≅현대대수학
III. 다항식 · 6/16

다항식환

F[x], 차수, 나눗셈 정리

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

다항식환 $F[x]$ 는 $\mathbb{Z}$ 의 쌍둥이다. 체 $F$ 위의 다항식에서도 나눗셈 정리·gcd·유일인수분해·합동류가 정수와 똑같이 작동한다. 이 평행성이 Hungerford 책 전체를 관통하는 핵심 통찰이며, "정수에서 증명한 정리를 다항식으로 그대로 옮길 수 있는가?"라는 질문이 이후 모든 장의 동력이 된다. 결국 이 평행성은 우연이 아니라 정역의 추상 산술 — 두 환이 모두 Euclid 정역이라는 공통 구조 — 로 설명된다. 다항식환의 또 다른 역할은 새로운 체를 만드는 공장이라는 점 — $\mathbb{C}=\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$ 처럼, 기약다항식으로 나누면 체가 튀어나온다.

직관

$\mathbb{Z}$ 에서 "크기"를 재는 절댓값이 다항식에서는 "차수"로 바뀐다. 정수의 나눗셈 정리 "$a=bq+r$, $0\le r<|b|$"가 다항식에서는 "$f=gq+r$, $\deg r<\deg g$"로 그대로 옮겨진다 — 직관적으로 "나머지가 나누는 수(다항식)보다 작아질 때까지 계속 뺀다"는 알고리즘이 정수의 자릿수 빼기와 다항식의 최고차항 소거가 동일한 패턴이기 때문이다. 이 평행이 성립하는 근본 이유는 $F$ 가 체라는 데 있다 — 최고차항을 소거하려면 그 계수로 나눠야 하는데, 체에서는 항상 나눗셈(역원)이 가능하다. $F$ 대신 일반 환(예: $\mathbb{Z}$)을 쓰면 $\mathbb{Z}[x]$ 에서는 이 나눗셈 정리가 깨진다 — 예: $2x$ 를 $3x$ 로 나눌 수 없다($\mathbb{Z}$ 에서 $2/3$ 이 없으므로).

정의

가환환 $R$ 에 대해 다항식환 $R[x]$ 는 형식적 합 $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ ($a_i\in R$, 유한개의 $a_i$ 만 0 아님) 전체의 집합으로, 연산은1 $$\Bigl(\sum a_ix^i\Bigr)+\Bigl(\sum b_ix^i\Bigr)=\sum(a_i+b_i)x^i,\qquad \Bigl(\sum a_ix^i\Bigr)\Bigl(\sum b_jx^j\Bigr)=\sum_k\Bigl(\sum_{i+j=k}a_ib_j\Bigr)x^k.$$

용어 정의
차수(degree) $\deg f$ $0$ 아닌 최고차항의 지수 ($\deg 0$ 은 정의하지 않거나 관례상 $-\infty$)
최고차계수(leading coefficient) $\deg f=n$ 일 때 $a_n$
모닉(monic) 최고차계수가 $1$ 인 다항식
상수항(constant term) $a_0$
$R[x_1,\dots,x_n]$ 다변수 다항식환, $R[x_1][x_2]\cdots$ 로 재귀적 구성

환적 사실: $R$ 이 부분환으로 $R[x]$ 에 매장된다(상수다항식). $R$ 이 가환이면 $R[x]$ 도 가환; $R$ 에 단위원이 있으면 $R[x]$ 도 같은 단위원을 가진다.

주요 정리

정리 (차수 법칙). $R$ 이 정역이면 $f,g\ne0\Rightarrow fg\ne0$ 이고 $\deg(fg)=\deg f+\deg g$. 따라서 $R$ 이 정역 $\Rightarrow$ $R[x]$ 도 정역이고, $R[x]$ 의 단원은 정확히 $R$ 의 단원뿐(상수다항식 중 단원).2

증명 보기

증명. $f=a_mx^m+\cdots$, $g=b_nx^n+\cdots$ ($a_m,b_n\ne0$ 최고차계수)라 하면 $fg$ 의 $x^{m+n}$ 계수는 $a_mb_n$. $R$ 이 정역이므로 영인자가 없어 $a_mb_n\ne0$ → $fg\ne0$ 이고 최고차항이 정확히 $x^{m+n}$ — 차수 법칙. 영인자가 생기지 않으므로 $R[x]$ 도 정역. 단원: $fg=1$ 이면 $\deg f+\deg g=\deg1=0$ 이므로 $\deg f=\deg g=0$(차수는 음이 아닌 정수이거나 둘 다 정의 안 됨이 불가) — $f,g$ 모두 상수, 즉 $R$ 의 단원. ∎ ($R$ 이 정역이 아니면 차수 법칙이 깨진다 — 흔한 오해와 함정 참고.)

정리 (나눗셈 정리 in F[x]). $F$ 가 체이고 $f,g\in F[x]$, $g\ne0$ 이면 다음을 만족하는 $q,r\in F[x]$ 이 유일하게 존재:3 $$f = gq + r,\qquad r=0 \text{ 또는 } \deg r<\deg g.$$

증명 보기

증명 스케치(존재). $\deg f<\deg g$ 이면 $q=0,r=f$. 아니면 $f$ 의 최고차항을 $g$ 의 최고차항으로 나눠(체이므로 가능) $f_1=f-\bigl(\frac{a_m}{b_n}x^{m-n}\bigr)g$ 를 만들면 $\deg f_1<\deg f$(최고차항이 소거됨). 이 과정을 반복하면 차수가 계속 줄어들어 유한 단계 후 $\deg r<\deg g$ 인 $r$ 에 도달(정수의 나눗셈 알고리즘과 완전히 같은 구조 — 장제법). 유일성. $f=gq_1+r_1=gq_2+r_2$ 이면 $g(q_1-q_2)=r_2-r_1$; 우변의 차수는 $\deg g$ 미만(또는 $0$)인데 좌변은 $q_1\ne q_2$ 이면 $\deg g$ 이상 → $q_1=q_2$, 따라서 $r_1=r_2$. ∎ 정수의 나눗셈 정리와 완전히 평행 — 이로부터 $F[x]$ 의 gcd·Euclid 호제법·Bezout가 모두 따라온다(증명도 글자 그대로 옮겨진다).

정리 ($F[x]$ 의 아이디얼은 모두 주아이디얼). $F$ 가 체이면 $F[x]$ 는 PID다 → 아이디얼에서 증명(최소 차수 원소로 생성).

정리 (다항식 함수 vs 다항식). $F$ 가 무한체이면 $f,g\in F[x]$ 가 같은 다항식함수($\forall a\in F, f(a)=g(a)$)인 것과 $f=g$(계수가 모두 같음)인 것이 동치다. $F$ 가 유한이면 이 동치가 깨진다.4

증명 보기

증명 스케치. $f-g$ 가 무한히 많은 근(F의 모든 원소)을 가지는데, 인수정리로 0 아닌 $n$ 차 다항식은 근이 최대 $n$ 개 — 무한히 많은 근을 가지려면 $f-g=0$. ∎ 반례: $\mathbb{Z}_p$ 에서 $x^p-x$ 는 모든 원소에서 $0$ 으로 평가되지만(Fermat 소정리) 영다항식이 아니다 — 차수 $p$ 다항식이 $p$ 개의 근(전체)을 가지는 극단적 예.

예제

예제 1 (다항식 나눗셈, 정확히 나누어떨어짐). $F=\mathbb{Q}$, $f=x^3-2x+1$, $g=x-1$: $f=(x-1)(x^2+x-1)+0$ → $x=1$ 이 $f$ 의 근(나머지 $0$).

예제 2 ($\mathbb{Z}_2$ 위, 나누어떨어지지 않음). $f=x^3+x+1$ 을 $g=x+1$ 로 나눔($\mathbb{Z}_2$): $f(1)=1+1+1=1\ne0$ → $x+1\nmid f$, 직접 장제법으로 나머지 $1$, 몫 $x^2+x$.

예제 3 (gcd, 유클리드 호제법). $\gcd(x^3-1, x^2-1)$ in $\mathbb{Q}[x]$: $x^3-1=(x^2-1)x+(x-1)$, $x^2-1=(x-1)(x+1)+0$ → $\gcd=x-1$.

예제 4 (가환환 위 다항식, 정역 아닌 경우 차수법칙 깨짐). $\mathbb{Z}_4[x]$ 에서 $f=2x+1$, $g=2x+1$: $fg=4x^2+4x+1=1$ in $\mathbb{Z}_4[x]$(∵$4\equiv0$). $\deg(fg)=0\ne1+1=\deg f+\deg g$ — $\mathbb{Z}_4$ 가 정역이 아니므로 차수 법칙이 무너지는 직접 사례.

예제 5 (다변수 다항식환). $R=\mathbb{Z}[x,y]=\mathbb{Z}[x][y]$: $f=x^2y+xy-1$ 은 $y$ 에 대해 1차, $x$ 에 대해 2차. 다변수 다항식환은 (한 변수씩) 재귀적으로 구성되며, $R$ 이 정역이면 $R[x,y]$ 도 정역(차수 법칙을 두 번 적용).

예제 6 (몫환을 통한 다항식환의 활용 미리보기). $\mathbb{Q}[x]/(x^3-2)$: $x^3-2$ 가 $\mathbb{Q}$ 에서 기약(아이젠슈타인, $p=2$) → 체, 원소는 $a+bx+cx^2$ ($a,b,c\in\mathbb{Q}$) 꼴로 유일 표현 — $F$-벡터공간으로 차원 $3$(=$\deg$). 몫환과 동형정리의 전형적 활용.

흔한 오해와 함정

큰 그림 / 연결

다항식환은 정수의 나눗셈 정리를 추상화하는 첫 번째 사례이고, 이 평행성은 결국 Euclid 정역(ED)이라는 공통 틀로 통합된다 — $\mathbb{Z}$ 와 $F[x]$ 가 모두 ED라는 사실 하나로부터 PID, UFD, gcd, Bezout 항등식이 동시에 따라 나온다. 나눗셈 정리는 기약다항식과 유일인수분해 이론의 토대이며, [[quotient-rings-and-isomorphism|몫환 $F[x]/(p(x))$]]을 통해 체를 만드는 구성적 기법으로 곧장 이어진다 — 이것이 $\mathbb{C}$ 의 대수적 구성이자 모든 체확장의 원형이다. $R$ 이 정역이 아닐 때 차수 법칙이 깨진다는 사실은 정역의 정의가 왜 그렇게 강력한 가정인지 보여주는 좋은 사례다. 선형대수(linear-algebra 위키)에서는 $F[x]/(p(x))$ 가 $F$-벡터공간으로서 차원 $\deg p$ 를 가진다는 사실이 체확장의 차수 개념과 직결된다.

연습문제

  1. $\mathbb{Q}[x]$ 에서 $f=2x^3+3x^2-1$ 을 $g=x+2$ 로 나눈 $q,r$ 을 구하라.
  2. $\mathbb{Z}_3[x]$ 에서 $x^2+1$ 을 $x+2$ 로 나누어라.
  3. $\gcd(x^4-1, x^2+2x+1)$ in $\mathbb{Q}[x]$ 를 구하라.
  4. $R[x]$ 가 정역이려면 $R$ 이 정역이어야 함을 보여라.
  5. $\mathbb{Z}_4[x]$ 에서 $2x+1$ 이 단원임을 보여라(따라서 차수 법칙이 깨짐).
  6. $f,g\in R[x]$ ($R$ 임의 가환환)에서 $\deg(f+g)\le\max(\deg f,\deg g)$ 임을 보이고, 등호가 깨지는 예를 들어라.
  7. $\mathbb{Z}_5$ 에서 $x^5-x$ 가 모든 원소에서 $0$ 으로 평가되지만 영다항식이 아님을 보여라.
  8. 무한체 $F$ 위에서 모든 점에서 같은 값을 갖는 두 다항식이 같은 다항식임을(계수가 같음을) 증명하라.
정답·힌트
  1. $2x^3+3x^2-1=(x+2)(2x^2-x+2)-5$ → $q=2x^2-x+2,\ r=-5$. (검산: $f(-2)=-16+12-1=-5$.)
  2. $\mathbb{Z}_3$ 에서 $x+2=x-1$, $f(1)=1+1=2$ → 나머지 $2$, 몫 $q=x+1$ (검산: $(x+2)(x+1)+2=x^2+3x+2+2=x^2+4+0\cdot x\equiv x^2+1\pmod3$, 일치).
  3. $x^2+2x+1=(x+1)^2$, $x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$ → $\gcd=x+1$.
  4. $R$ 에 영인자 $a,b\ne0$, $ab=0$ 있으면 상수다항식 $a,b\in R[x]$ 도 $R[x]$ 에서 $ab=0$ — 영인자 → 대우로 $R[x]$ 정역이면 $R$ 정역.
  5. $(2x+1)^2=4x^2+4x+1\equiv1\pmod4$(∵$4\equiv0$) → $2x+1$ 이 자기 자신의 역원, 단원. $\deg(2x+1)=1$ 인데 $\deg((2x+1)(2x+1))=\deg1=0\ne1+1$ — 차수법칙은 정역에서만 성립함을 보여줌.
  6. $f=a_nx^n+\cdots$, $g=b_nx^n+\cdots$(같은 최고차수 $n$ 가정), 최고차항이 $a_n+b_n=0$ 이면 $\deg(f+g)<n$. 예: $f=x^2+1,g=-x^2$, $f+g=1$, $\deg(f+g)=0<2=\max(\deg f,\deg g)$.
  7. Fermat 소정리(structure-of-zn)로 모든 $a\in\mathbb{Z}_5$ 에서 $a^5=a$, 즉 $a^5-a=0$ — 함수로는 영함수. 그러나 다항식 $x^5-x$ 의 계수($1,0,0,0,-1,0$)는 영다항식의 계수($0,0,\dots$)와 다르다 — 다항식(형식적 대상)과 다항식함수는 유한체에서 별개.
  8. $f-g$ 가 $F$ 의 모든 원소(무한개)에서 $0$ → $f-g\ne0$ 이라면 인수정리로 차수 $n=\deg(f-g)$ 짜리 다항식은 근이 최대 $n$ 개인데 무한히 많은 근을 가짐 — 모순. 따라서 $f-g=0$, 즉 $f=g$.

관련 개념

  1. 원전 소개 — Hungerford §4.1 [synthesis] — 다항식환 $R[x]$ 의 정의, 차수. ↩

  2. 원전 소개 — Hungerford §4.1 [synthesis] — 차수 법칙, 정역의 다항식환은 정역, 단원의 분류. ↩

  3. 원전 소개 — Hungerford §4.1 [synthesis] — F[x]의 나눗셈 정리($f=gq+r$, $\deg r<\deg g$), 존재성과 유일성 증명. ↩

  4. 원전 소개 — Hungerford §4.4 [synthesis] — 다항식과 다항식함수의 구별(유한체에서 동치 깨짐); 인수정리와의 연결. ↩