초등함수

개요 — 동기·문제의식

실수에서 익숙한 $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $x^a$를 복소수로 확장한다. 단순히 "$x$를 $z$로 바꿔치기"하는 게 아니라, 항등정리(앞 페이지 what is complex analysis 참고)에 의해 실수축 위에서 원래 함수와 일치하는 전해석함수는 — 존재한다면 — 유일하기 때문에 이 확장은 사실상 강제된다. 핵심 사건은 $e^z$가 주기 $2\pi i$로 주기적이라는 것이다(실수에는 없던 성질!). 이 주기성 때문에 로그와 거듭제곱이 다값(multi-valued)이 되고, 이를 다루려면 가지(branch)와 가지자름(branch cut)이라는 개념이 필요하다. 또한 $e^{iz}$를 통해 삼각함수와 지수함수가 하나로 통합된다 — 실수에서는 전혀 다른 두 세계(주기함수 vs 폭증함수)였던 것이 복소평면에서는 같은 함수의 다른 방향일 뿐임이 드러난다.

직관 — 지수함수는 회전판을 무한히 감는다

$e^z = e^x(\cos y + i\sin y)$를 기하적으로 읽으면: 실부 $x$는 모듈러스 $e^x$(확대/축소)를, 허부 $y$는 편각(회전)을 결정한다. $z=x+iy$가 수평선 $y=c$(고정)를 따라 움직이면 $e^z$는 원점에서 각도 $c$ 방향으로 뻗는 반직선을 그린다. $z$가 수직선 $x=c$(고정)를 따라 움직이면 $e^z$는 반지름 $e^c$인 원을 그린다 — 수직선 $\to$ 원, 수평선 $\to$ 반직선이라는 깔끔한 사상이다. 그리고 $y$가 $2\pi$만큼 증가할 때마다 같은 원을 다시 돈다(주기성). 이 그림에서 폭 $2\pi$인 수평 띠(예: $-\pi<\operatorname{Im}z\le\pi$) 하나가 $e^z$ 아래에서 $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 전체를 정확히 한 번씩 덮는다는 사실이 직접 보인다 — 띠를 "회전판처럼 무한히 감아 평면을 채우는" 그림이다. 로그가 다값인 이유는 정확히 이 역상이 한 점이 아니라 띠 전체에서 무한히 많은 평행한 복사본으로 되돌아오기 때문이다.

정의

복소지수:¹ $$e^z = e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y).$$ 성질: $e^{z_1+z_2} = e^{z_1}e^{z_2}$, $|e^z| = e^{x}$, $\arg e^z = y$, 그리고 $e^z$는 주기 $2\pi i$: $e^{z+2\pi i} = e^z$. $e^z$는 어디서도 $0$이 아니다.

복소로그(다값): $w = \log z$ $\iff$ $e^w = z$ ($z\ne0$): $$\log z = \ln|z| + i\arg z = \ln|z| + i(\operatorname{Arg} z + 2\pi k),\quad k\in\mathbb{Z}.$$ 주값(principal branch): $\operatorname{Log} z = \ln|z| + i\operatorname{Arg} z$, $-\pi < \operatorname{Arg} z \le \pi$. 음의 실축을 따라 가지자름.

복소거듭제곱(다값): $z^a = e^{a\log z}$ ($z\ne0$). $a$가 정수면 일값, 유리수 $p/q$면 $q$개 값, 무리/복소수면 무한 값.

삼각·쌍곡함수: $$\cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},\quad \sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\quad \cosh z = \frac{e^z+e^{-z}}{2},\quad \sinh z = \frac{e^z-e^{-z}}{2}.$$ 정의에서 즉시 $\cos(iz) = \cosh z$, $\sin(iz) = i\sinh z$ — 삼각함수와 쌍곡함수가 켤레 짝임을 보여준다.

가지(branch)와 가지자름(branch cut).² 다값함수 $\log z$의 한 가지(determination)란, 어떤 영역에서 연속(따라서 해석적)이 되도록 $\arg z$의 범위를 고정해 만든 단일값 함수다. $\operatorname{Arg} z\in(-\pi,\pi]$로 고정한 것이 주가지 $\operatorname{Log} z$이고, 그 불연속선(음의 실축)이 가지자름이다. 가지자름은 반드시 직선일 필요는 없다 — 원점에서 무한대로 가는 임의의 단순곡선이면 된다.² 가지자름을 어디에 두느냐는 선택의 문제이지만, 일단 고정하면 그 잘린 평면 위에서 $\log z$(또는 $z^{1/2}$ 등)는 완전히 해석적인 단일값 함수가 된다.

주요 정리

정리 (지수의 핵심 성질).¹ $e^z$는 전해석(entire)이고 $(e^z)' = e^z$, $e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2}$, 결코 $0$이 아니며 주기 $2\pi i$. 치역은 $\mathbb{C}\setminus\{0\}$.

정리 (지수함수의 사상: 띠 ↦ 부채꼴/반평면).¹ 폭 $2\pi$인 임의의 수평 띠 $\{a<\operatorname{Im}z\le a+2\pi\}$는 $e^z$ 아래에서 $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 위로 일대일대응으로 사상된다. 특히 띠 $\{-\pi<\operatorname{Im}z\le\pi\}$는 $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 전체, 반무한 띠 $\{\operatorname{Re}z<0,-\pi<\operatorname{Im}z\le\pi\}$는 뚫린 단위원판 $\{0<|w|<1\}$로, 띠 $\{0<\operatorname{Im}z<\pi\}$는 상반평면 $\{\operatorname{Im}w>0\}$으로 사상된다.¹ 증명의 핵심. $e^z=e^{z'}$ $\iff$ $z-z' = 2\pi i k$ ($k\in\mathbb{Z}$)이므로(주기성과 단사성), 폭이 정확히 $2\pi$인 띠 안에서는 서로 다른 두 점이 같은 상을 가질 수 없다(단사) — 동시에 모든 $w\ne0$이 $z=\ln|w|+i\arg w$(편각을 그 띠 범위로 골라)로 표현되므로(전사) 일대일대응.

정리 (로그의 가지).² 음의 실축을 제거한 영역 $\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$에서 $\operatorname{Log} z$는 해석적이고 $$\frac{d}{dz}\operatorname{Log} z = \frac1z.$$

정리 (삼각함수의 성질).¹ $\cos z, \sin z$는 전해석, $(\sin z)'=\cos z$, $\cos^2z+\sin^2z=1$(지수 정의를 대입해 직접 전개하면 즉시 확인), 주기 $2\pi$. 그러나 복소에서는 유계가 아니다: $|\sin z|, |\cos z|$는 $\operatorname{Im} z\to\pm\infty$에서 무한대(예: $\cos(iy) = \cosh y \to \infty$). 실수에서의 $|\cos|\le1$은 복소에서 깨진다 — $e^{iz}$의 정의에서 $z$가 순허수 방향으로 가면 $e^{iz}$의 모듈러스 자체가 폭증하기 때문(예제 6에서 자세히).

예제

예제 1. $\operatorname{Log}(-1)$. $|-1|=1$, $\operatorname{Arg}(-1)=\pi$ ⟹ $\operatorname{Log}(-1) = \ln1 + i\pi = i\pi$.

예제 2. $i^i$. $i = e^{i\pi/2}$, $\log i = i(\tfrac\pi2 + 2\pi k)$. 따라서 $$i^i = e^{i\log i} = e^{i\cdot i(\pi/2 + 2\pi k)} = e^{-(\pi/2 + 2\pi k)},\quad k\in\mathbb{Z}.$$ 모두 실수! 주값($k=0$)은 $e^{-\pi/2}\approx 0.2079$.

예제 3. $\sin z = 2$의 해. $\sin z = \dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} = 2$. $u = e^{iz}$로 두면 $u^2 - 4iu - 1 = 0$, $u = i(2\pm\sqrt3)$. $iz = \log u = \ln(2\pm\sqrt3) + i\pi/2$ ⟹ $z = \tfrac\pi2 - i\ln(2\pm\sqrt3)$ (+주기). 실수 해가 없음에 주목 — 복소에서 $\sin$이 유계가 아니기 때문.

예제 4. $e^z = 1 + i$. $|1+i|=\sqrt2$, $\arg = \pi/4$ ⟹ $z = \ln\sqrt2 + i(\pi/4 + 2\pi k) = \tfrac12\ln2 + i(\tfrac\pi4 + 2\pi k)$.

예제 5 (가지자름의 효과를 직접 체감). $\operatorname{Log} z$가 음의 실축을 가로지를 때 어떻게 불연속인지 보자. $z\to -1$로 위쪽($\operatorname{Im}z>0$)에서 다가가면 $\operatorname{Arg}z\to\pi$, $\operatorname{Log}z\to i\pi$. 아래쪽($\operatorname{Im}z<0$)에서 다가가면 $\operatorname{Arg}z\to-\pi$, $\operatorname{Log}z\to-i\pi$. 같은 점 $-1$로 다가가는데 극한이 $2\pi i$만큼 차이난다 — 이것이 "가지자름을 가로지를 수 없다"는 말의 정확한 의미다. 잘린 평면 $\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ 안에서는 이런 일이 없다(그 영역은 연결되어 있고 가지자름을 만나지 않으므로).

예제 6 ($\cos$의 무계성, 정량적으로). $\cos(x+iy)$를 직접 전개하면 $\cos(x+iy)=\cos x\cosh y - i\sin x\sinh y$이므로 $|\cos(x+iy)|^2 = \cos^2x\cosh^2y+\sin^2x\sinh^2y = \cosh^2y - \sin^2x$ (항등식 $\cosh^2y=1+\sinh^2y$ 사용). $y\to\infty$이면 $\cosh^2y\to\infty$이고 $\sin^2x\le1$로 묶여 있으므로 $|\cos(x+iy)|\to\infty$ — 허부 방향으로 갈수록 무계가 된다는 사실을 직접 계산으로 확인.

예제 7 (역삼각함수, 로그로 표현). $\sin^{-1}z$를 $\log$로 표현하면 $w=\sin^{-1}z \iff z=\sin w=\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}$. $u=e^{iw}$로 두면 $u-1/u=2iz$, $u^2-2izu-1=0$, $u=iz+\sqrt{1-z^2}$(제곱근도 다값이므로 전체가 다값). 따라서 $$\sin^{-1}z = -i\log\!\left(iz+\sqrt{1-z^2}\right).$$ $z^{1/2}$와 $\log$ 둘 다 다값이므로 $\sin^{-1}$도 이중으로 다값 — 가지를 고를 때 두 다값성을 동시에 정합적으로 골라야 한다.

흔한 오해와 함정

• "$\operatorname{Log}(z_1z_2)=\operatorname{Log}z_1+\operatorname{Log}z_2$가 항상 성립한다" — 거짓(주요 정리의 주의 참고). 예: $z_1=z_2=e^{i\,2\pi/3}$이면 $\operatorname{Log}z_1+\operatorname{Log}z_2 = i\,4\pi/3$인데 이는 $(-\pi,\pi]$ 밖이라 $\operatorname{Log}(z_1z_2)$ 자체와 다르다(실제로는 $-i\,2\pi/3$).
• "$z^a$는 보통 거듭제곱처럼 한 값만 갖는다" — $a$가 정수가 아니면 다값이다. 특히 $a$가 무리수나 복소수면 무한히 많은 값($\log z$의 모든 가지에 대응)을 가진다. "주값"을 명시하지 않은 $z^a$는 사실 집합을 가리킨다.
• "복소에서도 $|\sin z|\le1$, $|\cos z|\le1$이다" — 실수 직관의 오용. 위 정리·예제 6에서 보였듯 허수 방향으로는 무계다. 그래서 복소함수론에서 "유계 전해석함수는 상수"(Liouville, 리우빌 정리와 귀결들)라는 정리가 $\sin z,\cos z$ 자체에는 적용되지 않는다 — 이들은 유계가 아니므로 모순 없이 비상수 전해석함수일 수 있다.
• "가지자름은 항상 음의 실축이어야 한다" — 관례일 뿐이다. 어떤 점에서 연속이 안 되는 가지를 만들고 싶지 않다면(예: 음의 실수 값을 다뤄야 하는 문제), 가지자름을 다른 광선이나 곡선으로 옮기면 된다.² 핵심은 "원점에서 무한대로 가는 어떤 끊어지지 않는 경로를 잘라낸다"는 것뿐, 그 모양은 자유다.
• "$e^z$는 실지수함수처럼 단사(injective)다" — 아니다. $e^{z+2\pi i}=e^z$로 주기적이라 전평면에서는 단사가 아니다. 폭 $2\pi$의 띠로 정의역을 제한해야 단사가 된다(주요 정리 참고).

큰 그림 / 연결

지수함수가 띠를 부채꼴·반평면으로 사상하는 성질은 conformal mapping riemann에서 영역을 표준형(원판·반평면)으로 변형하는 등각사상의 기본 재료가 된다 — $e^z$, $\log z$, 거듭제곱은 Möbius 변환(뫼비우스 변환)과 합성되어 매우 다양한 영역을 다룰 수 있는 도구 상자를 이룬다. 가지와 가지자름이라는 개념은 로랑 급수에서 고립특이점을 분류할 때 $\log z$ 같은 "고립되지 않은" 분지점(branch point)을 일반 특이점과 구분하는 데 필요하고, riemann sphere and infinity에서 무한대 근방의 거동을 다룰 때도 같은 언어가 쓰인다. $\sin z,\cos z$의 무계성은 리우빌 정리와 귀결들가 말하는 "유계 전해석함수=상수"라는 정리의 적용 범위를 명확히 하는 반례 저장소 역할을 한다 — 비상수 전해석함수는 반드시 어딘가에서 무계여야 한다는 사실의 가장 친숙한 확인이다.

연습문제

1. $\operatorname{Log}(1-i)$의 주값을 구하라.
2. $(1+i)^{i}$의 모든 값을 구하라.
3. $\cos z = 0$의 모든 해를 구하라.
4. $e^z = -2$를 풀어라.
5. $z=re^{i\theta}$ ($-\pi<\theta\le\pi$, $r>0$)에 대해, $\operatorname{Log}z$의 실부·허부 $u,v$가 Cauchy–Riemann 방정식을 (극좌표 형태로) 만족함을 확인하라.
6. $\sinh z = 0$의 모든 해를 $\mathbb{C}$에서 구하라(힌트: $\sinh z = -i\sin(iz)$).
7. $f(z)=e^{1/z}$이 $z=0$ 근방에서 어떻게 행동하는지 논하라 — $z\to0$을 실수축을 따라 양의 방향/음의 방향으로 보낼 때 각각 극한이 어떻게 되는지 비교하라(이 함수는 뒤의 로랑 급수에서 본질특이점의 표준 예로 다시 등장한다).

관련 개념

• 극형식과 거듭제곱근 — Euler 공식이 출발점
• 해석함수 — 이들이 해석적인 이유
• 코시–리만 방정식 — $e^z$의 해석성 증명에 사용
• 로랑 급수 — $\log$의 가지와 특이점, 본질특이점의 표준 예
• 특이점과 유수 — $e^{1/z}$형 본질특이점
• conformal mapping riemann — $e^z$는 띠를 부채꼴/반평면으로 보냄
• 뫼비우스 변환 — 등각사상 도구 상자의 다른 한 축
• 리우빌 정리와 귀결들 — 유계성과의 관계(반례 저장소)
• riemann sphere and infinity — 무한대 근방의 가지·특이점