주곡률

개요 — 동기·문제의식

가우스곡률과 평균곡률에서 $K,H$는 형상연산자 $\mathcal{W}$를 두 숫자로 요약했지만, 그 요약은 "얼마나 휘는가"만 말할 뿐 "어느 방향으로 가장 많이/적게 휘는가"는 말해주지 않는다. 안장을 만졌을 때 손가락이 자연스럽게 느끼는 것은 정확히 이것이다 — 한 방향으로는 가장 급하게 아래로, 그와 수직인 방향으로는 가장 급하게 위로 휘어 있다는 감각. 이 "가장 급한 방향들"을 수학적으로 포착하는 것이 주곡률(principal curvatures)이며, 선형대수의 스펙트럼 정리가 정확히 이 직관을 정당화한다: 자기수반 연산자는 항상 직교하는 고유방향을 갖는다.

직관 (기하)

곡면 위 한 점에서 법곡률 $\kappa_n(\theta)$을 접평면의 방향각 $\theta$에 대한 함수로 그린다고 하자(360도 회전시키며 각 방향의 "휘는 정도"를 잰다). 이 함수는 매끄러운 주기함수이므로 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다 — 이 두 극값이 주곡률 $\kappa_1\ge\kappa_2$이고, 그 값이 달성되는 방향이 주방향이다. 놀라운 사실은 이 두 방향이 (구별되는 한) 항상 서로 직교한다는 것이다 — 마치 타원의 장축과 단축이 항상 수직인 것과 같은 현상.

구에서는 모든 방향이 똑같이 휘어 있으므로 $\kappa_1=\kappa_2$(최댓값=최솟값)이고 "주방향"이라는 것이 특별히 정해지지 않는다 — 모든 방향이 다 주방향이다. 원기둥에서는 모선 방향(곧음, $\kappa=0$)과 단면 방향(가장 휨, $\kappa=1/r$)이 정확히 주방향이며 서로 수직이다. 안장에서는 위로 휘는 방향과 아래로 휘는 방향이 주방향이고, 그 사이의 대각 방향들은 두 극단 사이를 보간한다.

정의

바인가르텐 사상(형상연산자) $\mathcal{W}$가 자기수반이므로, 스펙트럼 정리에 의해 접평면의 정규직교기저 $\{\mathbf{t}_1,\mathbf{t}_2\}$와 실 고유값 $\kappa_1,\kappa_2$가 존재하여 $\mathcal{W}(\mathbf{t}_i)=\kappa_i\mathbf{t}_i$다.¹ $\kappa_1,\kappa_2$가 주곡률, $\mathbf{t}_1,\mathbf{t}_2$가 주방향(주벡터)이다.²

이들은 정확히 $K,H$를 만드는 재료다: $H=\tfrac12(\kappa_1+\kappa_2)$, $K=\kappa_1\kappa_2$.³ (이는 가우스곡률과 평균곡률의 정리 — 특성다항식 $\kappa^2-2H\kappa+K=0$의 두 근이 $\kappa_1,\kappa_2$라는 것 — 을 다른 방향에서 정의로 다시 서술한 것이다.)

오일러의 정리

주곡률은 모든 법곡률을 결정한다. 오일러의 정리: $\mathbf{t}_1$과 부호 있는 각 $\theta$를 이루는 방향의 법곡률은 $$\kappa_n(\theta)=\kappa_1\cos^2\theta + \kappa_2\sin^2\theta.$$⁴ 이는 $\theta=0$에서 $\kappa_1$, $\theta=\pi/2$에서 $\kappa_2$를 주고, 그 사이는 코사인 제곱 가중 평균으로 보간된다. 따라서 $\kappa_1,\kappa_2$는 전체 방향에 걸친 법곡률의 최댓값·최솟값이다(단, $\kappa_1\ge\kappa_2$로 정렬했을 때).

우산점(umbilic)

$\kappa_1=\kappa_2$인 점을 우산점이라 한다; 그곳에서는 $\mathcal{W}$가 항등연산자의 스칼라배가 되어 모든 접방향이 주방향이다(고유공간 전체가 접평면).⁵ 평면과 구는 완전히 우산점으로만 이루어진 곡면이며, 실제로 연결된 곡면 중 모든 점이 우산점인 것은 평면과 구뿐이다.

곡률선과 점의 분류

접벡터가 항상 주방향인 곡선이 곡률선이다. $K=\kappa_1\kappa_2$의 부호가 점을 분류한다: - 타원점(elliptic) ($K>0$): $\kappa_1,\kappa_2$가 같은 부호 — 그릇 모양; - 쌍곡점(hyperbolic) ($K<0$): 부호가 반대 — 안장; - 포물점(parabolic) ($K=0$, $\kappa_1,\kappa_2$ 중 하나만 $0$): 원기둥 모양; - 평탄점(planar) ($\kappa_1=\kappa_2=0$).

주요 정리

정리 (주방향의 직교성, $\kappa_1\ne\kappa_2$일 때). $\kappa_1\ne\kappa_2$이면 대응 고유벡터 $\mathbf{t}_1,\mathbf{t}_2$는 직교한다.

정리 (오일러의 정리). $\{\mathbf{t}_1,\mathbf{t}_2\}$가 $\mathcal{W}$의 정규직교 고유기저이고 $\mathbf{t}=\cos\theta\,\mathbf{t}_1+\sin\theta\,\mathbf{t}_2$이면, $\kappa_n(\mathbf{t})=\langle\mathcal{W}(\mathbf{t}),\mathbf{t}\rangle=\kappa_1\cos^2\theta+\kappa_2\sin^2\theta$.

따름정리 (우산점의 특징). $p$가 우산점일 필요충분조건은 $p$에서 $\mathcal{W}=\lambda\,\mathrm{Id}$(스칼라배)인 것이다.

예제

예제 1 (구, 완전 우산점). 반지름 $r$인 구에서 $\mathcal{W}(v)=-v/r$(모든 $v$에 대해, 형상연산자 예제 1)이므로 $\kappa_1=\kappa_2=-1/r$ — 모든 점이 우산점, 어떤 방향도 특별하지 않다. $K=1/r^2$, $H=-1/r$이 가우스곡률과 평균곡률 예제 1과 일치.

예제 2 (평면, 우산점의 퇴화형). $\mathcal{W}\equiv0$이므로 $\kappa_1=\kappa_2=0$ — 평면도 우산점으로만 이루어진 곡면(가장 퇴화된 경우, $\lambda=0$).

예제 3 (원기둥, 명확한 주방향). $\sigma(u,v)=(\cos v,\sin v,u)$(반지름 1)에서 형상연산자 계산으로 $S(\sigma_u)=0$, $S(\hat e_2)=-\hat e_2$($\hat e_2=\sigma_v$, 단위접벡터). $\sigma_u,\hat e_2$가 서로 직교(제1기본형식 $F=0$)이므로 이 둘이 바로 주방향이고 $\kappa_1=0$(모선), $\kappa_2=-1$(단면 둘레) — 원기둥의 "반은 평평, 반은 둥글다"는 서술이 정확히 주곡률의 언어.

예제 4 (안장, 대각 주방향). $\sigma(u,v)=(u,v,uv)$, 원점에서 $S(u_1)=u_1$, $S(u_2)=-u_2$($u_1=(1,1,0)/\sqrt2$, $u_2=(1,-1,0)/\sqrt2$ 방향, 형상연산자 예제 4). $u_1\cdot u_2=0$이므로 직교 확인. $\kappa_1=1,\kappa_2=-1$이 좌표축이 아니라 대각선 방향에서 달성된다는 것이 핵심 — 좌표축 방향($du$ 또는 $dv$만)은 오히려 법곡률이 $0$인 방향(오일러 정리에서 $\theta=\pi/4$일 때 최댓값, $\theta=0,\pi/2$일 때 $0$이 아니라 사이값).

예제 5 (원환면, 세 종류의 점 공존). 가우스곡률과 평균곡률 예제 5에서 원환면의 $K$가 부호를 바꿈을 보았다: $u=0$(바깥쪽)에서 $K>0$(타원점), $u=\pi$(안쪽)에서 $K<0$(쌍곡점), $u=\pm\pi/2$에서 $K=0$(포물점, $\kappa_1,\kappa_2$ 중 정확히 하나가 $0$). 한 컴팩트 곡면 안에 네 종류의 점 분류(평탄점은 없지만)가 모두 나타나는 표준 예.

예제 6 (곡률선, 회전면의 자오선·위도원). 회전면에서는 자오선과 위도원 방향이 대칭성에 의해 항상 주방향이다(형상연산자 예제 5의 논증과 동일: 회전 대칭 아래 곡면이 불변이므로 형상연산자의 주방향도 그 대칭축에 정렬될 수밖에 없다) — 따라서 회전면의 곡률선은 항상 자오선과 위도원이다.

예제 7 (오일러 정리로 임의 방향 법곡률 재구성). 예제 3의 원기둥에서 $\kappa_1=0,\kappa_2=-1$이므로 모선과 $45°$를 이루는 방향의 법곡률은 오일러 정리로 $\kappa_n(\pi/4)=0\cdot\tfrac12+(-1)\cdot\tfrac12=-\tfrac12$ — 두 극값 $0,-1$의 정확히 중간.

흔한 오해와 함정

• "주방향은 항상 유일하게 정해진다" — 우산점에서는 정의상 모든 방향이 주방향이므로, "그" 주방향이라는 표현은 $\kappa_1\ne\kappa_2$인 비우산점에서만 의미가 있다.
• 주곡률과 법곡률을 혼동 — 법곡률 $\kappa_n(\theta)$은 방향 $\theta$마다 다른 연속적인 함수이고, 주곡률 $\kappa_1,\kappa_2$는 그 함수의 최댓값·최솟값이라는 두 개의 특정한 수다. "이 곡면의 곡률"이라고 뭉뚱그려 말하면 안 되고, 어느 방향인지 명시해야 한다(오일러 정리가 그 관계를 정확히 준다).
• $\kappa_1\ge\kappa_2$의 순서를 마음대로 바꿈 — 주곡률에는 관례적으로 순서가 있다($\kappa_1$이 최댓값). 순서를 바꾸면 $H=\tfrac12(\kappa_1+\kappa_2)$나 $K=\kappa_1\kappa_2$ 자체는 대칭이라 안 바뀌지만, "주곡률이 $\kappa_1$인 방향"이라는 서술의 대상이 바뀐다.
• 우산점을 특이점(곡면이 매끄럽지 않은 점)과 혼동 — 우산점은 완전히 매끄러운 정상적인 점이다(구의 모든 점이 우산점!). 단지 형상연산자가 등방적(모든 방향에 같은 곡률)이라는 것뿐, 특이성과는 무관하다.
• 곡률선이 항상 존재한다고(전역적으로) 가정 — 우산점에서는 주방향이 정해지지 않으므로 곡률선의 방향장이 특이점을 갖는다. 구 전체에서 매끄러운 곡률선 방향장을 하나로 통일해서 그릴 수 없는 이유(털공 정리와 관련된 현상)다.

큰 그림 / 연결

주곡률은 형상연산자(제2기본형식)의 고유값 분해이며, 그 대칭함수가 가우스곡률과 평균곡률의 $K,H$다. $\kappa_1=-\kappa_2$(즉 $H=0$)라는 조건이 정확히 극소곡면의 정의 조건과 같다 — 극소곡면의 모든 비평탄점은 (안장의 정도가 정확히 대칭인) 쌍곡점이다. 오일러의 정리는 곡률과 비틀림에서 곡선의 곡률이 접촉원 하나로 요약되던 것의 곡면 버전이라 볼 수 있다: 2차원에서는 접촉원 하나 대신 두 극값과 그 사이를 보간하는 공식이 필요하다.

연습문제

1. $\kappa_1=3,\kappa_2=-1$인 점에서 $K,H$를 구하라.
2. 오일러 정리를 이용해 $\theta=\pi/4$에서의 법곡률이 $\tfrac12(\kappa_1+\kappa_2)=H$와 같음을 보여라. 이것이 우연이 아닌 이유를 설명하라.
3. 우산점에서 $K=H^2$가 성립함을 가우스곡률과 평균곡률의 정리로부터 다시 확인하라.
4. 원기둥(반지름 $r$)의 주곡률을 구하고, $r\to\infty$일 때 어떻게 되는지 설명하라.
5. 타원점, 쌍곡점, 포물점, 평탄점의 정의를 각각 $\kappa_1,\kappa_2$의 부호 조합으로 다시 표로 정리하라.
6. 오일러 정리의 증명에서 정규직교성이 어디서 정확히 사용되었는지 짚어라.
7. 원환면 예제(예제 5)에서 $u=\pi/2$인 점의 두 주곡률 중 하나가 정확히 $0$임을 (직접 계산 없이) 정성적으로 설명하라.

관련 개념

• 형상연산자 — O'Neill의 연산자, 그 고유값이 이것
• 제2기본형식 — Weingarten 사상, 그 고유값이 이것
• 가우스곡률과 평균곡률 — 대칭함수 $K=\kappa_1\kappa_2$, $H=\tfrac12(\kappa_1+\kappa_2)$
• 극소곡면 — $\kappa_1=-\kappa_2$(즉 $H=0$)로 특징지어짐
• 곡률과 비틀림 — 곡선의 곡률·접촉원 개념의 곡면 버전