군 준동형과 동형정리

개요 — 동기·문제의식

두 군이 "본질적으로 같은 구조"인지 비교하려면 원소를 일대일로 대응시키면서 연산까지 보존하는 사상이 필요하다 — 이것이 준동형이다. 환에서 환 준동형이 덧셈과 곱셈을 동시에 보존해야 했던 것처럼, 군 준동형은 단 하나의 연산만 보존하면 되므로 정의는 더 단순하지만 위력은 결코 작지 않다. 행렬식 $\det:GL_n\to\mathbb{R}^\times$, 지수함수 $\exp:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{>0}$, 부호 $\operatorname{sgn}:S_n\to\{\pm1\}$ 처럼 서로 무관해 보이는 함수들이 전부 "군 준동형"이라는 하나의 틀 안에 들어온다는 사실 자체가 추상화의 위력을 보여준다. 준동형의 핵(kernel)은 "정보가 사라지는 곳"을 정확히 포착하며, 이 핵이 항상 정규부분군이라는 사실이 동형정리로 이어져 군의 구조를 분해하는 핵심 도구가 된다.

직관

준동형을 "구조를 보존하는 사진"이라고 생각하면 좋다 — 원래 군의 연산 관계($ab=c$)가 사진 속에서도($f(a)f(b)=f(c)) 그대로 유지된다. 다만 사진이 항상 선명한 것은 아니다: 여러 원소가 한 점으로 뭉개질 수 있는데(전단사가 아닌 경우), 그 "뭉개지는 정도"를 정확히 재는 것이 핵이다. 핵이 ${e}$ 뿐이면 사진이 완벽하게 선명하다(단사) — 어떤 정보도 잃지 않은 것이다. 동형(isomorphism)은 더 나아가 사진이 원본과 완전히 같은 모양이라는 것(전단사까지) — 두 군이 원소의 이름만 다를 뿐 "같은 군"이라는 뜻이다. 흥미로운 점은, 핵이 단순히 "사라지는 원소들의 집합"이 아니라 항상 정규부분군이라는 더 강한 구조를 갖는다는 것 — 이는 준동형의 존재 자체가 정규부분군을 만들어낸다는 깊은 사실을 보여준다.

정의

군 $G,H$ 사이의 사상 $f:G\to H$ 가 준동형(homomorphism):¹ $$f(ab)=f(a)f(b) \qquad (\forall a,b\in G).$$

주의: 준동형의 정의에는 $f(e_G)=e_H$ 가 포함되지 않는다 — 이것은 정의로부터 증명되는 따름정리다(아래). 군 준동형은 단 하나의 등식 $f(ab)=f(a)f(b)$ 만 요구하면 충분하다는 것이 환 준동형(덧셈+곱셈 둘 다 보존)과의 핵심 차이.

주요 정리

정리 (기본 보존 성질). 준동형 $f:G\to H$ 에 대해 $f(e_G)=e_H$, $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$, $f(a^n)=f(a)^n$(모든 $n\in\mathbb{Z}$).²

따름정리 (원소 위수 보존, 단 나눔 관계로). $|f(a)|$ 는 $|a|$ 를 나눈다(유한 위수일 때). $f$ 가 동형이면 $|f(a)|=|a|$(완전히 보존).

정리 (단사 판정). $f$ 가 단사 $\iff \ker f=\{e_G\}$.³

정리 (핵은 정규부분군, 상은 부분군). $\ker f\trianglelefteq G$; $\operatorname{im}f\le H$.⁴

정리 (역도 성립 — 정규부분군은 항상 어떤 핵). 임의의 정규부분군 $N\trianglelefteq G$ 에 대해 자연사상 $\pi:G\to G/N$, $\pi(a)=aN$ 은 준동형이고 $\ker\pi=N$.⁴ 즉 "정규부분군"과 "어떤 준동형의 핵"은 정확히 같은 개념의 두 이름이다(환에서 "아이디얼" ↔ "환 준동형의 핵"과 완전히 평행).

예제

예제 1 (행렬식). $\det:GL_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^\times$, $\det(AB)=\det(A)\det(B)$(준동형). $\ker(\det)=SL_n(\mathbb{R})$(행렬식 1인 행렬, 특수선형군). 전사이므로(임의 $c\ne0$ 에 $\det=c$ 인 행렬 존재) $GL_n/SL_n\cong\mathbb{R}^\times$(group isomorphism theorems).

예제 2 (지수사상, 동형의 예). $\exp:(\mathbb{R},+)\to(\mathbb{R}^{>0},\cdot)$, $x\mapsto e^x$. $\exp(x+y)=e^{x+y}=e^xe^y=\exp(x)\exp(y)$ ✓. 전단사(역함수 $\ln$) → 동형. 따라서 덧셈군 $\mathbb{R}$ 과 곱셈군 $\mathbb{R}^{>0}$ 은 "이름만 다른 같은 군".

예제 3 (부호 준동형). $\operatorname{sgn}:S_n\to\{\pm1\}$, $\operatorname{sgn}(\sigma\tau)=\operatorname{sgn}(\sigma)\operatorname{sgn}(\tau)$. $\ker(\operatorname{sgn})=A_n$(교대군, permutation groups). $n\ge2$ 이면 전사(전치가 부호 $-1$) → $S_n/A_n\cong\mathbb{Z}_2$.

예제 4 (자연사상). $\pi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_n$, $a\mapsto[a]$. $\ker\pi=n\mathbb{Z}$ — cyclic groups 분류정리 증명에서 핵심으로 쓰인 바로 그 준동형.

예제 5 (자기동형군). $\operatorname{Aut}(G)$(자기동형 전체)는 합성 아래 군을 이룬다. 예: $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_n)\cong\mathbb{Z}_n^\times$($k\mapsto(x\mapsto kx)$ 가 자기동형이려면 $\gcd(k,n)=1$, cyclic groups 생성원 판정과 동일한 조건). $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z})=\{\pm1\}\cong\mathbb{Z}_2$(생성원 $1$ 을 $1$ 또는 $-1$ 로만 보낼 수 있음).

예제 6 (준동형이 아닌 사상, 흔한 함정 확인). $f:\mathbb{R}^\times\to\mathbb{R}^\times$, $f(x)=x+1$ 은 준동형이 아니다 — $f(xy)=xy+1$ 인데 $f(x)f(y)=(x+1)(y+1)=xy+x+y+1$, 일반적으로 다름. 연산을 보존하는지 항상 직접 확인해야 한다는 경고.

예제 7 (행렬식 핵의 비자명성과 핵 0인 경우 비교). $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$, $f(n)=2n$ 은 준동형($f(n+m)=2(n+m)=f(n)+f(m)$), $\ker f=\{0\}$ → 단사. 그러나 전사는 아님($\operatorname{im}f=2\mathbb{Z}\ne\mathbb{Z}$) — 단사라고 자동으로 전사는 아니라는 것을 보여주는 무한군의 예(유한군에서는 $|G|=|H|$ 이면 단사 $\iff$ 전사이지만, 무한군은 다르다).

흔한 오해와 함정

• $f(e_G)=e_H$ 을 정의의 일부로 착각 — 정의에는 $f(ab)=f(a)f(b)$ 뿐이고, $f(e_G)=e_H$ 는 거기서 증명되는 결과다(주요 정리 1). 다만 증명 과정에서 소거법칙을 써야 하므로, "당연하니 검증 안 해도 된다"고 생략하면 안 된다.
• 준동형이 자동으로 단사·전사라고 가정 — 예제 7처럼 단사이지만 전사가 아닌 무한군 사례, 또는 둘 다 아닌 경우(예제 1에서 $n\ge2$ 일 때 $\det$ 는 전사지만 단사 아님)가 흔하다. "준동형"이라는 단어 자체는 전단사를 보장하지 않는다.
• 핵을 "준동형이 $0$ 이 되는 곳"으로 표현하며 환의 영원소와 혼동 — 군의 핵은 $f(a)=e_H$(항등원)인 곳이지, 환처럼 "$0$" 이라는 특별한 덧셈 항등원 개념과 혼동하면 안 된다(곱셈적으로 쓰는 군에서는 핵이 "$1$ 이 되는 곳"이라 표현하는 게 더 자연스러움).
• 위수 보존을 동형이 아닌 일반 준동형에도 적용 — 일반 준동형은 $|f(a)|\mid|a|$(나눔 관계)만 보장하고 등식은 보장하지 않는다(예제 3에서 3-순환의 상이 항등원이 될 수 있음, $A_n$ 으로 가는 핵). 등식 $|f(a)|=|a|$ 는 $f$ 가 단사(또는 동형)일 때만 성립.
• $\operatorname{im}f$ 와 $H$ 를 혼동 — 준동형의 공역 $H$ 가 상 $\operatorname{im}f$ 와 같다는 보장이 없다(예제 7). "전사"라는 추가 조건이 있어야 $\operatorname{im}f=H$.
• "핵이 자명하면 항상 동형"이라 단순화 — 핵이 자명하면 단사가 보장될 뿐, 전사가 아니면 동형이 아니다(예제 7). 동형이려면 단사와 전사 둘 다 필요.

큰 그림 / 연결

군 준동형은 군 사이의 구조보존 사상이라는 점에서 환의 환 준동형과 완전히 평행한 이야기를 들려준다 — 두 이론 모두 "핵은 특별한 부분구조(정규부분군 ↔ 아이디얼)이고, 몫을 만들면 동형정리가 성립한다"는 같은 패턴을 따른다. 핵이 정규부분군이라는 사실은 제1동형정리 $G/\ker f\cong\operatorname{im}f$ 의 토대이며, 이는 군의 구조를 분해하는 가장 기본적인 도구다. 준동형 개념은 Cayley 정리(모든 군이 순열군에 단사로 매장된다)와 군작용(군에서 집합으로 가는 준동형 $G\to\operatorname{Sym}(X)$)으로 확장되며, 궁극적으로 Galois 군도 체의 자기동형이라는 특수한 군 준동형의 집합으로 정의된다 — 준동형이라는 단순한 개념이 책 전체를 관통하는 골격임을 보여준다.

연습문제

1. $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_6$, $f(1)=[2]$ 로 정해지는 준동형의 상과 핵을 구하라.
2. $\mathbb{Z}_4$ 에서 $\mathbb{Z}_6$ 으로 가는 비자명 준동형이 존재하는가?
3. $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$ 을 증명하라.
4. $\ker f$ 가 정규부분군임을 보여라.
5. 동형이 원소 위수를 보존함을 보이고, $\mathbb{Z}_4\not\cong\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$ 에 적용하라.
6. $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_n)\cong\mathbb{Z}_n^\times$ 임을 보여라.
7. 두 준동형의 합성이 준동형임을 보여라.
8. $f:G\to H$ 가 전사 준동형이고 $G$ 가 아벨이면 $H$ 도 아벨임을 보여라.
9. $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$, $f(n)=2n$ 이 단사이지만 전사가 아님을 보이고, 이것이 유한군에서는 불가능한 이유를 설명하라.

관련 개념

• 군의 정의와 예 — 군
• 정규부분군과 몫군 — 핵이 정규부분군
• group isomorphism theorems — 제1동형정리
• 환 준동형 — 환에서의 평행 개념
• cyclic groups — 자기동형군 계산 예시
• permutation groups — Cayley 정리, 부호 준동형