbb{Q}$ 는 Galois 확장이 아니다(예제 3에서 이미 언급) — $[E:F]=3$ 인데 $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)/\mathbb{Q})=\{\mathrm{id}\}$ 뿐이다(실수체 안에서 $\sqrt[3]2$ 를 다른 근으로 보내는 자기동형이 존재하지 않음 — 다른 근들이 허수이므로 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)\subset\mathbb{R}$ 밖에 있음). $|\operatorname{Gal}|=1\ne3=[E:F]$ — Galois 조건이 깨지는 구체적 사례.

흔한 오해와 함정

모든 유한확장이 Galois라고 가정 — 예제 6이 표준 반례. Galois이려면 분해체(모든 근을 포함)이면서 분리적이어야 한다. $F(u)$ 꼴의 단순확장이 $u$ 의 최소다항식의 다른 근을 포함하지 않으면 Galois가 아니다.
$|\operatorname{Gal}(E/F)|$ 을 무조건 $[E:F]$ 와 같다고 가정 — 이 등식은 Galois 확장에서만 성립한다(정의의 동치조건 (b) 자체가 그 등식). 비Galois면 $|\operatorname{Gal}(E/F)|<[E:F]$(예제 6, $1<3$).
기본정리의 대응을 "포함관계 보존"으로 오해 — 대응은 포함관계를 뒤집는다: 중간체가 클수록(더 많은 원소) 대응하는 부분군은 작다(더 적은 대칭, 고정할 것이 많아서). $F\subseteq K\subseteq E$ 이면 $\{e\}\le\operatorname{Gal}(E/K)\le\operatorname{Gal}(E/F)=G$.
"정규부분군 ↔ 정규확장"에서 "정규확장"을 "정규부분군을 가진 확장"으로 오해 — 여기서 "$K/F$ 가 Galois(=정규+분리)"라는 것은 $K$ 가 $F$ 위에서 그 자체로 분해체 조건을 만족한다는 뜻이지, $K$ 안에 무슨 부분군이 있다는 뜻이 아니다(체에는 "부분군"이 없다) — 대응하는 것은 어디까지나 $\operatorname{Gal}(E/K)\le G$ 라는 부분군이다.
자기동형군을 "모든 체 자기사상"으로 오해 — Galois 군은 $F$ 를 고정하는 자기동형만 모은 것이다. $E$ 전체의 자기동형 중 $F$ 를 고정하지 않는 것은 포함되지 않는다(대부분의 응용에서 $F$ 는 $\mathbb{Q}$ 또는 소체라 자동으로 고정되지만, 일반적으로는 조건을 명시해야 함).
몫군 동형 $\operatorname{Gal}(K/F)\cong G/H$ 를 아무 중간체에나 적용 — 이 동형은 $K$ 에 대응하는 $H$ 가 정규일 때만 성립한다(기본정리 진술 자체가 그 조건을 명시). 비정규 $H$ 에 대응하는 $K$ 는 애초에 $\operatorname{Gal}(K/F)$ 라는 군 자체가 (Galois가 아니라서) 기대한 크기로 존재하지 않을 수 있다.

큰 그림 / 연결

Galois 이론은 이 위키의 두 큰 흐름 — 환·체와 군 — 이 만나 하나가 되는 지점이다. 분해체가 무대를 제공하고, 정규부분군·몫군 이론이 대응의 "정규성" 조건을 정확히 설명하며, 근의 순열로서의 Galois 군이 이 모든 것을 구체적으로 계산 가능하게 만든다(예제 3의 $S_3$). 이 기본정리의 가장 유명한 응용이 근호에 의한 가해성이다 — 다항식이 근호로 풀리는지가 정확히 그 Galois 군이 가해군인지로 번역되고, $S_5$($n\ge5$의 대칭군)가 가해가 아니라는 순수 군론적 사실(대칭군의 구조)이 일반 5차방정식에 근의 공식이 없다는, 300년 가까이 미해결이었던 문제에 마침표를 찍는다. 더 나아가 이 이론은 정17각형의 작도가능성(Gauss, 원분확장의 Galois 군이 $2$ 의 거듭제곱 위수 아벨군일 때) 같은 고전 기하 문제도 완전히 해결하며, 현대 정수론(numbertheory 위키)의 대수적 정수론·유체론(class field theory)은 이 대응을 무한확장·국소체로 확장한 것이다.

연습문제

$\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt2)/\mathbb{Q})$ 를 구하라.
$\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3)/\mathbb{Q}$ 의 모든 중간체를 부분군 대응으로 찾아라(예제 2를 스스로 재구성).
$\operatorname{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p)$ 가 위수 $n$ 순환군임을 Frobenius 사상으로 보여라.
기본정리에서 "$K/F$ Galois $\iff H\trianglelefteq G$"를 예제 2($\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$)로 확인하라.
$x^3-2$ 의 Galois 군이 $S_3$ 임을 근의 순열로 설명하라(예제 3을 스스로 재구성).
$\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)/\mathbb{Q}$ 가 Galois 확장이 아님을 $|\operatorname{Gal}|$ 계산으로 확인하라.
$\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_5)/\mathbb{Q})\cong\mathbb{Z}_4$ 임을 원시근의 거듭제곱으로의 사상을 이용해 보여라.
$E/F$ 가 Galois, $[E:F]=p$(소수)이면 $\operatorname{Gal}(E/F)$ 가 반드시 순환군임을 보여라.

정답·힌트

$\sqrt2\mapsto\pm\sqrt2$(다른 근이 없으므로 이 둘만 가능, 각각 산술 보존 확인) → $\{\mathrm{id},\sqrt2\mapsto-\sqrt2\}\cong\mathbb{Z}_2$.
$G=\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2=\{e,\sigma,\tau,\sigma\tau\}$($\sigma:\sqrt2\mapsto-\sqrt2$ 고정 $\sqrt3$; $\tau$: 반대). 부분군: $\{e\}\leftrightarrow E$; $\{e,\sigma\}\leftrightarrow\mathbb{Q}(\sqrt3)$(고정); $\{e,\tau\}\leftrightarrow\mathbb{Q}(\sqrt2)$; $\{e,\sigma\tau\}\leftrightarrow\mathbb{Q}(\sqrt6)$($\sigma\tau$ 가 둘 다 부호를 바꾸므로 곱 $\sqrt6$ 고정); $G\leftrightarrow\mathbb{Q}$.
Frobenius $\phi(a)=a^p$ 는 자기동형($\mathbb{F}_p$ 를 고정, $a^p=a$ Fermat), $\phi^k(a)=a^{p^k}$, $\phi^n=\mathrm{id}$(모든 $a\in\mathbb{F}_{p^n}$ 에 $a^{p^n}=a$, 정의적 성질), $\phi^k\ne\mathrm{id}$($k<n$, $x^{p^k}-x$ 는 근이 최대 $p^k<p^n$개라 전체를 고정 못함) → $\phi$ 의 위수 정확히 $n$ → $\langle\phi\rangle$ 이 위수 $n$ 부분군, $|\operatorname{Gal}|=[\mathbb{F}_{p^n}:\mathbb{F}_p]=n$(Galois 확장이므로) → $\langle\phi\rangle=\operatorname{Gal}$, 순환.
$G=\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ 는 아벨 → 모든 부분군 자동 정규 → 기본정리로 모든 대응 중간체($\mathbb{Q}(\sqrt2),\mathbb{Q}(\sqrt3),\mathbb{Q}(\sqrt6)$)가 $\mathbb{Q}$ 위 Galois — 각각 $[K:\mathbb{Q}]=2$ 인 단순 이차확장이라 (해당 원소의 두 근 모두 포함) 실제로 분해체 조건을 만족함을 직접 확인 가능.
$E=\mathbb{Q}(\sqrt[3]2,\omega)$ 가 $x^3-2$ 의 분해체(세 근 모두 포함) → Galois. $\operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q})$ 의 각 원소는 세 근을 다른 근으로 보내는 사상(최소다항식이 같으므로 근끼리만 대응 가능)이고, $|\operatorname{Gal}|=[E:\mathbb{Q}]=6=|S_3|$이며 실제로 모든 순열이 실현됨(각 순열이 정합적인 자기동형을 정의함을 확인) → $\operatorname{Gal}(E/\mathbb{Q})\cong S_3$.
$\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)\subset\mathbb{R}$; $x^3-2$ 의 다른 두 근 $\omega\sqrt[3]2,\omega^2\sqrt[3]2$ 은 허수라 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]2)$ 밖 → 이 확장 위의 자기동형은 $\sqrt[3]2$ 를 실수인 근으로만 보낼 수 있는데 실근이 $\sqrt[3]2$ 하나뿐 → $\sqrt[3]2$ 고정 → 자기동형은 항등뿐 → $|\operatorname{Gal}|=1\ne3=[E:\mathbb{Q}]$ → Galois 아님.
$\sigma_k:\zeta_5\mapsto\zeta_5^k$($k=1,2,3,4$, $\gcd(k,5)=1$)가 각각 자기동형(원분다항식의 다른 근으로 보냄), 합성 $\sigma_k\sigma_j=\sigma_{kj\bmod5}$(지수법칙) → $\operatorname{Gal}\cong(\mathbb{Z}_5^\times,\times)$; $\mathbb{Z}_5^\times=\{1,2,3,4\}$ 는 위수4 순환(생성원 2: $2,4,3,1$) → $\cong\mathbb{Z}_4$.
$|\operatorname{Gal}(E/F)|=[E:F]=p$(Galois이므로), 위수 $p$(소수) 군은 항상 순환(Lagrange로 부분군이 자명한 것뿐이라 임의 비항등원소가 전체를 생성).