IV. 외재 기하 · 7/16

제2기본형식

가우스 사상, 법곡률

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

제1기본형식은 곡면 위에서 길이·각도·넓이를 재지만, 곡면이 $\mathbb{R}^3$ 안에서 어떻게 휘어 있는지는 전혀 알려주지 않는다 — 종이를 평평하게 두든 원기둥으로 말든 제1기본형식은 그대로다. 곡면이 자신의 접평면에서 얼마나, 어느 방향으로 벗어나는지를 재는 두 번째 도구가 필요하다. 이것이 제2기본형식이다. 곡선의 곡률 $\kappa$가 곡선이 접선에서 벗어나는 정도를 쟀듯이, 제2기본형식은 곡면이 접평면에서 벗어나는 정도를 잰다 — 다만 곡면은 2차원이므로 숫자 하나가 아니라 이차형식(quadratic form) 전체가 필요하다.

직관 (기하)

곡면 위의 한 점에 평평한 유리판(접평면)을 갖다 댄다고 상상하자. 그 점에서 아주 조금 벗어난 다른 점들은 유리판으로부터 위로 떠 있거나 아래로 가라앉아 있다 — 그 "뜬 정도"를 이차근사로 측정한 것이 제2기본형식이다. 평면은 어디서도 유리판에서 벗어나지 않으므로 제2기본형식이 $0$이고, 구는 사방으로 같은 비율로 유리판에서 멀어지므로 제2기본형식이 등방적(isotropic)이며, 말안장은 한 방향으로는 유리판 위로, 다른 방향으로는 아래로 멀어지므로 제2기본형식이 부호를 바꾼다.

또 다른 직관: 단위법선 $\mathbf{N}$이 점마다 어떻게 방향을 바꾸는지를 추적하면 같은 정보를 얻는다. 평평한 곳에서는 법선이 일정하지만, 휘어진 곳에서는 이웃 점으로 이동할 때 법선도 함께 기운다. 그 기우는 속도와 방향을 측정하는 것이 가우스 사상의 미분이며, 이것이 바인가르텐 사상이다 — O'Neill의 형상연산자와 정확히 같은 대상이다.

정의

곡면조각의 매개변수가 변할 때, 곡면이 $\sigma(u,v)$에서의 접평면으로부터 벗어나는 정도는 $$\tfrac12\big(L\,(\Delta u)^2 + 2M\,\Delta u\,\Delta v + N\,(\Delta v)^2\big)+\cdots,\qquad L=\sigma_{uu}\cdot\mathbf{N},\ M=\sigma_{uv}\cdot\mathbf{N},\ N=\sigma_{vv}\cdot\mathbf{N}$$ 로 (테일러 전개 이차항까지) 주어진다. $L\,du^2 + 2M\,du\,dv + N\,dv^2$이 제2기본형식이며,¹ 곡선의 접선으로부터의 이탈을 재던 $\kappa$의 곡면판 대응물이다.

양	정의	직관
$L$	$\sigma_{uu}\cdot\mathbf{N}$	$u$-방향 이차 변화율(법선 성분)
$M$	$\sigma_{uv}\cdot\mathbf{N}$	비틂(twist) 성분
$N$	$\sigma_{vv}\cdot\mathbf{N}$	$v$-방향 이차 변화율(법선 성분)

가우스 사상과 바인가르텐 사상

Pressley의 두 번째, 더 기하적인 경로는 가우스 사상 $\mathcal{G}:S\to S^2$, 각 점을 그 단위법선 $\mathbf{N}_p$로 보내는 사상이다.² $T_{\mathcal{G}(p)}S^2$는 $\mathbf{N}_p$에 수직인 평면이고 이는 $T_pS$와 같으므로, $\mathcal{G}$의 미분은 접평면을 그 자신으로 보내는 선형사상이다. 바인가르텐 사상은 그 음수, $$\mathcal{W}_{p}=-D_p\mathcal{G}:T_pS\to T_pS,$$ 이며 제2기본형식은 $\langle\!\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle\!\rangle=\langle\mathcal{W}(\mathbf{v}),\mathbf{w}\rangle$다.³ 핵심 보조정리는 $\mathbf{N}_u\cdot\sigma_u=-L$ 등을 주어, $\mathcal{W}(\sigma_u)=-\mathbf{N}_u$, $\mathcal{W}(\sigma_v)=-\mathbf{N}_v$임을 보인다.⁴ 바인가르텐 사상은 자기수반(self-adjoint)이며, 동치로 제2기본형식은 대칭 쌍선형형식이다.⁵ 행렬 형태로는 $F_{\mathrm{I}}=\begin{psmallmatrix}E&F\\F&G\end{psmallmatrix}$, $F_{\mathrm{II}}=\begin{psmallmatrix}L&M\\M&N\end{psmallmatrix}$일 때, 바인가르텐 행렬은 $F_{\mathrm{I}}^{-1}F_{\mathrm{II}}$다.⁶

법곡률

곡면 위 단위속력 곡선에서 가속도는 $\ddot\gamma=\kappa_n\mathbf{N}+\kappa_g(\mathbf{N}\times\dot\gamma)$로 분해되며, $\kappa_n$이 법곡률, $\kappa_g$가 측지곡률이다.⁷ 법곡률은 제2기본형식으로 통제된다: $$\kappa_n=\langle\!\langle\dot\gamma,\dot\gamma\rangle\!\rangle = L\dot u^2 + 2M\dot u\dot v + N\dot v^2,$$ 따라서 $p$에서 접하는 두 곡선은 같은 법곡률을 갖는다.⁸ 대조적으로 측지곡률은 제1기본형식에만 의존한다 — 테오레마 에그레기움을 예고하는 사실.⁹

제2기본형식이 항등적으로 $0$인 곡면은 평면의 열린 부분집합이다.¹⁰

주요 정리

정리 (메우니에의 정리, Meusnier's theorem). $p$를 지나며 같은 단위접벡터 $\mathbf{t}$를 갖는 모든 곡선은 같은 법곡률 $\kappa_n=\langle\!\langle\mathbf{t},\mathbf{t}\rangle\!\rangle$을 갖는다. 특히, $\mathbf{t}$ 방향으로의 법단면(normal section)(접평면에 수직이고 $\mathbf{t},\mathbf{N}$을 포함하는 평면과 곡면의 교선)의 곡률이 그 방향의 법곡률과 일치한다.

증명 보기

증명 스케치. 법곡률 $\kappa_n=\langle\!\langle\dot\gamma,\dot\gamma\rangle\!\rangle=L\dot u^2+2M\dot u\dot v+N\dot v^2$의 정의식은 곡선 자체가 아니라 그 접벡터 $(\dot u,\dot v)$에만 의존한다 — 곡선이 어떻게 휘는지(측지곡률 $\kappa_g$)는 전혀 등장하지 않는다. 따라서 $p$에서 같은 접벡터를 갖는 임의의 두 곡선은 (단위속력으로 재매개변수화한 뒤) 같은 $\kappa_n$ 값을 갖는다. ∎ 이 정리는 곡면의 곡률을 "직접 측정"하는 가장 손에 잡히는 방법을 제공한다 — 법단면이라는 평면곡선 하나만 그려서 그 곡률(부호 포함)을 재면 그것이 바로 그 방향의 법곡률이다.

정리 (제2기본형식이 0이면 평면). 연결된 곡면조각 $\sigma$에서 $L\equiv M\equiv N\equiv0$이면 $\sigma$의 상은 평면의 부분집합이다.

증명 보기

증명 스케치. $L=\sigma_{uu}\cdot\mathbf{N}=0$, $M=\sigma_{uv}\cdot\mathbf{N}=0$, $N=\sigma_{vv}\cdot\mathbf{N}=0$이라는 것은 $\sigma_{uu},\sigma_{uv},\sigma_{vv}$가 모두 접평면 안에 있다는 뜻이다. 한편 $\mathbf{N}\cdot\sigma_u=0$을 $u,v$로 미분하면 $\mathbf{N}_u\cdot\sigma_u=-L=0$, $\mathbf{N}_v\cdot\sigma_u=-M=0$이고, 비슷하게 $\mathbf{N}_u\cdot\sigma_v=\mathbf{N}_v\cdot\sigma_v=0$이 나온다 — 즉 $\mathbf{N}_u,\mathbf{N}_v$가 $\sigma_u,\sigma_v$ 둘 다에 수직인데, $\mathbf{N}$ 자신도 $\sigma_u,\sigma_v$에 수직이고 $\mathbb{R}^3$은 3차원이므로 $\mathbf{N}_u,\mathbf{N}_v$는 $\mathbf{N}$의 배수여야 한다. 그런데 $\mathbf{N}\cdot\mathbf{N}=1$을 미분하면 $\mathbf{N}_u\cdot\mathbf{N}=\mathbf{N}_v\cdot\mathbf{N}=0$이므로 그 배수는 $0$ — 즉 $\mathbf{N}_u=\mathbf{N}_v=0$, $\mathbf{N}$이 상수 벡터다. $\frac{\partial}{\partial u}(\sigma\cdot\mathbf{N})=\sigma_u\cdot\mathbf{N}=0$이고 마찬가지로 $v$에 대해서도 $0$이므로 $\sigma\cdot\mathbf{N}$이 상수 — 즉 곡면 전체가 법선이 $\mathbf{N}$인 한 평면 위에 있다. ∎ 이 증명의 구조는 곡률과 비틀림에서 "$\tau\equiv0\Rightarrow$ 평면곡선"을 보인 증명과 평행하다 — 두 경우 모두 "법선(또는 종법선)이 상수임을 보이고, 그로부터 위치벡터와의 내적이 상수임을 끌어낸다."

예제

예제 1 (구, 직접 계산). $\sigma(\theta,\varphi)=r(\cos\theta\cos\varphi,\cos\theta\sin\varphi,\sin\theta)$. $\mathbf{N}=\sigma/r$(단위법선, 위치벡터 방향). 계산하면 $\sigma_{\theta\theta}=-r(\cos\theta\cos\varphi,\cos\theta\sin\varphi,\sin\theta)=-\sigma$이므로 $L=\sigma_{\theta\theta}\cdot\mathbf{N}=-\sigma\cdot\sigma/r=-r$. 비슷하게 $N=-r\cos^2\theta$, $M=0$. 제1기본형식이 $E=r^2,F=0,G=r^2\cos^2\theta$였으므로(앞 페이지 참고), $L/E=-1/r$, $N/G=-1/r$ — 비율이 같다(등방성), 모든 방향에서 같은 법곡률.

예제 2 (평면). $\sigma(u,v)=(u,v,0)$. $\sigma_{uu}=\sigma_{uv}=\sigma_{vv}=0$이므로 $L=M=N=0$ — 정리(제2기본형식이 0이면 평면)의 역방향 확인.

예제 3 (원기둥). $\sigma(u,v)=(\cos v,\sin v,u)$. $\mathbf{N}=(\cos v,\sin v,0)$. $\sigma_{uu}=0$, $\sigma_{uv}=0$, $\sigma_{vv}=(-\cos v,-\sin v,0)=-\mathbf{N}$이므로 $L=0,M=0,N=-1$. 모선 방향($u$)으로는 법곡률이 $0$(직선이므로 당연), 단면 방향($v$)으로는 법곡률이 $-1/r^2\cdot r^2=-1$(반지름 $1$이므로) — 평면 방향성에 따라 곡률이 다른 전형적인 예.

예제 4 (안장, 부호가 다른 법곡률). $\sigma(u,v)=(u,v,uv)$, 원점에서 $\mathbf{N}=(0,0,1)$. $\sigma_{uu}=(0,0,0)$, $\sigma_{uv}=(0,0,1)$, $\sigma_{vv}=(0,0,0)$이므로 $L=0,M=1,N=0$ — 좌표축 방향($du$ 또는 $dv$만)으로는 법곡률이 $0$이지만, 대각 방향 $du=dv$에서는 $\kappa_n\propto L+2M+N=2$(양수), $du=-dv$에서는 $L-2M+N=-2$(음수) — 부호가 반대인 두 방향이 공존, 말안장의 본성.

예제 5 (법단면을 이용한 검증, 구). 구 위의 임의의 대원(great circle)은 평면과 구의 교선이며, 그 평면이 법선을 포함하면(중심을 지나므로 항상 그렇다) 법단면이다. 대원의 곡률은 $1/r$이고, 이는 예제 1에서 계산한 $|L|/E=1/r$과 정확히 일치 — 메우니에 정리의 직접 확인.

예제 6 (회전면에서 자오선의 법곡률). 회전면의 자오선(meridian)은 그 자체로 법단면이다(자오선이 놓인 평면이 회전축을 포함하고, 회전축을 포함하는 평면은 항상 그 곡면의 법선도 포함하기 때문) — 따라서 자오선 방향의 법곡률은 정확히 그 자오선 곡선(평면곡선) 자체의 곡률과 같다.

예제 7 (제2기본형식이 0인 비자명한 영역은 없음을 확인). 만약 어떤 곡면조각의 일부 영역에서만 $L=M=N=0$이면, 그 정리의 증명을 그 영역에 국한해 적용하면 그 영역이 평면 조각임을 얻는다 — 즉 "부분적으로 평평한" 곡면(예: 원기둥의 모선)은 있을 수 있지만, 정리는 그 모선을 따라 $L=N=0$이어도 다른 방향($M\ne0$ 등)으로는 휘어 있을 수 있음을 배제하지 않는다(원기둥 예제 3 참고, $L=0$이지만 $N\ne0$).

흔한 오해와 함정

"제2기본형식이 0인 점이 있으면 그 점 근처가 평면이다" — 정리는 영역(open set) 전체에서 $L=M=N=0$일 때만 평면임을 보장한다. 한 점에서만 셋이 모두 $0$인 것(예: 안장점, 변곡점에 해당)은 그 점 근처가 평면임을 의미하지 않는다 — 예제 4의 안장에서 좌표축 방향만 보면 $L=N=0$이지만 $M\ne0$이라 평면이 아니다.
법곡률과 측지곡률을 혼동 — 법곡률 $\kappa_n$은 제2기본형식(외재적)에 의존하지만, 측지곡률 $\kappa_g$는 제1기본형식(내재적)에만 의존한다. 곡선 자체의 곡률 $\kappa$(프레네 곡률)는 둘의 "피타고라스 합" $\kappa^2=\kappa_n^2+\kappa_g^2$로 분해된다 — 셋을 같은 것으로 혼동하면 안 된다.
바인가르텐 사상의 정의에서 음의 부호를 잊음 — $\mathcal{W}=-D\mathcal{G}$의 음의 부호는 (구처럼) 법선이 바깥을 향할 때 양의 곡률이 나오도록 맞춘 관례다. 부호를 빠뜨리면 모든 곡률 부호가 뒤집힌다.
$L,M,N$이 좌표에 무관하다고 오해 — $E,F,G$와 마찬가지로 $L,M,N$도 곡면조각의 좌표 선택에 의존하는 성분이다(법선 방향의 선택에도 의존). 그러나 그로부터 만들어지는 $K=\det\mathcal{W}$(좌표·법선 방향 모두에 무관, 부호까지 무관)와 법곡률 자체는 기하학적으로 의미 있는 불변량.
메우니에 정리를 "모든 곡선이 같은 곡률을 갖는다"로 오인 — 정리는 법곡률(가속도의 법선 성분)이 접벡터에만 의존한다는 것이지, 곡선 자체의 곡률 $\kappa$(프레네 곡률, 측지곡률까지 포함)가 같다는 것이 아니다. 같은 접벡터를 갖는 곡선들도 측지곡률은 서로 다를 수 있고, 따라서 $\kappa=\sqrt{\kappa_n^2+\kappa_g^2}$ 자체는 다를 수 있다.

큰 그림 / 연결

제2기본형식은 제1기본형식의 외재적 짝이며, O'Neill 쪽에서는 정확히 형상연산자 $S=-\nabla_v\mathbf{N}$으로 다시 등장한다(바인가르텐 사상 $\mathcal{W}$와 $S$는 같은 대상). 그 행렬식과 대각합이 가우스곡률과 평균곡률를, 고유값이 주곡률를 낳는다. 가장 중요한 연결은 빼어난 정리이다 — 제2기본형식 자체는 곡면조각마다(또한 법선 선택에 따라) 달라지는 외재적 데이터지만, 그로부터 만들어지는 가우스 곡률 $K$는 놀랍게도 제1기본형식만으로 계산 가능한 내재적 양이다. 측지선는 법곡률이 $0$인 곡선(가속도가 항상 법선 방향)으로 정의되어, 제2기본형식의 또 다른 응용이다.

연습문제

원환면 $\sigma(u,v)=((a+b\cos u)\cos v,(a+b\cos u)\sin v,b\sin u)$의 $L,M,N$을 계산하라(힌트: $\mathbf{N}=(\cos u\cos v,\cos u\sin v,\sin u)$).
메우니에 정리를 이용해, 원기둥의 단면원(법단면)의 곡률이 예제 3의 $|N|/G$와 일치함을 확인하라.
안장 $z=uv$에서 임의의 방향 $(du,dv)=(\cos\phi,\sin\phi)$에 대한 $\kappa_n\propto2M\cos\phi\sin\phi=\sin2\phi$가 $\phi=\pi/4,3\pi/4$에서 부호를 바꾸는 것을 확인하라.
제2기본형식이 0이면 평면이라는 정리의 증명에서, $\mathbf{N}_u,\mathbf{N}_v$가 $\mathbf{N}$의 배수일 수밖에 없는 이유를 차원 논증으로 다시 설명하라.
법곡률 공식 $\kappa_n=L\dot u^2+2M\dot u\dot v+N\dot v^2$이 접벡터의 크기에 의존하지 않고 방향에만 의존함을 보이려면 단위속력 가정이 왜 필요한지 논하라.
회전면의 자오선이 항상 법단면이라는 사실(예제 6)을 이용해, 자오선의 곡률이 곧 그 방향의 법곡률임을 일반적인 회전면에 대해 설명하라.

힌트 / 정답

$\sigma_u=(-b\sin u\cos v,-b\sin u\sin v,b\cos u)$, $\sigma_v=(-(a+b\cos u)\sin v,(a+b\cos u)\cos v,0)$. $\sigma_{uu}=(-b\cos u\cos v,-b\cos u\sin v,-b\sin u)=-b\,\mathbf{N}$이므로 $L=\sigma_{uu}\cdot\mathbf{N}=-b$. $\sigma_{vv}=(-(a+b\cos u)\cos v,-(a+b\cos u)\sin v,0)$이고 $\mathbf{N}\cdot\sigma_{vv}=-(a+b\cos u)\cos u$이므로 $N=-\cos u(a+b\cos u)$. $\sigma_{uv}=(b\sin u\sin v,-b\sin u\cos v,0)$이고 $\mathbf{N}\cdot\sigma_{uv}=0$이므로 $M=0$.
본문 예제 3에서 $N=-1$, $G=1$(반지름 1 원기둥 기준)이었으므로 $|N|/G=1$ — 단면원(반지름 1인 원)의 곡률 $1/1=1$과 일치.
$L=N=0$, $M=1$이었으므로 $\kappa_n\propto2M\,du\,dv=2\cos\phi\sin\phi=\sin2\phi$. $\phi=\pi/4$에서 $\sin(\pi/2)=1>0$, $\phi=3\pi/4$에서 $\sin(3\pi/2)=-1<0$ — 본문 예제 4의 대각 방향 부호 반대 현상과 일치.
$\mathbb{R}^3$은 3차원이고 $\{\sigma_u,\sigma_v,\mathbf{N}\}$이 그 기저를 이룬다. $\mathbf{N}_u$가 $\sigma_u,\sigma_v$ 모두에 수직이라는 것은 $\mathbf{N}_u$가 이 기저에서 $\sigma_u,\sigma_v$ 성분이 모두 $0$이라는 뜻 — 남는 것은 $\mathbf{N}$ 방향 성분뿐이므로 $\mathbf{N}_u=c\,\mathbf{N}$ 꼴이어야 한다(그리고 $\mathbf{N}\cdot\mathbf{N}_u=0$에서 $c=0$).
일반 속력 곡선에서는 $\ddot\gamma$ 자체가 속력의 제곱과 가속도(방향 변화) 둘 다를 반영하므로 법선 성분이 순수하게 "방향에 의한 휘는 정도"를 반영하지 않는다(접선 방향 가속도 성분이 섞임). 단위속력으로 매개변수화하면 $\dot\gamma\cdot\ddot\gamma=0$이 보장되어 $\ddot\gamma$가 순수하게 법평면(법선과 측지법선이 펼치는) 안에 놓이게 되고, 그중 법선 성분만을 깔끔하게 $\kappa_n$으로 분리할 수 있다.
자오선이 놓인 평면은 회전축과 자오선 위의 점을 모두 포함하는 평면인데, 회전면의 법선은 항상 그 점에서 회전축을 포함하는 평면 안에 놓인다(대칭성에 의해 법선이 자오선 평면을 벗어날 수 없음) — 따라서 자오선 평면은 항상 그 점에서의 법선을 포함하므로 정의상 법단면이고, 메우니에 정리에 의해 그 평면곡선(자오선)의 곡률이 곧 법곡률이다.