τ위상수학
IV. 새 공간 만들기 · 8/16

거리위상

거리에서 오는 위상, 거리화가능성 문제

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

거리공간은 위상공간의 가장 친숙한 원천이다 — 해석학 전체가 사실상 거리위상 위에서 전개된다. 거리 $d$는 ε-공을 기저로 하는 거리위상을 자연스럽게 낳고, 기저와 부분기저에서 본 기저 메커니즘이 정확히 이 구성에 들어맞는다.

하지만 이 위키 전체의 출발점이었던 위상공간의 통찰을 떠올리면, 자연스러운 질문이 거꾸로 던져진다: 거리에서 오지 않는 위상이 정말 있는가? 어떤 위상공간이 거리에서 올 수 있는가(거리화가능성, metrizability)? 답은 둘 다 "그렇다"이며, 후자에 대한 깊은 답이 이 위키의 정점 중 하나인 Urysohn 거리화정리다. 모든 거리공간은 Hausdorff·제1가산·정규라는 강한 성질을 자동으로 갖지만, 그 역(이 성질들을 가지면 거리화가능한가)은 결코 자명하지 않다 — 정확히 충분조건을 찾는 것이 거리화 이론의 핵심 과제다.

직관

거리공간에서 위상을 정의하는 자연스러운 방법은 "ε만큼의 여유"를 직접 거리로 측정하는 것이다 — $x$ 중심 반지름 $\varepsilon$의 공 $B(x,\varepsilon)$이 "$x$ 주위 여유"를 정량화한다. 이것이 정확히 위상공간에서 추상적으로 요구했던 "여유"의 직관을 거리라는 구체적 도구로 구현한 것이다.

거리화가능성 질문의 직관은 반대 방향이다: 위상공간 하나가 주어졌을 때, "이 공간의 열린집합들이 어떤 거리함수의 ε-공들로 정확히 재현될 수 있는가"를 묻는다. 이것이 어려운 이유는, 거리는 위상보다 훨씬 많은 정보(정확한 "거리값")를 담고 있어서, 위상만으로는 그 정밀한 수치 정보를 복원할 수 없는 경우가 많기 때문이다 — Hausdorff 공리 하나만으로는 어림도 없고, 점점 더 강한 조건(정규성, 가산기저)을 쌓아야 비로소 충분조건에 도달한다.

정의

집합 $X$ 위 거리(metric) $d:X\times X\to[0,\infty)$:1 (1) $d(x,y)=0\iff x=y$, (2) 대칭 $d(x,y)=d(y,x)$, (3) 삼각부등식 $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$.

ε-공(open ball) $B_d(x,\varepsilon)=\{y\in X:d(x,y)<\varepsilon\}$.

거리위상(metric topology). ε-공들의 모임이 기저 조건을 만족하므로(기저와 부분기저 예제 2 — 삼각부등식으로 두 공의 교집합 안에 더 작은 공을 넣을 수 있음) 기저가 되고, 이것이 생성하는 위상을 거리위상이라 한다.

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 거리화가능(metrizable) $\iff$ $\mathcal{T}$를 유도하는 거리 $d$가 존재.

거리의 위상적 동치. 두 거리 $d, d'$가 위상적으로 동치 $\iff$ 같은 위상을 줌 $\iff$ 각 점에서 한쪽 공이 다른 쪽 공을 포함하는 관계가 양방향으로 성립.

유계거리(standard bounded metric). $\bar d(x,y)=\min\{d(x,y),1\}$은 $d$와 같은 위상을 주는 유계거리(거리화 증명에서 항상 유용 — 무한 곱의 거리 구성 등).

주요 정리

정리 (거리공간의 기본 성질).1 모든 거리공간은: - Hausdorff: $x\ne y$면 $r=d(x,y)/2$로 $B(x,r)\cap B(y,r)=\varnothing$(극한점과 하우스도르프 예제 4와 동일 증명). - 제1가산(first-countable): 각 점 $x$에서 $\{B(x,1/n):n\in\mathbb{Z}^+\}$이 가산 근방기저(즉, $x$의 임의의 근방이 이 모임의 어떤 원소를 포함). - 정규($T_4$): 서로소 닫힌집합 $A,B$에 대해 $f(x)=\dfrac{d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}$가 연속함수로 $A$에서 $0$, $B$에서 $1$ ⟹ $f^{-1}([0,\tfrac12))$, $f^{-1}((\tfrac12,1])$이 분리하는 서로소 열린집합.

증명 보기

증명(정규성, 핵심 단계만). $d(x,A)=\inf\{d(x,a):a\in A\}$가 연속함수임은 삼각부등식에서 $|d(x,A)-d(y,A)|\le d(x,y)$로 직접 따라온다(립시츠 연속). $A,B$가 닫혀 있고 서로소이므로 $d(x,A)=0\iff x\in A$ (폐포 판정과 연결), 따라서 $f$는 $A$에서 정확히 $0$, $B$에서 정확히 $1$.

정리 (거리위상에서 수열이 폐포를 결정, sequence lemma).2 거리공간(더 일반적으로 제1가산공간)에서: $x\in\overline{A}\iff$ $A$의 어떤 수열이 $x$로 수렴; $f$ 연속 $\iff$ 수열연속($x_n\to x\Rightarrow f(x_n)\to f(x)$).

증명 보기

증명 스케치($\Rightarrow$, 폐포). $x\in\overline A$면 각 $n$에서 $B(x,1/n)\cap A\ne\varnothing$(폐포 판정)이므로 점 $x_n$을 선택 ⟹ $x_n\to x$(임의의 $\varepsilon$에 대해 $1/n<\varepsilon$인 $n$ 이후 $x_n\in B(x,\varepsilon)$). 주의. 일반 위상공간에서는 이것이 거짓일 수 있다 — 제1가산이 아닌 공간(예: 비가산 곱)에서는 수열만으로 폐포를 다 못 잡는 경우가 있다. 이것이 거리공간·제1가산공간의 "특권"이다.

정리 (거리의 위상적 동치 판정). 두 거리 $d, d'$가 같은 위상을 줌 $\iff$ 각 $x$와 $\varepsilon>0$에 대해, $B_{d'}(x,\delta)\subseteq B_d(x,\varepsilon)$인 $\delta>0$가 존재하고 그 역도 성립(양방향). 이것이 기저와 부분기저의 일반적인 "기저로 섬세함 비교" 정리를 거리에 특화한 버전이다.

정리 (가산 곱의 거리화, Munkres §20-21). 거리화가능 공간들의 가산 곱은 (곱위상에서) 거리화가능 — 예: $\mathbb{R}^\omega$, 거리 $$D(x,y)=\sup_i \frac{\bar d(x_i,y_i)}{i}$$ ($\bar d$는 유계거리). 그러나 비가산 곱은 일반적으로 거리화 불가능하다 — 핵심 원인은 제1가산성이 비가산 곱에서 깨지기 때문이다(곱위상의 곱위상은 비가산 곱에서도 "유한 좌표 제약"만 허용하므로, 가산 근방기저로는 모든 좌표를 동시에 통제할 수 없다).

증명 보기

증명 스케치(비가산 곱이 거리화 안 됨, sequence lemma 활용). $J$ 비가산일 때 $\mathbb{R}^J$의 곱위상에서, 모든 좌표가 양수인 점들의 집합 $A=\{x:x_\alpha>0\ \forall\alpha\}$를 생각하면 $0=(0,0,\dots)\in\overline A$이지만(임의의 기저근방은 유한 개 좌표만 제약하므로 항상 $A$의 점이 그 안에 들어감) $A$의 어떤 수열도 $0$으로 수렴하지 못한다(가산 개의 좌표만 그 수열이 통제하는데, 비가산 개의 다른 좌표에서는 양수로 남아있을 자유가 있어 수렴 실패 — 정확히는 각 수열 $x^{(n)}$이 사용하는 좌표가 가산 개뿐이므로 그 합집합도 가산, 비가산 $J$에서 빠진 좌표를 골라 모순 구성). sequence lemma가 깨지므로 거리화 불가.

예제

예제 1 (유클리드, 같은 위상을 주는 여러 거리). $\mathbb{R}^n$의 유클리드거리 $d_2$·택시거리 $d_1$·최대거리 $d_\infty$는 모두 같은 표준위상을 준다 — $d_\infty\le d_2\le d_1\le n\,d_\infty$ 부등식으로 공들이 서로를 포함.

예제 2 (이산거리). $d(x,y)=\begin{cases}0&x=y\\1&x\ne y\end{cases}$는 이산위상을 준다($B(x,\tfrac12)=\{x\}$가 열림). 따라서 이산위상은 (어떤 집합 위에서도) 거리화가능 — 가장 단순한 거리화 사례.

예제 3 (거리화 불가, Hausdorff 실패). $\mathbb{R}$ 여유한위상은 Hausdorff가 아니므로(극한점과 하우스도르프 예제 3) 거리화 불가능 — 거리공간은 항상 Hausdorff라는 정리의 직접적 귀결, 거리화의 필요조건이 가장 먼저 걸러내는 가장 흔한 반례.

예제 4 (거리화 불가, 제1가산 실패). 비가산집합의 비가산 곱 $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$(곱위상)은 거리화 불가능 — 정리에서 증명한 것처럼 sequence lemma가 깨지기 때문이다. Hausdorff는 성립하는데도(각 인자가 Hausdorff면 곱도 Hausdorff, 곱위상) 거리화는 실패하는 예 — Hausdorff만으로는 거리화에 한참 부족함을 보여준다.

예제 5 ($\mathbb{R}^\omega$의 거리화, 가산 곱의 성공 사례). 가산 곱 $\mathbb{R}^\omega$는 곱위상에서 $D(x,y)=\sup_i\bar d(x_i,y_i)/i$로 거리화가능 — 점별수렴 위상(곱위상 예제 3)이 사실은 거리에서 온다는 것을 보여준다. 비가산이면 실패하지만 가산이면 성공한다는 것이 거리화의 미묘한 경계선을 잘 드러낸다.

예제 6 (콤팩트 거리공간의 특권). 콤팩트 거리공간에서는 연속함수가 자동으로 균등연속이고(균등연속성 정리, 콤팩트성 참고), Lebesgue 수 보조정리가 성립한다 — 콤팩트성과 거리 구조가 결합할 때만 나오는 강력한 추가 성질들로, 일반 위상공간(거리 없는)에서는 균등성 개념 자체가 정의되지 않는다.

흔한 오해와 함정

큰 그림 / 연결

거리위상은 기저와 부분기저의 기저 메커니즘이 가장 자연스럽게 작동하는 무대이며, 극한점과 하우스도르프의 Hausdorff 공리·분리공리의 정규성이 거리공간에서는 모두 자동으로 따라온다는 것이 핵심 메시지다. 우리손 거리화 정리은 그 역방향 — "정규 + 제2가산이면 거리화가능"이라는, 이 페이지가 던진 질문에 대한 깊은 답을 준다(증명에는 urysohn lemma가 핵심 도구로 쓰인다). complete metric spaces는 거리 구조에 위상만으로는 안 보이는 "완비성"이라는 추가 데이터를 얹는다(완비성은 거리에 의존하지 위상 불변량이 아니다 — 위상동형인 두 거리화가능 공간 중 하나만 완비일 수 있음, 예: $(0,1)\cong\mathbb{R}$이지만 $(0,1)$은 표준거리로 불완비, $\mathbb{R}$은 완비). 곱위상에서 가산 곱의 거리화가능성은 Hilbert 큐브 같은 무한차원 콤팩트 공간을 구체적으로 다룰 수 있게 해준다. 해석학의 모든 ε–δ 논법은 정확히 이 거리위상의 특수한 경우다.

연습문제

  1. 택시거리 $d_1(x,y)=\sum_i|x_i-y_i|$와 유클리드거리가 $\mathbb{R}^n$에서 같은 위상을 줌을 부등식으로 보여라.
  2. 거리공간이 정규($T_4$)임을 거리함수 $f(x)=d(x,A)/(d(x,A)+d(x,B))$로 증명하라.
  3. 두 점 직선(line with two origins)이 거리화 불가임을 보여라.
  4. 비가산 이산공간이 제2가산이 아니나 거리화는 가능함을 설명하라.
  5. 거리공간에서 $x\in\overline A\iff A$의 수열이 $x$로 수렴함을 증명하라(sequence lemma).
  6. $\bar d=\min\{d,1\}$이 $d$와 같은 위상을 줌을 증명하라.
  7. $\mathbb{R}^\omega$가 곱위상에서 거리화가능함을, 주어진 거리 $D$가 실제로 곱위상을 유도함을 (개략적으로) 논하라.
  8. 콤팩트 거리공간에서 연속함수가 균등연속임을 Lebesgue 수 보조정리를 이용해 증명하라(콤팩트성 학습 후 권장).
힌트 / 정답
  1. $d_\infty(x,y)=\max_i|x_i-y_i| \le d_2(x,y) \le d_1(x,y) \le n\,d_\infty(x,y)$ (코시-슈바르츠와 산술 부등식으로) ⟹ 각 거리의 공이 다른 거리의 (비례한 반지름) 공을 포함 ⟹ 같은 위상.
  2. $A,B$ 서로소 닫힘이면 $d(x,A)=0\iff x\in\overline A=A$(폐포 판정의 거리 버전), $d(x,B)=0\iff x\in B$이므로 $A$에서 분모 $d(x,B)>0$ 분자 $0$ ⟹ $f=0$; $B$에서 $f=1$. $f$는 립시츠연속(따라서 연속). $U=f^{-1}([0,1/2))\supseteq A$, $V=f^{-1}((1/2,1])\supseteq B$, 서로소(같은 점이 $f$값 두 개를 가질 수 없으므로).
  3. 극한점과 하우스도르프 예제 5에서 Hausdorff가 아님을 보였으므로, 모든 거리공간은 Hausdorff라는 정리의 대우로 거리화 불가.
  4. 거리화: 이산거리($d(x,y)=1$ if $x\ne y$)가 이산위상을 줌(예제 2와 동일). 제2가산 아님: 모든 $\{x\}$가 열려야 하는 이산위상에서 기저는 적어도 모든 점을 분리해야 하므로 비가산 개의 기저원소가 필요(가산기저로는 비가산 개의 한 점 집합을 모두 표현 못함).
  5. ($\Rightarrow$) 본문 증명 스케치 참고: $x_n\in B(x,1/n)\cap A$ 선택. ($\Leftarrow$) $x_n\to x$, $x_n\in A$이면 $x$의 임의의 근방이 (수렴의 정의로) 어떤 $x_n$을 포함하므로 $A$를 만남 ⟹ 폐포 판정으로 $x\in\overline A$.
  6. 작은 $\varepsilon<1$에 대해 $B_{\bar d}(x,\varepsilon)=B_d(x,\varepsilon)$(둘 다 $\min\{d,1\}<\varepsilon\iff d<\varepsilon$, $\varepsilon<1$이므로). $\varepsilon\ge1$인 큰 반지름은 $\bar d$에서 전체 공간을 덮어버리지만, 작은 반지름의 기저원소만으로도 같은 위상이 생성되므로 두 위상 일치.
  7. 곱위상의 기저원소(유한 개 좌표만 제약)와 $D$-공이 서로를 포함함을 보이면 됨: $D$-공 $B_D(x,\varepsilon)$ 안에는 충분히 큰 $N$ 이후의 좌표는 $1/i<\varepsilon$이라 자동으로 만족되므로, 유한 개($i\le N$) 좌표만 작은 $\bar d$ 제약을 거는 곱위상 기저원소가 그 안에 들어감(역도 비슷하게).
  8. $X$ 콤팩트 거리공간, $f$ 연속, $\varepsilon>0$ 고정. 각 $x$에서 연속성으로 $\delta_x$ 잡아 $d(x,y)<\delta_x\Rightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon/2$인 공 $B(x,\delta_x/2)$들의 모임이 $X$의 열린덮개 ⟹ Lebesgue 수 $\delta>0$ 존재(지름 $<\delta$인 집합이 어떤 $B(x,\delta_x/2)$ 안에) ⟹ $d(y,z)<\delta$인 임의의 $y,z$는 같은 $B(x,\delta_x/2)$ 안에 들어가 $|f(y)-f(z)|\le|f(y)-f(x)|+|f(x)-f(z)|<\varepsilon$.

관련 개념

  1. 원전 소개 — Munkres §20 — "A metric on a set X is a function d : X × X → R having the properties: (1) d(x,y) ≥ 0 for all x,y ∈ X; equality holds iff x = y. (2) d(x,y) = d(y,x). (3) d(x,y) + d(y,z) ≥ d(x,z)." The metric topology induced by d; every metric space is Hausdorff, first-countable, and normal (§20-21). ↩↩

  2. 원전 소개 — Munkres §21, Theorem 21.3 (the sequence lemma) — "Let X be a topological space; let A ⊂ X. If there is a sequence of points of A converging to x, then x ∈ Ā; the converse holds if X is metrizable (or first-countable)." Countable products of metrizable spaces are metrizable (§20-21). ↩