해석함수

개요 — 동기·문제의식

해석함수(analytic / holomorphic function)는 복소해석의 주인공이다. 정의는 소박하다 — "한 점이 아니라 열린집합 전체에서 복소미분가능". 그러나 이 소박한 조건이 실해석에는 없는 폭발적 결과를 낳는다: 해석함수는 자동으로 무한 번 미분가능하고, 멱급수로 전개되며, 한 점 근방의 정보만으로 전체가 결정된다. 이 페이지는 해석성의 정의와 즉각적 성질을 정리한다(깊은 결과들은 적분 정리 이후에 증명된다). 왜 "한 점"이 아니라 "근방 전체"를 요구하는지가 이 정의의 핵심 설계 결정이다 — 그 이유는 아래 직관에서.

직관 — 왜 "한 점"이 아니라 "근방"인가

$f(z)=|z|^2=z\bar z$는 $z=0$ 한 점에서만 미분가능하다(연습문제 1, 코시–리만 방정식에서 직접 계산). 만약 "해석적"을 "그 점에서 미분가능"으로만 정의했다면, $|z|^2$가 $0$에서 "해석적"이라는 이상한 결론에 이른다 — 그런데 $0$ 근방의 다른 모든 점에서는 미분조차 안 되므로, 멱급수 전개·항등정리 같은 강력한 정리들은 전혀 성립하지 않는다. 해석성이 "근방 전체"를 요구하는 이유는, 그래야만 그 점 주변에서 함수의 행동을 충분히 통제해 미분을 반복하거나 적분할 수 있는 "여유 공간"이 생기기 때문이다 — 한 점만으로는 그 점 자체에서 국소적 직선 근사가 존재한다는 것만 말할 뿐, 주변 거동에 대해서는 아무것도 보장하지 않는다. 이 구분이 실해석에서는 거의 무의미한데(실수에서는 미분가능성 자체가 이미 약한 조건이라 "점에서"와 "근방에서"의 차이가 결과에 거의 영향을 주지 않는다), 복소수에서는 둘이 하늘과 땅 차이다.

정의

함수 $f$가 점 $z_0$에서 해석적(analytic)이라는 것은, $z_0$의 어떤 근방 전체에서 미분가능함을 뜻한다.¹ 한 점에서의 미분가능성만으로는 부족하다 — 근방 전체가 핵심이다.

• $f$가 영역 $D$의 모든 점에서 해석적이면 "$D$에서 해석적".
• $f$가 $\mathbb{C}$ 전체에서 해석적이면 전해석함수(entire function). 예: 다항식, $e^z$, $\sin z$, $\cos z$.
• 동의어: holomorphic(정칙), regular. ("해석적"은 멱급수 전개 가능을, "정칙"은 복소미분가능을 강조하나 복소해석에서는 동치다 — 동치성 자체는 정리이며 멱급수와 테일러 정리에서 증명한다.)

특이점(singularity): $f$가 $z_0$에서는 해석적이 아니지만 그 근방의 다른 점들에서는 해석적인 점. (정의 자체가 "해석적이 아닌 점"을 "해석적인 점들에 둘러싸인 점"으로 좁힌다는 데 주목 — 아무 데서나 해석적이지 않은 점이 아니라 고립된 결함이다.)

주요 정리

정리 (해석성은 연속성을 함의).² $f$가 $z_0$에서 미분가능이면 $f$는 $z_0$에서 연속이다.

정리 (미분의 대수).² $f, g$가 $z_0$에서 미분가능이면 $f\pm g$, $fg$, (분모$\ne0$에서) $f/g$도 미분가능이고, 곱법칙 $(fg)'=f'g+fg'$, 몫법칙, 연쇄법칙 $(f\circ g)'(z_0)=f'(g(z_0))g'(z_0)$이 실미분과 형식적으로 동일하게 성립한다. 증명의 구조. 증명은 실미분의 표준 증명($\varepsilon$-$\delta$, 차이몫 전개)을 글자 그대로 옮긴다 — $\mathbb{C}$가 거리공간으로서 $\mathbb{R}$과 같은 성질(완비성, 사칙연산과 극한의 호환)을 갖기 때문에 증명 자체는 새로 쓸 필요가 없다.

정리 ($f_{\bar z}=0$, 미분가능성의 필요조건).² $f=u+iv$가 $z_0=x_0+iy_0$에서 미분가능이면 $u,v$의 1차 편도함수가 $z_0$에서 존재하고 Cauchy–Riemann 방정식 $u_x=v_y$, $u_y=-v_x$를 만족한다(자세한 증명은 코시–리만 방정식). 이를 비징코(Wirtinger) 미분 $\frac{\partial}{\partial\bar z} := \frac12\left(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\right)$로 표현하면 한 줄: $f_{\bar z}(z_0)=0$ — "해석함수는 $\bar z$에 의존하지 않는다"는 직관을 정확하게 만든 식이다.

정리 (CR 판정, 충분조건까지).² $f=u+iv$가 영역 $D$에서 해석적 $\iff$ $u,v$가 $D$에서 연속인 1차 편도함수를 갖고 CR 방정식을 만족. 주의(필요조건만으로는 부족). CR 방정식이 한 점에서 성립한다고 해서 그 점에서 미분가능한 것은 아니다 — 편도함수의 연속성까지 가정해야 충분조건이 된다(역방향 증명에 1차 근사 정리 Theorem 5.16급의 전미분 가능성이 필요하기 때문).

정리 (상수 판정).³ 영역 $D$(연결 열린집합)에서 해석적인 $f$가 다음 중 하나를 만족하면 $f$는 상수다: (i) $f'\equiv0$, (ii) $|f|$가 상수, (iii) $\operatorname{Re} f$ 또는 $\operatorname{Im} f$가 상수, (iv) $\bar f$도 해석적.

정리 (해석성의 깊은 결과 — 예고). 해석함수는 다음을 만족한다(증명은 Cauchy 적분공식 이후): - $C^\infty$: 무한 번 미분가능. → 코시 적분공식 - 멱급수 전개: 각 점 근방에서 수렴 Taylor 급수와 일치. → 멱급수와 테일러 정리 - 항등정리(identity theorem): 두 해석함수가 집적점을 가진 집합에서 일치하면 영역 전체에서 일치. - 개사상정리(open mapping): 상수가 아닌 해석함수는 열린집합을 열린집합으로 보낸다 — 이것이 바로 다음 절의 최댓값 원리(최대절댓값 원리)의 기하적 근원이다(만약 $|f|$가 내부에서 최댓값을 가지면 그 점의 상이 열린집합 안에 있을 텐데, $|f|$가 더 큰 값을 갖는 근방의 점들이 존재해야 하므로 모순).

예제

예제 1. $f(z) = \dfrac{1}{z}$는 $\mathbb{C}\setminus\{0\}$에서 해석적, $f'(z) = -1/z^2$. $z=0$은 특이점.

예제 2. 다항식 $p(z) = a_nz^n + \cdots + a_0$은 전해석. 유리함수 $p(z)/q(z)$는 $q(z)\ne0$인 곳에서 해석적($q$의 근이 특이점).

예제 3 (항등정리의 위력). 해석함수 $f$가 $f(1/n) = 0$ ($n=1,2,\dots$)을 만족하고 $0$ 근방에서 해석적이면, $\{1/n\}$이 $0$으로 집적하므로 $f\equiv0$. — 실해석에는 이런 강한 결정성이 없다.

예제 4. $f(z) = e^z$가 전해석이고 $|e^z| = e^{\operatorname{Re} z}$. $|f|$가 상수가 아니므로 (iii)에 안 걸림 — 실제로 비상수.

예제 5 (해석적이 아닌데 한 점에서 미분가능한 함수, 정의의 미묘함 재확인). $f(z)=z\bar z=|z|^2$는 $z_0\ne0$에서 미분 불가능, $z_0=0$에서만 미분가능(직접 차이몫 계산: $\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h\bar h}{h}=\bar h\to0$, 방향에 무관하게 같은 값 — 유일하게 잘 정의된 극한). 그러나 $0$ 근방에는 미분 불가능한 점들이 조밀하므로 $f$는 $0$에서도 해석적이지 않다 — "해석적"이 "근방 전체에서 미분가능"임을 요구하는 정의의 위력을 보여주는 정석적인 반례.

예제 6 (합성함수의 해석성). $f(z)=e^{z^2}$가 전해석임을 합성 정리로 즉시 확인: $g(z)=z^2$(전해석, 다항식)와 $h(w)=e^w$(전해석)의 합성이므로 연쇄법칙으로 $f'(z)=h'(g(z))g'(z)=e^{z^2}\cdot2z$. 매번 정의로 돌아가 극한을 계산할 필요 없이, "대수 연산과 합성에 닫혀있다"는 정리 하나로 복잡한 함수의 해석성을 즉시 판정할 수 있다는 것이 미분의 대수 정리의 실용적 가치다.

흔한 오해와 함정

• "한 점에서 미분가능 = 그 점에서 해석적" — 거짓(정의 자체가 다르다). 예제 5가 정석적인 반례다. "해석적"은 근방 전체를 요구하는 더 강한 조건이다. 이 구분을 잊으면 항등정리·멱급수전개 같은 정리를 적용할 수 없는 곳에 잘못 적용하게 된다.
• "CR 방정식이 한 점에서 성립하면 그 점에서 해석적이다" — 거짓. CR은 미분가능성의 필요조건이지 (편도함수의 연속성 없이는) 충분조건이 아니다. 표준 반례: $f(z)=\sqrt{|xy|}$ ($z=x+iy$)는 원점에서 CR을 만족하지만 미분 불가능하다(편도함수가 원점에서 불연속이기 때문). 따라서 CR 판정 정리를 쓸 때는 반드시 "연속인 편도함수"라는 가정을 함께 확인해야 한다.
• "$D$가 연결이 아니어도 상수 판정 정리가 성립한다" — 거짓. $D=\{|z|<1\}\cup\{|z-3|<1\}$ (분리된 두 원판)에서 $f\equiv0$ (왼쪽), $f\equiv1$ (오른쪽)로 정의하면 $f'\equiv0$이지만 $f$는 전체로서 상수가 아니다. "영역"이라는 단어가 항상 연결성을 내포한다는 관례를 놓치면 이 함정에 빠진다.
• "전해석함수는 항상 '간단한' 함수다" — $\sin z, e^z, \cos z$처럼 익숙한 함수만 전해석인 게 아니다. 임의의 수렴반지름이 무한대인 멱급수 $\sum a_nz^n$은 모두 전해석함수를 정의하며, 그런 함수는 무한히 많고 일반적으로 닫힌 형태의 공식을 갖지 않는다.

큰 그림 / 연결

해석함수의 정의(근방에서의 미분가능성)는 사소해 보이지만, 이 위키 전체 정리 구조의 출발점이다. Cauchy–Riemann 방정식(코시–리만 방정식)이 그 정의를 좌표로 풀어낸 판정법을 주고, Cauchy 적분정리·적분공식(코시 정리, 코시 적분공식)이 "근방에서 미분가능"이라는 국소적 가정으로부터 $C^\infty$·멱급수 전개라는 전역적 결과를 끌어낸다. 상수 판정 정리의 네 가지 동치 조건(특히 (ii) $|f|$ 상수, (iv) $\bar f$도 해석적)은 최댓값 원리(최대절댓값 원리)와 조화함수 이론(harmonic functions)에서 "해석함수의 실부·허부·모듈러스가 서로를 강하게 구속한다"는 주제로 재등장한다. 항등정리는 해석적 연속(analytic continuation)의 존재가 유일함을 보장하는 토대이며, 개사상정리는 등각사상(conformal mapping riemann)이 영역의 "모양"을 다른 모양으로 바꿀 수 있되 차원이나 위상은 보존한다는 사실의 근거가 된다.

연습문제

1. $f(z) = z\,\bar z$는 어디서 해석적인가?
2. $f(z) = \dfrac{z+1}{z^2+1}$의 특이점을 모두 찾아라.
3. 영역 $D$에서 해석적이고 실수값만 갖는 $f$는 상수임을 보여라.
4. $f,g$가 전해석이고 실축 위에서 $f(x)=g(x)$이면 $\mathbb{C}$ 전체에서 $f=g$임을 설명하라.
5. $f$가 영역 $D$에서 해석적이고 $\bar f$도 $D$에서 해석적이면 $f$가 상수임을, $f=u+iv$로 두고 CR 방정식을 $f$와 $\bar f$ 양쪽에 적용해 보여라.
6. $g(z)=\overline{f(\bar z)}$가 $f$가 해석적인 영역의 켤레 영역에서 해석적임을 보여라(힌트: $f=u+iv$가 해석적이면 $u(x,-y), -v(x,-y)$가 CR을 만족하는지 확인).
7. 다항식 $p(z)$가 전해석임을 미분의 대수 정리(합·곱 연산에 닫혀있음)만으로, 즉 정의로 직접 돌아가지 않고 설명하라.

관련 개념

• 코시–리만 방정식 — 해석성의 판정
• 멱급수와 테일러 정리 — 해석 ⟺ 멱급수
• 코시 정리 — 근방의 미분가능성에서 전역 결과로
• 코시 적분공식 — $C^\infty$·항등정리의 원천
• 특이점과 유수 — 해석성이 깨지는 점
• 최대절댓값 원리 — 개사상정리의 직접적 귀결
• harmonic functions — 실부·허부의 추가 구속
• analytic continuation — 항등정리가 보장하는 유일성
• conformal mapping riemann — 개사상정리의 기하적 의미