∫해석학
IV. 거리공간과 콤팩트성 · 11/16

콤팩트성

열린 덮개, 하이네–보렐 정리

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

유계 닫힌집합은 직관적으로 "잘 행동하는" 집합처럼 느껴지지만, 그 직관을 정리로 바꾸려면 정확한 정의가 필요하다. 콤팩트성은 "닫혀 있고 유계"가 진짜 일을 하게 만드는 성질이다: 국소적·점별 정보(각 점 근처에서의 행동)를 전역적 결론(연속함수가 최댓값을 가진다, 균등연속이다, 극값이 존재한다)으로 바꾸는 다리다. 유한집합에서는 모든 것이 자명하게 성립하던 성질들(최댓값의 존재, 유한 부분덮개)을 무한집합으로 확장하는 정확한 조건이 콤팩트성이며, 그래서 "유한성의 무한 버전"이라고도 불린다. 두 책은 같은 열린 덮개 정의를 쓰지만, 그것이 언제·얼마나 중심적인가 에서 첨예하게 갈린다 — 이 위키 대비의 가장 깨끗한 예.

직관

콤팩트성을 가장 잘 포착하는 그림은 "어떤 덮개로도 도망갈 곳이 없다"는 것이다. 열린 집합들로 정의역을 덮을 때, 일반적인 무한집합이라면 덮개를 점점 더 잘게(또는 무한히 많이) 만들어서 어떤 유한 개도 전체를 못 덮게 할 수 있다 — 예컨대 $(0,1)$ 을 $\{(1/n,1)\}$ 로 덮으면 $0$ 에 점점 다가가는 "탈출구"가 항상 남는다. 콤팩트 집합은 이런 탈출구가 없는 집합이다: 아무리 짓궂게 열린 덮개를 짜도, 유한 개만 골라내면 충분하다. 점열의 언어로 옮기면 "수열이 아무리 날뛰어도 결국 집합 안의 어딘가로 수렴하는 부분수열을 가진다"는 것 — 무한히 많은 점을 좁은 공간에 욱여넣으면 반드시 한 곳에 몰릴 수밖에 없다는 비둘기집 원리의 무한 버전이다.

정의

열린 덮개와 콤팩트성

$X$ 의 부분집합 $K$ 에 대해, 열린 집합들의 모임 $\{G_\alpha\}$ 의 합집합이 $K$ 를 포함하면 이를 $K$ 의 열린 덮개(open cover)라 한다. $K$ 가 콤팩트(compact)라는 것은:12

$K$ 의 모든 열린 덮개가 유한 부분덮개를 가진다.

즉 어떤 열린 집합 모임으로 $K$ 를 덮든, 그중 유한 개만으로도 $K$ 를 덮을 수 있다. (콤팩트성을 증명하려면 임의의 덮개를 다뤄야 하고, 콤팩트가 아님을 보이려면 유한 부분덮개가 없는 하나의 덮개를 제시하면 된다.) 콤팩트성은 내재적 성질이다 — $K$ 가 더 큰 공간 $X$ 의 부분집합인지 여부와 무관하게, $K$ 자체의 거리만으로 정의된다.

동치 형태 (거리공간) 설명
열린 덮개 콤팩트성 모든 열린 덮개가 유한 부분덮개를 가짐
점열 콤팩트성 모든 수열이 집합 안에 수렴하는 부분수열을 가짐
(유클리드 공간에서만) 닫힘+유계 Heine–Borel — $\mathbb{R}^k$ 에 특유

주요 정리

정리 1 (콤팩트 ⇒ 닫힘·유계). 거리공간의 콤팩트 부분집합 $K$ 는 닫혀 있고 유계다.

증명 보기

증명 스케치 (유계성). 고정점 $p\in K$ 에 대해 $\{N_n(p)\}_{n=1}^\infty$ (반지름 $n$ 인 공들)가 $K$ 의 열린 덮개를 이룬다(모든 점이 $p$ 로부터 유한 거리에 있으므로). 유한 부분덮개로 가장 큰 반지름 $N$ 을 취하면 $K\subset N_N(p)$ — 유계. (닫힘성은 $K$ 의 극한점이 $K$ 밖에 있다고 가정하면 그 점을 피하는 열린 덮개를 구성해 모순을 이끄는 논증.) ∎

정리 2 (닫힌 부분집합). 콤팩트 집합의 닫힌 부분집합은 콤팩트다.

증명 보기

증명 스케치. $F\subset K$ 가 닫혀 있고 $K$ 가 콤팩트라 하자. $F$ 의 임의의 열린 덮개 $\{G_\alpha\}$ 에 $F^c$ 를 추가하면 $\{G_\alpha\}\cup\{F^c\}$ 가 $K$ 전체의 열린 덮개 — $K$ 의 콤팩트성으로 유한 부분덮개를 얻고, 거기서 $F^c$ 를 빼면(필요했다면 포함되어 있었을) 남는 유한 개의 $G_\alpha$ 가 $F$ 를 덮는다($F\cap F^c=\varnothing$ 이므로). ∎

정리 3 (축소 콤팩트). 공집합 아닌 콤팩트 집합들의 축소열 $K_1\supset K_2\supset\cdots$ 의 교집합은 공집합이 아니다.

정리 4 (모든 $k$-셀은 콤팩트, Rudin §2.40). 이등분 논법으로 증명: $k$-셀이 콤팩트가 아니라고 가정하면 유한 부분덮개가 없는 덮개가 존재 → 그 셀을 $2^k$ 개로 이등분하면 적어도 한 조각도 유한 부분덮개가 없음(아니면 전체가 유한 부분덮개를 가짐) → 이 과정을 반복해 만든 축소 셀들의 교집합의 점 $x_0$ 는 어떤 덮개의 한 원소 안에 있어야 하는데, 그 원소가 열려 있으므로 충분히 작은 축소 셀 전체를 포함 — 그 작은 셀이 유한 부분덮개(원소 하나)를 갖는다는 모순. 이것이 Heine–Borel의 핵심.

정리 5 (Heine–Borel 정리, Rudin §2.41). $E \subset \mathbb{R}^k$ 에 대해 다음 셋은 동치다:3

증명 보기

증명 구조 스케치. (b)$\Rightarrow$(a)는 정리 1. (a)$\Rightarrow$(b)는 유계인 $E$ 가 어떤 $k$-셀 안에 들어가고(정리 4로 그 셀이 콤팩트), $E$ 가 닫혀 있으므로 그 콤팩트 셀의 닫힌 부분집합(정리 2). (b)$\Rightarrow$(c)는 일반 거리공간에서 성립하는 사실(무한집합이 극한점을 갖지 않으면 각 점 주위에 서로소인 근방을 잡아 유한 부분덮개 불가능 모순). (c)$\Rightarrow$(a)는 $\mathbb{R}^k$ 의 특수성(완비성)을 사용 — 유계가 아니면 무한 부분집합이 극한점 없이 발산할 수 있고, 닫혀 있지 않으면 경계점으로 가는 수열이 극한점을 가지되 $E$ 밖에 있을 수 있다. ∎

(b)$\iff$(c), 즉 열린 덮개 콤팩트성과 점열 콤팩트성의 동치가 두 책의 도구를 잇는 다리다.

콤팩트성이 낳는 결과

연속함수에 관한 핵심 정리들이 모두 콤팩트성의 귀결이다 → 연속, 균등연속:

정리 6 (연속상의 보존). $f$ 가 연속이고 $K$ 가 콤팩트이면 $f(K)$ 도 콤팩트다.

증명 보기

증명. $f(K)$ 의 임의의 열린 덮개 $\{V_\alpha\}$ 에 대해, $f$ 의 연속성(위상적 특성화, $f^{-1}(V_\alpha)$ 가 열림)으로 $\{f^{-1}(V_\alpha)\}$ 가 $K$ 의 열린 덮개 — $K$ 의 콤팩트성으로 유한 부분덮개 $f^{-1}(V_{\alpha_1}),\dots,f^{-1}(V_{\alpha_n})$ 를 얻으면 $V_{\alpha_1},\dots,V_{\alpha_n}$ 이 $f(K)$ 의 유한 부분덮개. ∎

예제

예제 1 (콤팩트 vs 비콤팩트의 표준 예). $[a,b]$ 는 콤팩트; $(0,1)$ 과 $[0,\infty)$ 는 콤팩트 아님.

예제 2 ($(0,1)$ 의 비콤팩트성 직접 증명). 덮개 $\{(1/n, 1)\}_{n\ge 2}$ 는 유한 부분덮개가 없다 — 유한 개 $n_1<\cdots<n_m$ 을 고르면 그 합집합은 $(1/n_m, 1)$ 일 뿐이고 $0<x<1/n_m$ 인 $x$ 는 덮이지 않는다.

예제 3 (Cantor 집합은 콤팩트). Cantor 집합은 닫혀 있고($[0,1]$ 안에서 닫힌 집합들의 교집합으로 구성) 유계($[0,1]$ 안에 포함)이므로 Heine–Borel로 콤팩트 — 셀 수 없이 많은 점을 가지면서도 콤팩트라는 사실은 "콤팩트 = 작다"는 그릇된 직관을 깬다.

예제 4 (유한집합은 항상 콤팩트). 임의의 유한집합 $\{x_1,\dots,x_n\}$ 은 콤팩트 — 임의의 열린 덮개에서 각 $x_i$ 를 덮는 원소 하나씩만 골라도 유한 부분덮개가 된다. 콤팩트성이 "유한성의 일반화"라는 직관의 가장 단순한 사례.

예제 5 (콤팩트 집합들의 교집합). $K_n = [0, 1/n]$ ($n=1,2,\dots$)는 콤팩트 집합들의 축소열이고 $\bigcap_n K_n = \{0\}$ — 정리 3의 직접 사례. 닫힌 유계구간이 아니라 $K_n=(0,1/n]$ 로 바꾸면 콤팩트가 아니게 되어 $\bigcap_n K_n=\varnothing$ 일 수 있다(닫힘이 본질적).

예제 6 (점열 콤팩트성의 직접 확인). $[0,1]$ 의 임의의 수열 $\{x_n\}$ 은 (Bolzano–Weierstrass로) 수렴 부분수열을 가지고, $[0,1]$ 이 닫혀 있으므로 그 극한도 $[0,1]$ 안에 있다 — 점열 콤팩트성의 직접 확인. $(0,1)$ 에서는 $x_n=1/n$ 의 모든 부분수열이 $0$ 으로 가지만 $0\notin(0,1)$ — 점열 콤팩트성 실패.

두 교재의 접근: 중심·이른 vs 강력·늦은

요컨대 두 책은 같은 깊은 결과(닫힌 유계 구간 위 연속함수의 유계성·최댓값·균등연속)를 다른 경로로 얻는다: Rudin은 거리공간의 열린 덮개로, Bartle은 $\mathbb{R}$ 의 수렴 부분수열로.

흔한 오해와 함정

큰 그림 / 연결

콤팩트성은 거리공간 일반에서 정의되는 위상적 성질이며, 연속함수의 핵심 정리(최대최소, 균등연속)를 낳는 엔진이다. 연결성과 함께 "연속함수가 보존하는 두 위상 불변량"의 짝을 이루며, $\mathbb{R}^k$ 에서는 Heine–Borel을 통해 단순한 "닫힘+유계"로 환원된다는 특권을 누린다. Bartle의 Bolzano–Weierstrass 접근은 점열 콤팩트성에 해당하며, 이는 완비성 공리의 여섯 동치 형태 중 하나이기도 하다 — 즉 콤팩트성은 결국 완비성이라는 더 근본적인 공리의 위상적 얼굴이다. 더 추상적인 위상공간 이론에서는 (b)$\iff$(c)의 동치가 일반적으로 깨질 수 있어(거리화 불가능한 공간), 거리공간이라는 무대 자체가 이 정리를 가능케 하는 특별한 조건임을 알 수 있다.

연습문제

  1. 정의로부터 유한집합이 항상 콤팩트임을 증명하라.
  2. $\{1, 1/2, 1/3, \dots\}\cup\{0\}$ 이 콤팩트임을 보여라(임의의 열린 덮개에서 유한 부분덮개를 구성하는 논증).
  3. $\mathbb{Z}$ (정수 전체)가 $\mathbb{R}$ 의 부분공간으로서 콤팩트가 아님을 보여라.
  4. 정리 2(콤팩트의 닫힌 부분집합은 콤팩트)를 직접 증명하라.
  5. 정리 6(연속상의 보존)을 직접 증명하라.
  6. $\mathbb{R}$ 에서 콤팩트가 아닌 닫힌 집합의 예와, 콤팩트가 아닌 유계 집합의 예를 각각 들어 Heine–Borel에서 두 조건이 모두 필요함을 보여라.
  7. 콤팩트 집합 위에서 연속이고 어디서도 $0$ 이 되지 않는 함수 $f$ 에 대해 $1/f$ 도 유계임을 보여라.
  8. 점열 콤팩트성을 이용해 $[0,1]\times[0,1]\subset\mathbb{R}^2$ 가 콤팩트임을 (직관적으로) 논하라.
힌트 / 정답
  1. $\{x_1,\dots,x_n\}$ 의 임의의 열린 덮개 $\{G_\alpha\}$ 에서, 각 $x_i$ 를 포함하는 원소 $G_{\alpha_i}$ 를 하나씩 선택 — $\{G_{\alpha_1},\dots,G_{\alpha_n}\}$ 이 유한 부분덮개.
  2. 임의의 열린 덮개에서 $0$ 을 덮는 원소 $G_0$ 를 먼저 고르면, $G_0$ 가 열려 있으므로 어떤 $N$ 이후의 모든 $1/n$ ($n>N$)을 포함 — 남은 유한 개 $1, 1/2,\dots,1/N$ 각각을 덮는 원소를 추가하면 유한 부분덮개 완성.
  3. $\mathbb{Z}$ 는 유계가 아니므로(Heine–Borel의 필요조건 실패) 콤팩트가 아니다 — 또는 직접: $\{(n-1/2,n+1/2)\}_{n\in\mathbb{Z}}$ 덮개는 무한히 많은 원소가 필요(각 정수를 덮는 원소가 서로 다름, 유한 부분덮개는 유한 개의 정수만 덮음).
  4. 본문 정리 2 증명 참고.
  5. 본문 정리 6 증명 참고.
  6. 닫혔지만 콤팩트 아님: $\mathbb{Z}$ 또는 $[0,\infty)$ (둘 다 닫혀 있으나 유계가 아님). 유계지만 콤팩트 아님: $(0,1)$ (유계이나 닫혀 있지 않음).
  7. $|f|$ 가 콤팩트 위 연속이고 어디서도 $0$ 이 아니므로 최소·최댓값 정리로 $|f|$ 의 최솟값 $m>0$ 이 존재(달성되므로 $0$ 일 수 없음) — $|1/f|\le1/m$, 유계.
  8. $[0,1]\times[0,1]$ 의 임의의 수열 $\{(x_n,y_n)\}$ 에서, $\{x_n\}$ 이 $[0,1]$ 안에서 수렴 부분수열 $x_{n_k}\to x$ 를 가지고(B–W), 그 부분수열의 인덱스에서 $\{y_{n_k}\}$ 가 다시 수렴 부분수열 $y_{n_{k_j}}\to y$ 를 가짐(B–W를 두 번 적용) — $(x_{n_{k_j}}, y_{n_{k_j}})\to(x,y)\in[0,1]\times[0,1]$, 점열 콤팩트.

관련 개념

  1. 원전 소개 — Rudin §2.32 — "A subset K of a metric space X is said to be compact if every open cover of K contains a finite subcover." ↩↩

  2. 원전 소개 — Bartle §11.2.2 — "A subset K of ℝ is said to be compact if every open cover of K has a finite subcover." ↩↩

  3. 원전 소개 — Rudin §2.41 — "If a set E in Rᵏ has one of the following three properties, then it has the other two: (a) E is closed and bounded. (b) E is compact. (c) Every infinite subset of E has a limit point in E." ↩

  4. 원전 소개 — Bartle §11.2 — "In advanced analysis and topology, the notion of a 'compact' set is of enormous importance. This is less true in ℝ because the Heine-Borel Theorem gives a very simple characterization... Nevertheless... the real line provides an appropriate place to see the idea of compactness for the first time." ↩