∇미분기하학

Pressley · O'Neill — 곡선과 곡면의 미분기하 · 곡률이 모든 것을 말한다

미분기하학,
매일 조금씩 정확하게

곡선의 프레네 틀에서 가우스–보네 정리까지, 굽음을 미적분으로 재는 16개 장. 60일 계획을 따라 하루 한 조각씩 — 공식마다 손으로 예제 곡면 하나를 계산해 본다.

오늘의 학습 Day 1 — 오리엔테이션

15분이면 충분하다.

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이어서 읽기 플래시카드 셀프 퀴즈 개념 그래프
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I. 곡선의 국소이론 프레네 틀이 곡선을 결정한다

1 매개화된 곡선 곡선 = 사상, 정칙성, 접벡터 2 호장과 재매개화 단위속력 곡선, 호장 매개화의 존재 3 곡률과 비틀림 프레네–세레 틀과 방정식, 곡선의 기본정리

II. 곡선의 대역이론 국소량이 대역을 제약한다

4 곡선의 대역적 성질 등주부등식, 네 꼭짓점 정리, 회전수 정리

III. 곡면 휘어진 2차원 세계

5 곡면과 곡면 조각 아틀라스, 접평면, 가향성 6 제1기본형식 곡면 위에서 재는 법 — 등장·등각·등적 사상

IV. 외재 기하 곡면이 공간에서 굽는 방식

7 제2기본형식 가우스 사상, 법곡률 8 형상연산자 바인가르텐 사상 S = −∇U 9 가우스곡률과 평균곡률 K = det S, H = ½ tr S 10 주곡률 형상연산자의 고윳값, 오일러 정리

V. 내재 기하 곡면 안에서만 알 수 있는 것

11 빼어난 정리 가우스곡률은 내재적이다 — 코다치 방정식 12 평행이동 공변미분, 크리스토펠 기호, 홀로노미 13 측지선 가장 곧은 곡선, 측지선 방정식

VI. 대역 기하 곡률과 위상이 만난다

14 가우스–보네 정리 ∬K dA = 2πχ(S) 15 극소곡면 H = 0, 비눗방울 막과 플라토 문제

VII. 추상 곡면으로 리만 기하학의 문턱

16 기하 곡면과 완비성 추상 리만 곡면, 지수 사상, 보네·아다마르

이 공간을 쓰는 법

  1. 오늘의 학습이 하루 한 조각을 정해 준다 — 15–30분, 부담 없는 원자 단위.
  2. 정리를 만나면 증명을 보기 전에 1–2분 스스로 시도한다. 그 다음 연다.
  3. 절을 읽으면 제목 옆 읽음 체크 — 진도는 대시보드와 그래프에 쌓인다.
  4. 장을 마치면 셀프 퀴즈와 플래시카드로 꺼내 본다. 간격 반복이 기한을 관리한다.
  5. 막히면 흔한 오해와 함정을, 길을 잃으면 개념 그래프를 본다.