ℤ정수론
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Silverman의 장별 흐름과 학습 팁

읽음 0/0 갱신 2026-06-27

원전 소개 — Silverman이 정수론을 조직하는 방식. 구체적 예에서 출발해 패턴을 추측하고 증명으로 마무리한다. 합동이 언어이고, 소수가 주인공이며, 디오판토스 방정식이 큰 줄기다.

흐름

1부 — 기초와 디오판토스 (1–4장)

  1. what is number theory — 탐구 방법(데이터→패턴→추측→증명).
  2. 피타고라스 세 쌍 — 피타고라스 삼조, 단위원 매개화, FLT 맛보기.

2부 — 나눗셈과 소수 (5–7장)

  1. 나눗셈과 최대공약수 — 나눗셈 정리, gcd, Euclid 호제법, Bezout(선형방정식).
  2. 산술의 기본정리 — 소수, 유일인수분해.

3부 — 합동 (8–11장)

  1. 합동식 — 합동, $\mathbb{Z}_m$, 일차합동식.
  2. 페르마 소정리 — $a^{p-1}\equiv1\pmod p$.
  3. 오일러 φ 함수와 정리 — $\varphi$ 함수, $a^{\varphi(m)}\equiv1$.
  4. 중국인의 나머지 정리 — 연립 합동, CRT.

4부 — 소수의 분포 (12–15장)

  1. prime distribution — 무한성, 소수정리(PNT), 소수 계량.
  2. mersenne primes perfect numbers — Mersenne 소수, 완전수.

5부 — 계산 정수론과 암호 (16–19장)

  1. 모듈러 거듭제곱과 RSA — 연속 제곱, k제곱근, RSA.
  2. primality testing — Fermat 판정, Carmichael 수.

6부 — 이차잉여 (20–25장)

  1. 이차잉여 — 제곱 mod p, Legendre 기호, −1·2.
  2. 이차 상호법칙 — 이차상호법칙.
  3. 두 제곱수의 합 — 어떤 소수·수가 두 제곱수의 합인가.

7부 — 곱셈적 함수와 원시근 (27–29장)

  1. 수론적 함수 — $\varphi$, $\sigma$, 곱셈적 함수.
  2. 원시근 — 위수, 원시근, 지표.

8부 — 디오판토스 방정식 (31–36, 41–46장)

  1. 펠 방정식 — Pell 방정식, 정사각삼각수.
  2. diophantine approximation — 연분수, 무리수 근사.
  3. 가우스 정수 — 가우스 정수와 유일인수분해.
  4. 타원곡선 — 타원곡선 (orientation).

통일 주제

줄기 핵심 도구 정점
나눗셈 gcd·Bezout 유일인수분해
합동 $\bmod m$ 산술 Fermat·Euler·CRT
소수 구조 이차잉여 이차상호법칙
응용 거듭제곱 mod m RSA
디오판토스 매개화·하강·가우스정수 Pell·두 제곱수 합·타원곡선

학습 팁

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