수열의 수렴
ε–N 정의, 극한 법칙, 단조수렴정리
개요 — 동기·문제의식
"수열이 어떤 값에 다가간다"는 말은 일상적으로는 명확해 보이지만, 정확히 무엇을 뜻하는지 따져보면 막막해진다. $1, 1/2, 1/3, 1/4,\dots$ 가 $0$ 에 "다가간다"는 것은 알겠는데, 정확히 얼마나 다가가야 "수렴한다"고 부를 수 있는가? 이 모호함을 없애는 것이 수렴의 $\varepsilon$–$N$ 정의다 — "임의로 작은 오차 한계를 미리 정해도, 그 한계 안으로 영원히 들어가는 시점이 반드시 있다"는 정량적 약속으로 직관을 대체한다. 수열의 수렴은 해석학에서 최초의 진정한 극한 과정이며, 이후 함수의 극한·연속·미분·적분이 전부 이 패턴($\varepsilon$ 마다 적절한 문턱을 찾는다)의 변주로 정의된다. Bartle의 손에서는 이후 거의 모든 것의 엔진이 된다.
직관
수열의 수렴을 그리는 가장 좋은 그림은 "결국 한 점 주변의 좁은 띠 안에 영원히 갇힌다"는 것이다. 극한 $p$ 주위에 폭 $2\varepsilon$ 인 띠를 아무리 좁게 그려도(아무리 작은 $\varepsilon$ 을 골라도), 수열의 항들은 처음 유한 개($N$ 개 미만)를 빼고는 전부 그 띠 안에 들어와야 한다. 이것이 "유한 개를 제외한 모든 항"이라는 표현의 의미다 — 처음 몇 개는 어디로 튀어도 상관없지만, 충분히 뒤로 가면 다시는 띠를 벗어나지 않아야 한다. 거리공간의 언어로는 "극한점의 모든 근방이 결국 수열 전체를 삼킨다"는 위상적 그림과 정확히 같은 이야기다.
정의
수열 $\{p_n\}$ 이 $p$ 로 수렴(converge)한다는 것은:1
$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \text{ s.t. } n \ge N \Rightarrow d(p_n, p) < \varepsilon.$$
이때 $p$ 를 극한이라 하고 $\lim_{n\to\infty} p_n = p$ 로 쓴다. 거리공간에서는 이를 위상적으로 다시 쓸 수 있다: $p_n \to p$ $\iff$ $p$ 의 모든 근방이 유한 개를 제외한 모든 $p_n$ 을 포함.1
| 개념 | 정의 | 비고 |
|---|---|---|
| 수렴 | $\forall\varepsilon>0\,\exists N: n\ge N\Rightarrow d(p_n,p)<\varepsilon$ | $p$ 가 극한 |
| 발산 | 수렴하지 않음 | 진동(예: $(-1)^n$)이나 $\to\pm\infty$ |
| 유계수열 | $\exists M: d(p_n, p_1)\le M\ \forall n$ | 수렴의 필요조건(정리) |
| 부분수열 | $\{p_{n_k}\}$, $n_1<n_2<\cdots$ | 원래 수열의 "골라낸" 부분 |
중요한 구별: $\mathbb{Q}$ 의 수열이 $\mathbb{Q}$ 안에서는 수렴하지 않지만 $\mathbb{R}$ 안에서는 수렴할 수 있다(예: $\sqrt2$ 로 가는 유리수 근사수열) — "어느 공간 안에서" 수렴을 묻는지가 본질적이다.
주요 정리
두 책이 공유하는 기본 성질:2
정리 (극한의 유일성). 수렴하면 극한은 유일하다.
증명 보기
증명. $p_n\to p$ 이고 $p_n\to q$, $p\ne q$ 라 하자. $\varepsilon=d(p,q)/2>0$ 으로 잡으면, 충분히 큰 $n$ 에서 $d(p_n,p)<\varepsilon$ 과 $d(p_n,q)<\varepsilon$ 이 동시에 성립해야 한다. 삼각부등식으로 $d(p,q)\le d(p,p_n)+d(p_n,q)<2\varepsilon=d(p,q)$ — 모순. ∎
정리 (유계성). 수렴수열은 유계다.
증명 보기
증명. $\varepsilon=1$ 로 잡으면 $n\ge N$ 에서 $d(p_n,p)<1$, 즉 그 뒤의 모든 항이 $p$ 중심 반지름 $1$ 인 공 안에 있다. 처음 $N-1$ 개 항은 유한 개이므로 그 자체로 유계. 둘을 합치면 전체가 유계. ∎ 역은 거짓: 유계라고 수렴하는 것은 아니다 — $(-1)^n$ 이 반례.
정리 (극한 법칙). $a_n \to a$, $b_n \to b$ 이면 $$a_n + b_n \to a+b,\quad a_n b_n \to ab,\quad \frac{a_n}{b_n}\to\frac{a}{b}\ (b\ne 0).$$
증명 보기
증명 스케치 (곱). $a_nb_n-ab=a_n(b_n-b)+b(a_n-a)$. $\{a_n\}$ 이 유계(위 정리)이므로 $|a_n|\le M$, 그러면 $|a_nb_n-ab|\le M|b_n-b|+|b||a_n-a|\to0$ (두 항 모두 $\varepsilon/2$ 씩 통제). ∎
정리 (압착 정리). $a_n \le c_n \le b_n$ 이고 $a_n, b_n \to L$ 이면 $c_n \to L$.
정리 (단조수렴 정리). 위로 유계인 단조증가 수열은 그 항들의 상한으로 수렴한다 — 완비성 공리 의 직접 귀결로, 극한을 모른 채 수렴을 보장하는 첫 도구. (증명은 완비성 공리 참고: $\varepsilon$-특성화로 $a_N>\sup-\varepsilon$ 인 $N$ 을 찾고 단조성으로 꼬리 전체를 가둔다.)
정리 (부분수열의 극한 보존). $p_n\to p$ 이면 모든 부분수열 $p_{n_k}\to p$. (증명: $n_k\ge k$ 이므로 $N$ 이후의 모든 $p_n$ 을 잡는 정의가 부분수열에도 그대로 적용.) 이 정리의 대우 — 어떤 두 부분수열이 다른 극한으로 가면 원래 수열은 발산 — 가 발산 판정의 표준 기법이다.
예제
예제 1 (기본 극한들). $1/n \to 0$; $r^n \to 0\ (|r|<1)$; $\sqrt[n]{n} \to 1$.
예제 2 (수렴하는 진동수열). $s_n = 1 + (-1)^n/n \to 1$ — 진동하지만 진폭이 줄어들어 수렴.
예제 3 (유계지만 발산). $s_n = (-1)^n$ 은 유계지만 발산 — 부분수열 $s_{2k}=1\to1$, $s_{2k+1}=-1\to-1$ 이 서로 다른 극한으로 가므로(부분수열 극한 보존 정리의 대우).
예제 4 (단조수렴의 고전적 적용). $a_n = (1 + 1/n)^n \to e$. 이항정리로 단조증가성을, 항별 추정으로 $2$ 이상 $3$ 이하의 유계성을 보이면 단조수렴정리가 극한의 존재를 보장한다 — 그 값이 $e$ 라는 사실은 별도의 계산.
예제 5 (극한 법칙의 실패 — 분모 극한이 $0$). $a_n=1/n\to0$, $b_n=1/n^2\to0$ 일 때 $a_n/b_n=n\to\infty$ — 발산. 극한 법칙의 가설 "$b\ne0$" 이 본질적임을 보여준다.
예제 6 (재귀로 정의된 수열). $a_1=1$, $a_{n+1}=\frac12(a_n+2/a_n)$ (Newton법으로 $\sqrt2$ 근사)은 $n\ge2$ 에서 단조감소·$\sqrt2$ 로 아래 유계이므로 단조수렴정리로 수렴. 극한 $L$ 은 $L=\frac12(L+2/L)$ 을 풀어 $L=\sqrt2$.
예제 7 (거리공간에서의 수렴). $\mathbb{R}^2$ 에서 $p_n=(1/n,\,(-1)^n/n)$ 은 $(0,0)$ 으로 수렴 — 유클리드 거리 $d(p_n,0)=\sqrt{1/n^2+1/n^2}=\sqrt2/n\to0$.
흔한 오해와 함정
- "유계 ⟹ 수렴" — 거짓(예제 3). 유계는 수렴의 필요조건일 뿐 충분조건이 아니다. 충분조건이 되려면 단조성이나 Cauchy 성질이 추가로 필요하다.
- 극한의 유일성을 당연시 — 거리공간의 정의(삼각부등식)가 본질적으로 쓰인다. 위상공간 일반에서는 분리공리(Hausdorff)가 없으면 극한이 유일하지 않을 수 있다.
- "$N$ 은 $\varepsilon$ 과 무관하게 고정된 수" — 틀림. $N$ 은 $\varepsilon$ 에 의존해서 골라야 한다(보통 $\varepsilon$ 이 작을수록 $N$ 은 커진다). $N=N(\varepsilon)$ 으로 표기하기도 하는 이유.
- 부분수열을 "원소를 솎아낸 새 수열"로만 이해하고 순서 보존을 놓침 — 부분수열은 반드시 $n_1<n_2<n_3<\cdots$ 처럼 색인이 순증가해야 한다. 순서를 뒤섞으면 부분수열이 아니다.
- 극한 법칙을 분모가 $0$ 으로 가는 경우에도 기계적으로 적용 — $b_n\to0$ 이면 $a_n/b_n$ 의 극한 법칙 자체가 적용되지 않는다(예제 5). $0/0$ 꼴은 별도 분석이 필요.
큰 그림 / 연결
수열의 수렴은 이 위키 전체의 엔진이다 — 코시 수열는 극한을 몰라도 수렴을 판정하는 내재적 기준을 주고, 볼차노–바이어슈트라스 정리는 유계수열에서 수렴 부분수열의 존재를 보장하며, limsup liminf는 발산하는(진동하는) 수열도 항상 정의되는 상·하극한으로 다룬다. 급수는 급수를 부분합의 수열로 환원해 모든 급수 이론을 수열 이론의 특수한 경우로 만든다. 완비성 공리의 단조수렴정리·축소구간 정리는 모두 수열의 언어로 진술된다. 더 나아가 함수의 극한(함수의 극한)과 연속(연속)은 Bartle식으로는 수열의 극한으로 순차적으로 특성화된다("$f$ 가 $a$ 에서 연속 $\iff$ $x_n\to a$ 인 모든 수열에서 $f(x_n)\to f(a)$") — 이 순차 판정이 Bartle 전개 전체의 주된 도구다. Rudin은 거리공간 일반에서 같은 정의를 쓰므로 $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{R}^k$ 를 단번에 포괄하고, 곧 위상적 언어(근방)로 재서술해 콤팩트성·연속 이론의 토대로 삼는다.
연습문제
- 정의를 이용해 $\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{n+3}=2$ 임을 직접 증명하라($\varepsilon$ 이 주어지면 $N$ 을 구체적으로 제시).
- $a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt n$ 의 극한을 구하라.
- $(-1)^n n$ 이 발산함을 부분수열을 이용해 보여라.
- 극한 법칙의 곱 부분을 본문 증명을 참고해 직접 완성하라(모든 부등식을 명시).
- $a_1=2$, $a_{n+1}=\sqrt{2a_n}$ 으로 정의된 수열이 단조증가·유계임을 보이고 극한을 구하라.
- 수렴수열의 임의의 부분수열도 같은 극한으로 수렴함을 정의로부터 증명하라.
- $a_n\to a$ 이고 $a_n\ge0$ 이면 $\sqrt{a_n}\to\sqrt a$ 임을 보여라($a>0$ 인 경우와 $a=0$ 인 경우를 나누어).
- $\{a_n\}$ 이 유계이고 모든 수렴 부분수열이 같은 극한 $L$ 로 간다면 $a_n\to L$ 임을 증명하라(이것이 "유계 + 부분수열 극한 일치 ⟹ 수렴"이라는 유용한 판정법이다).
힌트 / 정답
- $\left|\frac{2n+1}{n+3}-2\right|=\left|\frac{-5}{n+3}\right|=\frac{5}{n+3}<\varepsilon$ 이려면 $n>5/\varepsilon-3$. $N=\lceil5/\varepsilon\rceil$ 로 충분.
- $\sqrt{n+1}-\sqrt n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\to0$ (분모 $\to\infty$).
- 부분수열 $a_{2k}=2k\to\infty$, 부분수열 $a_{2k+1}=-(2k+1)\to-\infty$ — 둘 다 발산하거나 서로 다른 거동이므로 원래 수열은 (유계도 아니고) 수렴 불가.
- 본문 증명: $|a_nb_n-ab|\le|a_n||b_n-b|+|b||a_n-a|\le M|b_n-b|+|b||a_n-a|$. $\varepsilon>0$ 에 $N_1$: $n\ge N_1\Rightarrow|b_n-b|<\varepsilon/(2M)$, $N_2$: $n\ge N_2\Rightarrow|a_n-a|<\varepsilon/(2(|b|+1))$. $N=\max(N_1,N_2)$ 에서 합이 $<\varepsilon$.
- $a_n<2$ 라 가정(귀납), $a_{n+1}=\sqrt{2a_n}<\sqrt4=2$ — 유계 유지. $a_{n+1}>a_n\iff 2a_n>a_n^2\iff a_n<2$ — 단조증가. 극한 $L=\sqrt{2L}\Rightarrow L^2=2L\Rightarrow L=2$(0 제외, $a_n\ge\sqrt2$ 이므로).
- 정의에서 $N$ 이후 모든 $p_n$ 이 $\varepsilon$-띠 안에 있다면, $n_k\ge k$ 이므로 $k\ge N$ 인 모든 $k$ 에서 $p_{n_k}$ 도 $\varepsilon$-띠 안.
- $a=0$: $\varepsilon>0$ 에 $a_n<\varepsilon^2$ 인 $N$ 이후 $\sqrt{a_n}<\varepsilon$. $a>0$: $|\sqrt{a_n}-\sqrt a|=\frac{|a_n-a|}{\sqrt{a_n}+\sqrt a}\le\frac{|a_n-a|}{\sqrt a}\to0$.
- 만약 $a_n\not\to L$ 이면 어떤 $\varepsilon_0>0$ 에 대해 무한히 많은 $n$ 에서 $|a_n-L|\ge\varepsilon_0$ — 이 항들로 부분수열을 만들면 유계이므로(가정) B–W로 수렴 부분부분수열이 있는데, 그 극한은 $L$ 과 거리 $\ge\varepsilon_0$ 이므로 $L$ 이 아닌 다른 극한을 가진 수렴 부분수열 — 가정에 모순.
관련 개념
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원전 소개 — Rudin §3.1–3.2 — "A sequence {pₙ} in a metric space X is said to converge if there is a point p... we say that {pₙ} converges to p, or that p is the limit"; "{pₙ} converges to p ∈ X if and only if every neighborhood of p contains all but finitely many of the terms." ↩↩
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원전 소개 — Rudin §3.2–3.3 [synthesis] — 극한의 유일성, 수렴수열의 유계성, 극한의 대수 법칙. ↩
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원전 소개 — Bartle §3.1 / Preface — "we give a thorough treatment of sequences in ℝ and the associated limit concepts. The material is of the greatest importance." ↩