체 확대

개요 — 동기·문제의식

$x^2-2$ 는 $\mathbb{Q}$ 안에서 근이 없다. 이 "결핍"을 고치는 자연스러운 방법은 무엇일까? 임시방편으로 기호 $\sqrt2$ 를 하나 도입해 $\mathbb{Q}$ 에 "붙이고", 체 공리가 유지되도록 산술 규칙을 정하는 것 — 이것이 체확장의 핵심 발상이다. 놀랍게도 이 과정은 즉흥적 트릭이 아니라 [[quotient-rings-and-isomorphism|$F[x]/(\text{기약다항식})$]]이라는 완전히 대수적인 구성으로 엄밀하게 정당화된다: 기약다항식 $m(x)$ 로 몫환을 만들면 자동으로 체가 되고, $x$ 의 잉여류가 정확히 "새로 추가된 근" 역할을 한다. 이렇게 만들어진 확장의 "크기"를 벡터공간 차원으로 재는 것이 확장차수 $[E:F]$ 이며, 이 숫자에 대한 곱셈 법칙(탑 정리)이 이후 모든 계산의 엔진이 된다. 이 도구로 고대 그리스의 3대 작도불능 문제(배적·삼등분·원적)를 대수적으로 해결할 수 있고, 궁극적으로 Galois 이론 전체의 무대를 마련한다.

직관

체확장을 짓는 과정을 "언어에 새 단어를 추가하는 것"으로 비유할 수 있다. $\mathbb{Q}$ 라는 "언어"에는 $\sqrt2$ 를 표현할 어휘가 없다. $\sqrt2$ 라는 새 기호를 도입하고, 기존 문법(체의 공리)이 계속 성립하도록 그 기호가 만족해야 하는 최소한의 규칙("$\sqrt2$ 의 제곱은 2")만 강제하면, 자동으로 $a+b\sqrt2$ 꼴의 모든 "문장"이 의미를 갖게 된다 — 이것이 $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ 다. 핵심은 "최소한의 규칙"이라는 부분인데, 이것이 정확히 최소다항식이다: $\sqrt2$ 가 만족하는 가장 낮은 차수의 다항식 관계식($x^2-2=0$)이 그 원소가 만들어내는 확장의 "크기"(=차수)를 완전히 결정한다. 대수적 원소($\sqrt2$)는 유한한 규칙으로 통제되는 반면, 초월적 원소($\pi$)는 어떤 다항식 관계도 만족하지 않아 "완전히 자유로운 새 변수"를 추가하는 것과 같다 — 이 경우 확장은 무한차원이 되고, 사실상 유리함수체를 짓는 것과 동치가 된다. 탑 정리는 이 "언어 확장"을 여러 단계로 나누어도(먼저 $\sqrt2$ 를 추가하고 그다음 $\sqrt3$ 를 추가) 최종 크기가 각 단계 크기의 곱이 된다는, 직관적으로 자연스럽지만 증명이 필요한 사실이다.

정의

$F\subseteq E$ 가 둘 다 체(같은 연산 아래)이면 $E$ 를 $F$ 의 확장(extension)이라 하고 $E/F$ 로 쓴다.¹

주의: "대수적"이라는 말은 항상 "어느 체 위에서"를 명시해야 한다 — $\sqrt2$ 는 $\mathbb{Q}$ 위 대수적이지만, $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ 자기 자신 위에서는(사소하게) 모든 원소가 대수적. 이 상대성은 기약다항식의 상대성과 정확히 같은 현상이다.

주요 정리

정리 (단순대수확장의 구조). $u\in E$ 가 $F$ 위 대수적이고 $\deg m_u=n$ 이면² $$F(u)\cong F[x]/(m_u(x)), \qquad [F(u):F]=n,$$ 기저 $\{1,u,u^2,\dots,u^{n-1}\}$($F$-벡터공간으로서).

정리 (탑 정리, Tower Law). $F\subseteq K\subseteq E$ 가 유한확장이면³ $$[E:F]=[E:K]\,[K:F].$$

정리 (유한 확장 ⇒ 대수적 확장). $[E:F]<\infty$ 이면 $E$ 의 모든 원소는 $F$ 위 대수적이며, $u\in E$ 에 대해 $[F(u):F]$ 는 $[E:F]$ 를 나눈다.⁴

정리 (대수적 원소의 집합은 체를 이룸). $E/F$ 에서 $F$ 위 대수적인 원소 전체는 $E$ 의 부분체를 이룬다(합·차·곱·나눗셈에 닫혀 있음).⁵

예제

예제 1 (제곱근 확장, 기본형). $[\mathbb{Q}(\sqrt2):\mathbb{Q}]=2$, $m_{\sqrt2}(x)=x^2-2$(Eisenstein $p=2$로 기약). $\mathbb{Q}(\sqrt2)=\{a+b\sqrt2:a,b\in\mathbb{Q}\}$, 덧셈은 성분별, 곱셈은 $\sqrt2^2=2$ 를 이용해 전개.

예제 2 (탑 정리로 다단계 확장). $[\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3):\mathbb{Q}(\sqrt2)]\cdot[\mathbb{Q}(\sqrt2):\mathbb{Q}]=2\cdot2=4$($\sqrt3\notin\mathbb{Q}(\sqrt2)$ 이므로 $x^2-3$ 이 $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ 위에서도 기약 — 만약 $\sqrt3=a+b\sqrt2$ 라면 양변 제곱해 $3=a^2+2b^2+2ab\sqrt2$, $ab\ne0$ 이면 $\sqrt2\in\mathbb{Q}$ 모순, $ab=0$ 이면 $a$ 또는 $b$ 가 0인데 각 경우 $3=a^2$ 또는 $3=2b^2$ 이 $\mathbb{Q}$ 에서 불가능).

예제 3 (배적문제, 작도불가능성). 정육면체의 부피를 두 배로 만드는 작도(배적, doubling the cube)는 $\sqrt[3]2$ 의 작도를 요구한다. $m_{\sqrt[3]2}(x)=x^3-2$(Eisenstein $p=2$), $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]2):\mathbb{Q}]=3$. 작도가능한 수는 반복적인 이차확장의 탑으로 얻어지므로 $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$ 가 항상 $2$ 의 거듭제곱이어야 하는데 $3$ 은 $2$ 의 거듭제곱이 아니다 → 작도 불가능(고대 그리스 3대 문제 중 하나가 체론으로 완전히 해결됨).

예제 4 (초월확장). $\pi$ 는 $\mathbb{Q}$ 위 초월적(Lindemann, 1882 — 증명은 이 위키 범위 밖) → $[\mathbb{Q}(\pi):\mathbb{Q}]=\infty$. $\mathbb{Q}(\pi)\cong\mathbb{Q}(x)$(유리함수체, $x$ 를 $\pi$ 로 치환하는 동형) — 초월원소를 추가하는 것은 "완전히 새로운 독립변수를 도입하는 것"과 같다.

예제 5 (복소수를 확장으로). $\mathbb{C}=\mathbb{R}(i)$, $m_i(x)=x^2+1$, $[\mathbb{C}:\mathbb{R}]=2$. 대수학의 기본정리(모든 복소계수 다항식이 $\mathbb{C}$ 에서 근을 가짐)는 이 확장이 대수적으로 닫혀 있다는 사실의 다른 표현이며, 분해체 이론에서 $\mathbb{C}$ 는 모든 $\mathbb{R}$-다항식의 분해체다.

예제 6 (원분확장). $\zeta_5=e^{2\pi i/5}$(원시 5제곱근)는 $\Phi_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$ 의 근(이 다항식은 $\mathbb{Q}$ 위 기약) → $[\mathbb{Q}(\zeta_5):\mathbb{Q}]=4$. 원분확장은 Galois 군이 항상 아벨이라는 특별한 성질을 가지며, 정17각형 작도가능성(Gauss) 같은 고전 결과의 배경이다.

흔한 오해와 함정

• "모든 확장은 유한"이라 가정 — $\mathbb{Q}(\pi)/\mathbb{Q}$(예제 4)처럼 무한확장도 흔하다. "체확장"이라는 말 자체는 유한·무한을 구분하지 않는다.
• 최소다항식을 "그 원소를 근으로 갖는 아무 다항식"으로 오해 — 최소다항식은 모닉이면서 최소차수인 유일한 것이다. $\sqrt2$ 는 $x^2-2$ 뿐 아니라 $x^4-4$, $2x^2-4$ 의 근이기도 하지만 이들은 최소다항식이 아니다(전자는 차수가 더 높고, 후자는 모닉이 아님).
• 대수적 원소의 최소다항식이 $E$ 안에서의 선택에 의존한다고 착각 — 최소다항식은 $u$ 와 밑체 $F$ 만으로 결정되며, $u$ 가 어떤 더 큰 체 $E$ 안에 놓여 있는지와 무관하다(단, $F$ 를 바꾸면 달라질 수 있음 — $\sqrt2$ 의 $\mathbb{Q}$ 위 최소다항식은 $x^2-2$ 이지만 $\mathbb{R}$ 위에서는 $x-\sqrt2$).
• 탑 정리를 "덧셈"으로 착각 — $[E:F]=[E:K][K:F]$ 는 곱셈이다(벡터공간 차원의 곱, 예제 2). 흔한 실수로 $2+2=4$ 처럼 우연히 맞아떨어지는 경우와 진짜 곱셈 법칙을 혼동하기 쉽다 — $[\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt[3]2):\mathbb{Q}]$ 같은 서로 다른 차수(2와 3)의 경우로 검산하면($=6$, $2+3=5\ne6$) 곱셈임이 분명해진다.
• "작도가능 ⟺ 차수가 2의 거듭제곱"을 동치로 오해 — 정리는 작도가능 ⟹ 차수가 2의 거듭제곱(필요조건)이지, 역은 일반적으로 거짓이다(차수가 2의 거듭제곱이어도 작도 불가능한 경우가 존재 — 반례는 Galois 군의 구조까지 봐야 정확히 판별됨).

큰 그림 / 연결

체확장은 몫환 구성과 벡터공간 차원 두 도구가 만나 태어나는 이론이다 — 기약다항식이 "무엇을 추가할 수 있는가"를 결정하고, 벡터공간 차원이 "얼마나 커지는가"를 측정한다. 모든 근을 한꺼번에 추가한 최대 확장이 분해체이며, 이 분해체의 자기동형군을 분석하는 것이 Galois 이론의 출발점이다 — 탑 정리는 Galois 이론의 기본정리에서 중간체의 차수와 부분군의 지수 사이의 대응을 증명하는 데 그대로 재사용된다. 작도가능성(예제 3)처럼, 이 이론은 순수한 대수적 계산만으로 2000년 넘게 풀리지 않던 기하 문제(배적·삼등분·원적)를 완전히 해결한 역사적 사례이며, 최종적으로 5차방정식의 근의 공식 부재라는 정점으로 이어진다. 정수론(numbertheory 위키)의 대수적 정수론은 $\mathbb{Q}$ 의 유한확장(대수적 수체)을 체계적으로 연구하는 분야로, 이 페이지의 개념(차수·최소다항식)이 그대로 확장되어 쓰인다.

연습문제

1. $m_{\sqrt[3]2}(x)$ 와 $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]2):\mathbb{Q}]$ 를 구하라.
2. $[\mathbb{Q}(\sqrt2+\sqrt3):\mathbb{Q}]$ 를 구하라(힌트: $\mathbb{Q}(\sqrt2+\sqrt3)=\mathbb{Q}(\sqrt2,\sqrt3)$ 임을 먼저 보여라).
3. $[\mathbb{Q}(\zeta_5):\mathbb{Q}]$ 를 구하라($\zeta_5$=원시 5제곱근).
4. 유한확장이 대수적임을 증명하라(교환정리를 이용).
5. 각의 삼등분이 일반적으로 불가능함을 차수 논증으로 스케치하라(힌트: $60°$ 삼등분 = $\cos20°$ 작도).
6. $F(u,v)=F(u)(v)$ 임을 (양쪽이 같은 집합을 정의함을) 논증하라.
7. $u$ 가 $F$ 위 대수적이고 $\deg m_u$ 가 홀수이면 $F(u)=F(u^2)$ 인지 아닌지 논하라(힌트: $[F(u):F(u^2)]\in\{1,2\}$).
8. $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ 와 $\mathbb{Q}(\sqrt3)$ 이 체로서 동형이 아님을 보여라(둘 다 차수 2인데도).

관련 개념

• 몫환과 동형정리 — F[x]/(기약)으로 근 생성
• 기약다항식 — 최소다항식의 기약성
• vector spaces over fields — 확장차수=벡터공간 차원
• splitting and finite fields — 모든 근을 추가한 분해체
• 갈루아 이론 — 확장의 자기동형군
• 아이디얼 — 계산사상의 핵
• 소·극대 아이디얼 — 기약 ↔ 극대 아이디얼 ↔ 몫이 체