유수 정리와 실적분

개요 — 동기·문제의식

$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{x^2+1}\,dx$ 같은 적분을 실해석학의 도구(부정적분·부분적분·치환)만으로 계산하려고 하면 곧 막힌다 — $\cos x/(x^2+1)$의 원시함수는 초등함수로 표현되지 않는다. 그런데 로랑 급수와 특이점과 유수가 이미 만들어 놓은 두 가지 사실 — "Laurent 급수는 특이점 하나당 계수 하나(유수)만 적분에 살아남는다"와 "그 특이점들을 위수까지 정확히 분류하는 계산 공식이 있다" — 을 합치면, 닫힌 윤곽 적분 전체가 내부 유수들의 합으로 붕괴한다는 극도로 강력한 정리가 나온다. 그리고 실수 적분을 복소평면 위의 닫힌 윤곽 적분으로 "들어올려" 계산한 뒤 실수 세계로 "내려오는" 전략을 쓰면, 실해석에서 손도 못 대던 이상적분들이 대수 문제(유수 계산)로 환원된다. 이것이 복소해석학이 순수 이론을 넘어 실전 계산 도구로 가장 널리 쓰이는 지점이다.

직관 (기하)

유수정리의 증명 아이디어 자체가 기하적으로 명료하다: 여러 특이점을 담은 큰 윤곽 $C$를, 각 특이점을 작은 원 하나씩으로 감싼 "포도송이"로 쪼갠다고 상상하자. 다중연결 영역에 대한 코시 정리의 변형 원리는 큰 윤곽 위의 적분이 정확히 그 작은 원들 위 적분의 합과 같다고 말한다 — 마치 전체 영역의 "총 전하"가 내부의 개별 "점전하"들의 합인 것과 비슷한 그림이다. 그리고 각 작은 원 적분은 로랑 급수에서 이미 계산된 대로 $2\pi i \times$(그 점의 유수)다. 그러므로 큰 윤곽을 한 바퀴 도는 것은, 안에 있는 특이점들을 하나씩 방문하며 그 유수를 걷어 더하는 것과 동일하다.

실적분으로 넘어가는 다리는 "반원 윤곽을 크게 벌려 무한대로 보내기"라는 하나의 그림으로 통일된다. 실수축 $[-R,R]$ 위의 적분에 상반평면의 큰 반원을 이어붙여 닫힌 윤곽을 만들면, 유수정리로 전체(직선 부분 + 반원 부분)를 계산할 수 있다. 관건은 반원 부분의 기여가 $R\to\infty$일 때 사라지는가이다 — 유리함수라면 ML 부등식(분모가 분자보다 차수가 충분히 높으면 반원 둘레 대비 피적분함수 크기가 더 빨리 줄어듦)으로, 진동인자 $e^{iax}$가 있으면 Jordan 보조정리(상반평면에서 $e^{iaz}$가 허수부 방향으로 지수적으로 감쇠하는 것을 이용)로 각각 정당화한다. 반원이 "증발"하고 나면, 남는 것은 정확히 원하는 실적분과 상반평면 안의 유수들의 합뿐이다 — 마치 무대의 절반(반원)을 어둠 속으로 밀어넣고 나머지 절반(실수축)만 조명 아래 남기는 것과 같은 전략이다.

정의 / 진술

유수정리(Residue Theorem).¹ $f$가 단순닫힌 윤곽 $C$(양의 방향, 반시계) 안과 위에서 고립특이점 $z_1,\dots,z_n$을 제외하고 해석적이면 $$\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i\sum_{k=1}^{n}\operatorname{Res}[f; z_k].$$

확장판(전평면 형태).² $f$가 확장복소평면 $\widehat{\mathbb{C}}$ 전체에서 유한 개의 고립특이점 $z_1,\dots,z_n$을 제외하고 해석적이면(즉 특이점이 무한히 쌓이지 않으면), 큰 원 $|z|=R$을 모든 특이점을 담을 만큼 키운 뒤 유수정리를 적용해 임의의 이런 함수의 윤곽 적분을 항상 "내부 유수의 합" 형태로 조직할 수 있다.

주요 정리

정리 (유수정리). 위 등식이 성립한다.

응용 1 — 삼각함수 유리식 $\int_0^{2\pi}R(\cos\theta,\sin\theta)\,d\theta$. $z=e^{i\theta}$로 치환하면 $\theta$가 $0\to2\pi$일 때 $z$는 단위원을 한 바퀴 돈다. $\cos\theta = \tfrac12(z+z^{-1})$, $\sin\theta=\tfrac1{2i}(z-z^{-1})$, $dz = ie^{i\theta}d\theta = iz\,d\theta$이므로 $d\theta = dz/(iz)$. 실적분이 정확히 단위원 위의 윤곽적분으로 바뀐다 — 삼각함수를 다루던 문제가 순수 유리함수 적분 문제로 변형되는 것.

응용 2 — 유리함수의 이상적분 $\int_{-\infty}^\infty p(x)/q(x)\,dx$. ($\deg q \ge \deg p+2$, $q$는 실근 없음.) 상반평면 반원 윤곽 $C_R$ (실수축 $[-R,R]$ + 반원 $|z|=R,\operatorname{Im}z\ge0$)을 쓴다. $\deg q - \deg p \ge 2$이면 반원 위에서 $|f(z)| = O(1/R^2)$이고 반원의 길이는 $\pi R$이므로 ML 부등식으로 반원 적분 $\le \pi R\cdot O(1/R^2) \to 0$. 남는 것은 실수축 적분뿐이므로 $$\int_{-\infty}^\infty \frac{p(x)}{q(x)}\,dx = 2\pi i\sum_{\operatorname{Im}z_k>0}\operatorname{Res}\left[\frac pq;z_k\right].$$

응용 3 — Fourier형 적분 $\int_{-\infty}^\infty p(x)/q(x)\cdot e^{iax}\,dx$ ($a>0$, $\deg q\ge\deg p+1$로 완화됨). 상반평면 반원을 다시 쓰되, 이번엔 분모 차수 우위만으로는 반원 적분이 $0$으로 가지 않을 수도 있다(진동하는 $e^{iaz}$가 없으면). Jordan 보조정리가 정확히 이 간극을 메운다.

Jordan 보조정리.³ $a>0$이고 $f$가 상반평면 반원 $C_R:|z|=R,\ \operatorname{Im}z\ge0$에서 $\max_{C_R}|f(z)|=:M_R\to0$ ($R\to\infty$)이면 $\displaystyle\int_{C_R}f(z)e^{iaz}\,dz\to0$.

결과의 실수부·허수부 분리. $e^{iax}=\cos ax + i\sin ax$이므로, 응용 3의 결과를 실수부·허수부로 나누면 $\int \tfrac pq\cos(ax)\,dx$와 $\int\tfrac pq\sin(ax)\,dx$를 동시에 얻는다 — 한 번의 유수 계산으로 두 개의 실적분을 얻는 효율성.

예제

예제 1 (삼각함수 적분). $\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{2+\cos\theta}$. $z=e^{i\theta}$: $\cos\theta=\tfrac12(z+1/z)$, $$\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{2+\cos\theta} = \oint_{|z|=1}\frac{dz/(iz)}{2+\frac12(z+1/z)} = \oint_{|z|=1}\frac{2\,dz}{i(z^2+4z+1)}.$$ 근 $z=-2\pm\sqrt3$ (판별식 $16-4=12$), 내부 단위원 안에 있는 것은 $z_0=-2+\sqrt3\approx-0.27$ (단순극; $z_1=-2-\sqrt3\approx-3.73$은 밖). $\operatorname{Res} = \dfrac{2}{i(2z_0+4)} = \dfrac{2}{i\cdot2\sqrt3} = \dfrac{1}{i\sqrt3}$. 적분 $= 2\pi i\cdot\dfrac{1}{i\sqrt3} = \dfrac{2\pi}{\sqrt3}$.

예제 2 (유리 이상적분, 응용 2). $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x^2+1}$. $\deg q - \deg p = 2$ ⟹ 응용 2 조건 충족. 상반평면 단순극 $z=i$, $\operatorname{Res}[\,\cdot\,;i]=\dfrac{1}{2i}$ (분모 $q'(i)=2i$) ⟹ $2\pi i\cdot\dfrac{1}{2i}=\pi$. (실제로 $\arctan x$의 원시함수로 직접 계산해도 $\pi$ — 교차검증.)

예제 3 (Fourier형, 응용 3). $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos x}{x^2+1}\,dx$. $f(z)=\dfrac{e^{iz}}{z^2+1}$을 고려($a=1>0$, $\deg q-\deg p=2\ge1$이므로 Jordan 보조정리 적용 가능). 상반평면 단순극 $z=i$에서 $\operatorname{Res} = \dfrac{e^{i\cdot i}}{2i}=\dfrac{e^{-1}}{2i}$ ⟹ $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{ix}}{x^2+1}dx=2\pi i\cdot\dfrac{e^{-1}}{2i}=\dfrac{\pi}{e}$. 실부를 취하면 $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos x}{x^2+1}dx = \dfrac\pi e$; 허부(즉 $\int\frac{\sin x}{x^2+1}dx$)는 피적분함수가 기함수이므로 자동으로 $0$ — 결과와 일치.

예제 4 (고차 유리 이상적분). $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x^4+1}$. 분모의 네 근은 $z_k=e^{i(2k+1)\pi/4}$ ($k=0,1,2,3$); 상반평면($\operatorname{Im}>0$)에 있는 것은 $z_0=e^{i\pi/4}$, $z_1=e^{i3\pi/4}$ 두 개. 단순극이므로 $\operatorname{Res}[\,\cdot\,;z_k]=\dfrac{1}{4z_k^3}=\dfrac{z_k}{4z_k^4}=-\dfrac{z_k}{4}$ ($z_k^4=-1$이므로). 두 유수의 합: $-\dfrac14(e^{i\pi/4}+e^{i3\pi/4}) = -\dfrac14\left(\dfrac{\sqrt2}{2}(1+i) + \dfrac{\sqrt2}{2}(-1+i)\right) = -\dfrac14\cdot\sqrt2\,i = -\dfrac{\sqrt2}{4}i$. 적분 $=2\pi i\cdot\left(-\dfrac{\sqrt2}{4}i\right) = \dfrac{2\pi\sqrt2}{4}=\dfrac{\pi}{\sqrt2}$.

예제 5 ($\sin x/x$형, 원점 특이점 우회).⁴ $\displaystyle\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\,dx = \frac\pi2$. $\sin z/z$가 $z=0$에서 제거가능이지만, $e^{iz}/z$는 $z=0$에서 진짜 단순극이다. 실수축을 원점에서 반지름 $\varepsilon$인 작은 반원으로 우회(들여쓰기, indentation)하고 큰 반지름 $R$ 반원으로 위를 닫는 윤곽을 쓴다. 큰 반원은 Jordan 보조정리로 $0$; 작은 반원(원점 둘레, $\varepsilon\to0$)은 특이점의 유수의 절반(반원이므로 $-i\pi\operatorname{Res}$, 부호는 방향에 따름)만 기여한다는 부분원 보조정리를 쓰면, $2i\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}dx = \pi$가 나와 $\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}dx=\frac\pi2$. 유수정리 전체를 그대로 쓸 수 없는(특이점이 윤곽 위에 있는) 경우를 다루는 표준 기법.

예제 6 (다중극 등장). $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{x^2}{(x^2+1)^2}\,dx$. $f(z)=\dfrac{z^2}{(z^2+1)^2}=\dfrac{z^2}{(z-i)^2(z+i)^2}$, $\deg q-\deg p=2$이므로 응용 2 적용. $z=i$는 위수 2 극. 위수 $m$ 공식: $\operatorname{Res}[f;i] = \lim_{z\to i}\dfrac{d}{dz}\left[\dfrac{z^2}{(z+i)^2}\right]$. 몫의 미분: $\dfrac{2z(z+i)^2 - z^2\cdot2(z+i)}{(z+i)^4} = \dfrac{2z(z+i)-2z^2}{(z+i)^3}=\dfrac{2iz}{(z+i)^3}$, $z=i$ 대입: $\dfrac{2i\cdot i}{(2i)^3}=\dfrac{-2}{-8i}=\dfrac{1}{4i}$. 적분 $=2\pi i\cdot\dfrac1{4i}=\dfrac\pi2$.

흔한 오해와 함정

• "반원 윤곽만 있으면 항상 반원 적분이 사라진다" — 아니다. 응용 2의 조건($\deg q\ge\deg p+2$)이나 Jordan 보조정리의 조건($a>0$이고 피적분함수의 나머지 부분이 반원에서 균등하게 $0$으로 감)이 성립해야만 사라진다. 예를 들어 $e^{-iax}$($a>0$)를 상반평면 반원에 쓰면 지수부가 오히려 발산 방향이 되어 Jordan 보조정리가 실패한다 — 이때는 하반평면 반원을 써야 한다.
• "$\cos ax$ 적분도 $e^{iaz}$ 대신 $\cos az$를 직접 쓰면 된다" — 안 된다. $\cos az = \tfrac12(e^{iaz}+e^{-iaz})$의 $e^{-iaz}$ 항이 상반평면에서 지수적으로 발산하므로 반원 적분이 사라지지 않는다. 반드시 $e^{iaz}$(또는 $e^{-iaz}$, 적절한 반평면과 짝지어)만 사용하고 마지막에 실부·허부를 취해야 한다.
• "극이 실수축 위에 있으면 유수정리를 못 쓴다" — 예제 5가 보여주듯 극을 완전히 피하는 게 아니라, 작은 반원으로 들여쓰기(indent)해서 우회한 뒤 그 반원의 기여를 별도로 계산하는 기법이 있다. 다만 이때는 표준 유수정리($2\pi i\times$합)가 그대로 적용되지 않고 보정이 필요하다는 점에 유의.
• "반지름 $R$을 무한대로 보내는 극한과 원래 이상적분(코시 주값이 아닌 진짜 수렴)의 값이 항상 같다" — $\int_{-R}^R$의 극한(코시 주값)과 $\int_{-\infty}^\infty$(양쪽을 독립적으로 보내는 진짜 이상적분)이 일치하려면 적분이 애초에 절대수렴해야 한다. 응용 2의 차수 조건이 정확히 이 절대수렴을 보장하는 장치다.
• "삼각치환 $z=e^{i\theta}$은 $\theta$의 범위가 달라도 항상 같은 윤곽을 준다" — $\theta:0\to2\pi$일 때만 $z$가 단위원을 정확히 한 바퀴(윤곽으로서 유효하게) 돈다. 적분 구간이 $0$부터 $\pi$까지 등으로 다르면 이 치환을 그대로 쓸 수 없다.

큰 그림 / 연결

이 페이지는 로랑 급수의 "적분 $=2\pi i\times$유수"라는 국소적 사실을, 코시 정리의 다중연결 영역 분해 논증을 통해 여러 특이점을 가진 전역적 윤곽 적분으로 확장한다. 계산 도구는 특이점과 유수에서 이미 구축된 유수 공식(단순극·위수 $m$ 극)을 그대로 재사용한다. 다음 페이지 편각 원리와 루셰 정리에서는 유수정리를 $f'/f$라는 특수한 함수에 적용해 영점·극의 개수를 세는 데 쓴다 — "값을 얻는 도구"에서 "개수를 세는 도구"로 유수정리가 한 번 더 변주되는 것이다. 실적분 계산에서 반원을 "무한대로 벌리는" 전략은 riemann sphere and infinity에서 $\infty$를 하나의 점으로 공식화하는 관점과 자연스럽게 연결되며, entire and meromorphic functions의 부분분수 전개(Mittag-Leffler)도 근본적으로 같은 "유수를 흩뿌려 함수를 재구성한다"는 아이디어의 무한급 버전이다. 실해석학 쪽에서는 이상적분의 수렴 판정(비교판정법)이 이 페이지의 ML 부등식·Jordan 보조정리와 같은 역할을 한다.

연습문제

1. $\displaystyle\oint_{|z|=2}\frac{z}{(z-1)(z-3)}\,dz$를 유수정리로 계산하라.
2. $\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{5+4\cos\theta}$를 구하라.
3. $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x^2+4}$를 구하라.
4. $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{x\sin x}{x^2+1}\,dx$를 구하라.
5. $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{(x^2+1)^2}$를 구하라 (예제 6과 비교).
6. $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{x^2+2x+2}$를 구하라 (힌트: 완전제곱).
7. Jordan 보조정리가 $\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos x}{x^2+1}dx$ 계산에서 왜 필요 없이도(응용 2만으로) 되는지, 반대로 $\int\frac{x\sin x}{x^2+1}dx$(연습 4)에서는 왜 필요한지 설명하라.
8. $\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{(2+\sin\theta)^2}$를 삼각치환으로 세팅하라(계산은 끝까지 하지 않아도 됨 — 윤곽적분 형태로 변형까지).

관련 개념

• 특이점과 유수 — 유수 계산 공식(이 페이지가 소비하는 재료)
• 로랑 급수 — $a_{-1}$의 출처, "적분$=2\pi i a_{-1}$"의 국소적 원형
• 코시 정리 — 다중연결 영역 분해, 유수정리 증명의 골격
• 코시 적분공식 — 유수정리의 특수한 경우(단순극 하나)
• 편각 원리와 루셰 정리 — 유수정리를 $f'/f$에 적용한 다음 응용
• riemann sphere and infinity — 반원을 무한대로 벌리는 전략의 위상적 배경