IV. 멱급수 · 7/16

멱급수와 테일러 정리

수렴반지름, 테일러 전개, 항등정리

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

실해석학에서 "무한 번 미분가능"과 "Taylor 급수로 표현 가능"은 서로 다른 조건이다 — $f(x)=e^{-1/x^2}$ ($f(0):=0$)은 $C^\infty$이지만 원점에서 모든 도함수가 $0$이라 Taylor 급수는 항등적으로 $0$인데, 정작 함수는 $0$이 아니다. 복소해석학에서는 이런 병리적인 현상이 결코 일어나지 않는다: 해석적이면 자동으로 Taylor 급수가 함수 자체와 정확히 일치한다. 이 페이지의 중심 명제는 "해석적 ⟺ 국소적으로 수렴 멱급수와 일치"라는 완전한 동치다 — 미분방정식으로 정의된 성질(해석성)과 급수 전개로 정의된 성질(멱급수 표현 가능성)이 복소수 세계에서는 하나의 같은 대상을 가리킨다. 이 동치성은 코시 적분공식의 "해석적이면 $C^\infty$"라는 사실과 함께, 리우빌 정리와 귀결들·최대절댓값 원리로 이어지는 복소해석 특유의 경직성을 뒷받침하는 세 번째 기둥이다.

직관 (기하)

멱급수를 기하적으로 이해하는 열쇠는 수렴반지름 = 가장 가까운 특이점까지의 거리라는 사실이다. 함수 $\dfrac{1}{1+x^2}$의 실 Maclaurin 급수가 왜 $|x|<1$에서만 수렴하는지는 실수축 위에서는 설명이 안 된다 — 이 함수는 실수축 전체에서 매끄럽고 특이점이 전혀 없어 보이기 때문이다. 복소평면으로 눈을 돌리면 답이 보인다: $\dfrac{1}{1+z^2}=\dfrac{1}{(z-i)(z+i)}$는 $z=\pm i$에서 극을 가지고, 이 두 점은 원점에서 거리 $1$에 있다. Taylor 급수는 "특이점에 부딪힐 때까지" 원형으로 퍼져나가는 원판 안에서만 유효하며, 그 원판의 경계가 바로 가장 가까운 특이점을 지나는 원이다. 이 그림은 로랑 급수에서 환영역으로 확장되는 무대이기도 하다 — 원판 하나로 부족하면 특이점을 피해가는 도넛 모양 영역에서 전개하면 된다.

또 다른 직관은 "해석성은 국소적으로 다항식에 무한히 가까워진다"는 것이다. 멱급수의 부분합 $\sum_{n=0}^N a_n(z-z_0)^n$은 다항식이고, $N\to\infty$일수록 $f$를 원판 안에서 점점 더 정확하게 근사한다 — 마치 함수의 "DNA 전체"가 중심점 $z_0$에서의 무한히 많은 도함수 값 $f^{(n)}(z_0)$에 완전히 압축되어 저장되어 있는 것과 같다. 이것이 왜 강력한가 하면, 원판 안 임의로 먼 점의 함숫값을 알기 위해 그 점까지 갈 필요 없이, 중심점 하나에서의 정보만으로 전체가 복원되기 때문이다 — Cauchy 적분공식의 "경계가 내부를 결정한다"는 주제의 또 다른 변주다.

정의

멱급수(power series): $z_0$ 중심의 급수 $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$, $a_n\in\mathbb{C}$는 계수.

수렴반지름(radius of convergence).¹ Cauchy–Hadamard 공식: $$R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}}\qquad(R=\infty\text{ if } \limsup=0,\ R=0\text{ if } \limsup=\infty),$$ 또는 극한이 존재하면 비율판정으로 $R = \lim_{n\to\infty} |a_n/a_{n+1}|$. 급수는 $|z-z_0|<R$에서 절대수렴하며 임의의 컴팩트 부분집합에서 균등수렴, $|z-z_0|>R$에서 발산. 경계 $|z-z_0|=R$ 위의 수렴 여부는 급수마다 다르다(개별 판정 필요).

Taylor 급수: $f$가 $z_0$에서 해석적일 때 $$f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n.$$ $z_0=0$이면 Maclaurin 급수라 부른다.

해석적 함수 요소(function element)와 항등정리의 예고. 같은 함수라도 중심 $z_0$이 다르면 계수가 다른 멱급수를 얻는다 — analytic continuation에서 이 다중 표현을 이어붙이는 방법을 다룬다.

주요 정리

정리 (수렴원판 안에서 멱급수는 해석적).¹ 수렴반지름 $R>0$인 멱급수 $f(z)=\sum a_n(z-z_0)^n$은 $|z-z_0|<R$에서 해석적이고, 그 안에서 무한 번 항별 미분·적분이 가능하며 도함수의 급수도 같은 $R$을 가진다: $$f'(z) = \sum_{n=1}^\infty n\,a_n(z-z_0)^{n-1},\qquad f^{(k)}(z) = \sum_{n=k}^\infty \frac{n!}{(n-k)!}a_n(z-z_0)^{n-k}.$$

증명 보기

증명 스케치. $|z-z_0|<R$인 컴팩트 부분원판에서 급수는 균등수렴하므로, 부분합(다항식이라 해석적)의 열이 균등수렴 극한 $f$를 만든다. 균등수렴하는 해석함수열의 극한은 해석적이라는 정리(Morera 정리를 경유, 리우빌 정리와 귀결들)에 의해 $f$가 해석적임이 따라 나오고, 그 증명 안에서 항별 미분도 정당화된다. $z=z_0$에서 각 도함수를 계산하면 $f^{(n)}(z_0) = n!\,a_n$, 즉 $a_n = f^{(n)}(z_0)/n!$ — 계수가 도함수로 완전히 결정된다.

정리 (Taylor 정리).² $f$가 영역 $D$의 경계 $C$까지 포함해 $z_0$ 중심 반지름 $\delta$ 원판에서 해석적이면($\delta$ = $z_0$에서 $C$까지의 최단거리), 그 원판 전체에서 Taylor 급수가 $f$와 정확히 일치한다.

증명 보기

증명. $z_0$ 중심, 반지름 $\rho<\delta$인 원 $C_1$을 잡고 $z$를 $C_1$ 내부의 점, $\zeta$를 $C_1$ 위의 점이라 하자. $|z-z_0| = r < \rho = |\zeta-z_0|$이므로, 핵 $\dfrac{1}{\zeta-z}$을 기하급수로 전개할 수 있다: $$\frac{1}{\zeta-z} = \frac{1}{(\zeta-z_0)-(z-z_0)} = \frac{1}{\zeta-z_0}\cdot\frac{1}{1-\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}} = \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(z-z_0)^k}{(\zeta-z_0)^{k+1}} + R_n(\zeta,z),$$ 여기서 $R_n$은 기하급수의 나머지항(비 $\left|\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}\right| = r/\rho < 1$이므로 잘 통제됨). Cauchy 적분공식 $f(z) = \dfrac{1}{2\pi i}\oint_{C_1}\dfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta$에 이 전개를 대입하고 $f(\zeta)$와 함께 항별로 적분하면 $$f(z) = \sum_{k=0}^{n-1}(z-z_0)^k\cdot\underbrace{\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_1}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{k+1}}d\zeta}_{=\,f^{(k)}(z_0)/k!\ \text{(도함수 공식)}} + \ \frac{1}{2\pi i}\oint_{C_1}R_n(\zeta,z)f(\zeta)\,d\zeta.$$ 나머지 적분항은 ML 부등식으로 $\left|\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}\right|^n = (r/\rho)^n \to 0$ ($n\to\infty$, $r<\rho$이므로)에 지배되어 $0$으로 수렴한다. 따라서 $$f(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(z_0)}{k!}(z-z_0)^k.$$ $\rho$가 $\delta$보다 작은 임의의 값이었으므로, 이 등식은 전체 원판 $|z-z_0|<\delta$에서 성립한다. ∎ — 이 증명이 코시 적분공식의 도함수 공식을 직접 사용한다는 점, 그리고 나머지항이 $0$으로 가는 속도가 정확히 기하급수의 비율에 의해 통제된다는 점이 핵심이다.

핵심 사실 — 수렴반지름의 기하적 의미. Taylor 급수의 수렴반지름 $R$은 정확히 $z_0$에서 가장 가까운 특이점까지의 거리와 같다. 실 Maclaurin 급수 $\dfrac{1}{1+x^2}=\sum(-1)^nx^{2n}$이 $|x|<1$에서만 수렴하는 "수수께끼"가 복소로 확장하면 즉시 풀린다 — 특이점 $\pm i$가 원점에서 거리 $1$에 있기 때문(직관 절 참고).

정리 (동치성의 역방향 — 해석적 ⟹ 멱급수, 요약). Taylor 정리 자체가 이 방향을 이미 완전히 증명한다: 해석적 함수는 자신의 정의역 안 임의의 점 중심으로 국소적 멱급수 표현을 갖는다. 반대 방향(멱급수로 표현되면 해석적)은 첫 번째 정리에서 증명되었으므로, 두 조건은 완전한 동치다.³

표준 Maclaurin 급수 ($\forall z$ 또는 $|z|<1$): $$e^z = \sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!},\quad \sin z = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos z = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!},\quad \frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n\ (|z|<1).$$

예제

예제 1 (기본 기하급수). $\dfrac{1}{1-z}$의 Maclaurin 급수는 $\sum z^n$, $R=1$ (특이점 $z=1$까지 거리 $1$).

예제 2 (중심 이동). $\dfrac{1}{z}$를 $z_0=1$ 중심으로 전개하면 $\dfrac1z = \dfrac{1}{1+(z-1)} = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n(z-1)^n$, $|z-1|<1$ (특이점 $0$까지 거리 $1$). 같은 함수라도 중심을 바꾸면 계수가 완전히 달라진다는 점에 주의.

예제 3 (곱셈으로 계수 추출). $e^z\cos z$의 $z^2$ 계수를 구해보자. $e^z = 1+z+\tfrac{z^2}{2}+\cdots$, $\cos z = 1 - \tfrac{z^2}{2}+\cdots$. 코시 곱의 $z^2$ 항은 $1\cdot(-\tfrac12) + 1\cdot0 + \tfrac12\cdot1 = 0$. 두 무한급수의 곱을 항별로 전개하는 것이 항상 정당한 이유는 두 급수 모두 절대수렴하기 때문이다(절대수렴급수의 곱은 코시 곱으로 재배열 가능).

예제 4 (수렴반지름의 두 극단). $\sum \dfrac{z^n}{n!}$: 비율판정 $|a_n/a_{n+1}| = (n+1)\to\infty$ ⟹ $R=\infty$ ($e^z$는 전해석, 특이점이 아예 없음). $\sum n!\,z^n$: $|a_n/a_{n+1}| = 1/(n+1)\to0$ ⟹ $R=0$ (오직 $z=0$에서만 수렴 — "특이점이 원점에 붙어있다"는 극단적 경우).

예제 5 (Taylor 정리로 도함수 상한 재확인, Cauchy 추정과의 연결). $f(z)=\dfrac{1}{1-z}$의 $z_0=0$에서의 Taylor 계수는 $a_n=1$ (예제 1)이고 $f^{(n)}(0) = n!\,a_n = n!$이다. 직접 미분으로도 $f^{(n)}(z) = \dfrac{n!}{(1-z)^{n+1}}$, $f^{(n)}(0)=n!$ — Taylor 정리의 계수공식이 직접 미분과 정확히 일치함을 확인.

예제 6 (경계에서의 미묘한 거동). $\sum \dfrac{z^n}{n^2}$은 $R=1$이지만 경계 $|z|=1$ 위 모든 점에서 수렴한다($\sum1/n^2$이 수렴하므로 절대수렴). 반면 $\sum z^n$($R=1$)은 경계 위 어디서도 수렴하지 않는다(항이 $0$으로 가지 않음). 같은 수렴반지름이라도 경계 위 거동은 급수구조에 따라 천차만별 — 이것이 "경계는 개별 판정이 필요하다"는 정의 절의 경고가 실제로 의미하는 바다.

예제 7 (Taylor 정리의 실전 응용, 로그). $\log(1+z)$를 $z_0=0$ 중심으로 전개하려면 특이점이 $z=-1$에 있음을 먼저 확인 — 따라서 $R=1$을 예측할 수 있다. 실제로 $\dfrac{d}{dz}\log(1+z) = \dfrac{1}{1+z} = \sum(-1)^nz^n$이고 항별 적분으로 $\log(1+z) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n-1}}{n}z^n$, $R=1$ — 특이점 위치를 먼저 파악하면 계산 없이도 수렴반지름을 알 수 있다는 실전 팁.

흔한 오해와 함정

"$C^\infty$이면 Taylor 급수가 함수와 일치한다" — 이것은 실해석학에서는 거짓($e^{-1/x^2}$ 반례)이지만 복소해석학에서는 참이다(Taylor 정리). 복소 미분가능성이 실 미분가능성보다 훨씬 강한 조건이기 때문에 생기는 근본적 차이 — 이 페이지의 핵심 메시지.
"수렴반지름은 실수축 위의 특이점만 보면 된다" — 완전히 틀렸다. 예제(직관 절)의 $1/(1+x^2)$처럼, 실수축에는 특이점이 전혀 없어도 복소평면의 다른 곳(허수축 등)에 있는 특이점이 수렴반지름을 결정한다. 실 함수의 Taylor 급수 수렴반지름을 이해하려면 반드시 복소평면 전체를 봐야 한다.
"경계 $|z-z_0|=R$ 위에서는 항상 발산한다" 또는 "항상 수렴한다" — 둘 다 틀렸다(예제 6). 경계에서의 수렴은 급수마다 다르며 일반적인 정리가 없다 — 개별적으로 판정해야 한다.
"멱급수의 계수를 알려면 반드시 도함수를 계산해야 한다" — 실전에서는 정반대가 더 흔하다. 알려진 급수(기하급수, $e^z$, $\sin z$ 등)를 대수적으로 조작(치환·곱·나눗셈·적분·미분)해서 계수를 구하는 것이 직접 도함수를 계산하는 것보다 훨씬 빠르다(예제 2, 3, 7).
"항별 미분·적분은 항상 자유롭게 할 수 있다" — 수렴원판의 내부에서만 보장된다(정리에서 명시). 경계 위나 경계를 넘어서는 항별 연산의 타당성은 별도로 검증해야 한다.

큰 그림 / 연결

멱급수와 해석성의 완전한 동치는 해석함수에서 정의된 해석성 개념에 구체적인 "좌표"를 부여하며, 증명 자체가 코시 적분공식의 도함수 공식을 직접 사용한다는 점에서 앞 페이지들의 자연스러운 귀결이다. 이 페이지의 핵심 기법(기하급수 전개 + ML 부등식으로 나머지항 통제)은 로랑 급수에서 환영역의 안쪽·바깥쪽 경계 모두에 같은 방식을 적용해 음의 거듭제곱까지 포함한 전개를 얻는 데 그대로 재사용된다. 계수공식 $a_n=f^{(n)}(z_0)/n!$은 특이점과 유수에서 유수를 계산하는 표준 기법(테일러 전개해서 계수를 읽는 것)의 토대이며, 같은 함수가 중심을 옮기면 다른 급수를 갖는다는 사실은 analytic continuation에서 함수 요소를 이어붙여 정의역을 확장하는 아이디어의 출발점이다. 실해석학의 Taylor 급수와 결정적으로 다르다는 사실(흔한 오해 절)은 복소·실 미분가능성의 근본적 차이를 보여주는 대표 사례로 자주 인용된다.

연습문제

$\dfrac{1}{2-z}$를 $z_0=0$ 중심으로 전개하고 $R$을 구하라.
$\dfrac{1}{(1-z)^2}$의 Maclaurin 급수를 (항별 미분으로) 구하라.
$\dfrac{1}{1+z^2}$의 Maclaurin 급수와 수렴반지름을 구하고, $R$을 특이점으로 설명하라.
$\log(1+z)$의 Maclaurin 급수를 구하라 ($|z|<1$).
$\tan z$의 특이점 위치로부터 Maclaurin 급수의 수렴반지름을 (계산 없이) 예측하라.
$z e^z$의 Maclaurin 급수를 구하고, $z^3$ 계수로부터 $f'''(0)$을 역산하라.
$\sum \binom{2n}{n}z^n$의 수렴반지름을 비율판정으로 구하라 ($\binom{2n}{n}\sim 4^n/\sqrt{\pi n}$ 이용).
Taylor 정리의 증명에서 나머지항 $R_n$이 $0$으로 수렴하는 데 $r<\rho$ 조건이 왜 필수적인지 설명하라.

힌트 / 정답

$\dfrac{1}{2-z} = \dfrac12\cdot\dfrac{1}{1-z/2} = \sum \dfrac{z^n}{2^{n+1}}$, $R=2$ (특이점 $z=2$).
$\dfrac{1}{(1-z)^2} = \dfrac{d}{dz}\dfrac{1}{1-z} = \sum_{n=1}^\infty n z^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty (n+1)z^n$, $R=1$.
$\dfrac{1}{1+z^2} = \sum(-1)^n z^{2n}$, $R=1$ — 특이점 $\pm i$까지 거리 $1$.
$\log(1+z) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n-1}}{n}z^n$ (항 $\dfrac1{1+z}$ 적분), $R=1$.
$\tan z = \sin z/\cos z$의 가장 가까운 특이점은 $\cos z=0$의 근 중 원점에서 가장 가까운 $z=\pm\pi/2$ ⟹ $R=\pi/2$.
$ze^z = z + z^2 + \tfrac{z^3}{2}+\tfrac{z^4}{6}+\cdots$; $z^3$ 계수 $\tfrac12 = f'''(0)/3! \Rightarrow f'''(0) = 3$.
$|a_n/a_{n+1}| \to 4^n/4^{n+1} \cdot (\text{다항식 비} \to1) = 1/4$이므로 $R=1/4$.
$r<\rho$가 없으면 비 $\left|\frac{z-z_0}{\zeta-z_0}\right| = r/\rho \ge 1$이 되어 기하급수의 나머지항이 $0$으로 수렴하지 않는다 — 기하급수 자체가 비가 $1$ 미만일 때만 수렴하는 것과 같은 근본적 제약.