III. 곡면 · 6/16

제1기본형식

곡면 위에서 재는 법 — 등장·등각·등적 사상

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

곡면과 곡면 조각에서 접평면 $T_pS$를 확보했지만, 그 위에서 "길이"나 "각도"를 재려면 내적이 필요하다. 가장 단순한 답은 $\mathbb{R}^3$의 표준 내적을 그대로 가져다 쓰는 것이다 — 곡면이 굽어 있어도, 곡면 위에 살고 있는 벌레는 그 굽음을 볼 수 없고 오직 접평면에서의 길이·각도만 잴 수 있다. 이 제한된 내적이 제1기본형식이다. 이는 이 위키의 분기점이다: 제1기본형식만으로 계산 가능한 모든 것이 내재적(intrinsic)이고, 곡면이 $\mathbb{R}^3$ 안에서 어떻게 놓여 있는지(법선의 변화, 제2기본형식)에 의존하는 것은 외재적(extrinsic)이다. 이 구분이 빼어난 정리의 놀라움을 만든다.

직관 (기하)

종이 한 장을 떠올리자. 평평하게 두면 평면이지만, 구기지 않고 둥글게 말면 원기둥이 된다. 종이 위에 그린 도형의 길이·각도·넓이는 마는 과정에서 전혀 바뀌지 않는다 — 종이를 늘이거나 찢지 않았기 때문이다. 이것이 "제1기본형식이 보존된다"는 것의 의미이며, 평면과 원기둥이 (휘어 보이는 모양이 다름에도) 내재적으로는 "같은" 기하를 갖는 이유다. 반대로 구는 절대 평면 종이를 구기지 않고는 만들 수 없다 — 오렌지 껍질을 평평하게 펴려면 반드시 찢어야 하는 것과 같다. 이 차이가 바로 제1기본형식(나아가 곡률)이 포착하는 것이다.

정의

제1기본형식은 $\mathbb{R}^3$의 내적을 곡면의 접평면으로 제한한 것이다: $\mathbf{v},\mathbf{w}\in T_pS$에 대해 $$\langle\mathbf{v},\mathbf{w}\rangle_p = \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}.$$¹ 이는 곡면 위에 사는 "벌레 기하학자"가 길이, 각도, 넓이를 재는 데 쓰는 대상이며 — 주변 공간을 참조하지 않고 곡면에만 내재적인 모든 것을 담는다.²

곡면조각 $\sigma(u,v)$에서는 $$E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2,\qquad E=\lVert\sigma_u\rVert^2,\ F=\sigma_u\cdot\sigma_v,\ G=\lVert\sigma_v\rVert^2.$$³

양	정의	역할
$E$	$\sigma_u\cdot\sigma_u$	$u$-방향 길이 척도
$F$	$\sigma_u\cdot\sigma_v$	좌표축 사이의 직교성(각도) 척도
$G$	$\sigma_v\cdot\sigma_v$	$v$-방향 길이 척도

곡선 $\sigma(u(t),v(t))$의 길이는 $\int (E\dot u^2 + 2F\dot u\dot v + G\dot v^2)^{1/2}\,dt$;⁴ 매개변수 곡선 사이의 각도는 $\cos\theta = F/\sqrt{EG}$(따라서 직교할 필요충분조건은 $F=0$);⁵ 넓이는 $\iint\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv$ — $\lVert\sigma_u\times\sigma_v\rVert=\sqrt{EG-F^2}$이기 때문이다.⁶

세 종류의 사상

제1기본형식은 곡면 사이의 구조보존 사상을 분류한다:

국소등거리(local isometry) — 모든 곡선의 길이를 보존. 제1기본형식 자체를 보존하는 것과 동치. 평면과 원기둥(또는 원뿔, 접선전개면)은 국소적으로 등거리다 — 종이를 구기지 않고 감을 수 있다.⁷
등각사상(conformal map) — 각도를 보존. 제1기본형식이 비례하는 것과 동치, $f^*\langle\cdot,\cdot\rangle=\lambda\langle\cdot,\cdot\rangle$. 구의 입체사영(stereographic projection)이 등각이며, 모든 곡면은 등각 원자를 갖는다.⁸
등적사상(equiareal map) — 넓이를 보존. $EG-F^2$가 보존되는 것과 동치. 아르키메데스 정리: 구를 외접원기둥에 방사상으로 사영하는 것이 등적사상이며, 이로부터 구면삼각형의 넓이가 $\alpha+\beta+\gamma-\pi$임이 따라온다.⁹

등각이면서 동시에 등적인 사상은 정확히 국소등거리다.¹⁰

주요 정리

정리 (등거리 ⟺ 등각 ∧ 등적). 곡면 사이의 사상 $f$가 국소등거리일 필요충분조건은 $f$가 등각이면서 동시에 등적인 것이다.

증명 보기

증명 스케치. ($\Rightarrow$) 국소등거리는 제1기본형식 자체를 보존하므로, 비례상수 $\lambda=1$인 등각사상(따라서 등각)이며 $EG-F^2$도 그대로 보존(따라서 등적). ($\Leftarrow$) 등각이면 $\tilde E=\lambda E,\tilde F=\lambda F,\tilde G=\lambda G$이고, 등적이면 $\tilde E\tilde G-\tilde F^2=EG-F^2$. 둘을 결합하면 $\lambda^2(EG-F^2)=EG-F^2$이므로 (정칙 곡면에서 $EG-F^2>0$이니) $\lambda^2=1$, 즉 $\lambda=1$($\lambda>0$이어야 하므로). 따라서 제1기본형식 자체가 보존되어 국소등거리. ∎ 이 증명의 구조 — "비례상수와 행렬식을 동시에 통제하면 상수가 $1$로 못박힌다" — 는 등각·등적이라는 약한 두 조건을 합치면 가장 강한 조건(등거리)을 회복한다는 것을 보여준다.

정리 (평면과 원기둥의 국소등거리). $\sigma(u,v)=(u,v,0)$(평면)와 $\tilde\sigma(u,v)=(\cos u,\sin u,v)$(반지름 1 원기둥) 사이에 국소등거리 $\sigma\mapsto\tilde\sigma$가 존재한다.

증명 보기

증명. 평면에서 $E=1,F=0,G=1$. 원기둥에서 $\tilde\sigma_u=(-\sin u,\cos u,0)$, $\tilde\sigma_v=(0,0,1)$이므로 $\tilde E=1,\tilde F=0,\tilde G=1$ — 두 제1기본형식이 (같은 좌표 $(u,v)$ 아래) 글자 그대로 일치한다. 따라서 $\sigma(u,v)\mapsto\tilde\sigma(u,v)$로 정의된 사상은 모든 곡선의 길이를 보존하는 국소등거리다. ∎ 이것이 "종이를 구기지 않고 원기둥으로 만다"는 직관의 정확한 형식화다 — $u$를 각도로 "감되" 그 자체의 척도($du$의 길이 가중치)는 바꾸지 않는 것.

예제

예제 1 (평면의 제1기본형식). $\sigma(u,v)=(u,v,0)$. $\sigma_u=(1,0,0)$, $\sigma_v=(0,1,0)$이므로 $E=1,F=0,G=1$ — 표준 유클리드 계량. 가장 단순한 경우로, 모든 비교의 기준점.

예제 2 (구의 제1기본형식). $\sigma(\theta,\varphi)=(\cos\theta\cos\varphi,\cos\theta\sin\varphi,\sin\theta)$(반지름 1). $\sigma_\theta=(-\sin\theta\cos\varphi,-\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$, $\sigma_\varphi=(-\cos\theta\sin\varphi,\cos\theta\cos\varphi,0)$. 계산하면 $E=1,F=0,G=\cos^2\theta$. $F=0$이므로 위도-경도 좌표선은 어디서나 직교(직관과 일치 — 자오선과 위도선은 수직으로 만난다). $G=\cos^2\theta$가 극($\theta=\pm\pi/2$)에서 $0$이 되는 것은 경도선들이 극에서 한 점으로 모이는 현상의 정량적 표현.

예제 3 (원기둥의 넓이 계산). 예제(주요 정리)의 원기둥에서 $EG-F^2=1$이므로 $u\in[0,2\pi),v\in[0,h]$인 영역의 넓이는 $\iint 1\,du\,dv=2\pi h$ — 반지름 $1$, 높이 $h$인 원기둥의 측면적 공식과 정확히 일치.

예제 4 (회전곡면의 일반 공식). $\sigma(u,v)=(f(u)\cos v,f(u)\sin v,g(u))$(자오선 $(f,g)$, $f>0$)에서 $\sigma_u=(f'\cos v,f'\sin v,g')$, $\sigma_v=(-f\sin v,f\cos v,0)$이므로 $E=f'^2+g'^2$, $F=0$, $G=f^2$. 항상 $F=0$(자오선과 위도원이 직교)이라는 사실은 회전곡면 전체에 성립하는 구조적 성질.

예제 5 (입체사영의 등각성 확인, 개략). 구의 북극을 뺀 부분을 평면으로 보내는 입체사영 $\pi$의 미분을 계산하면 $\pi$의 제1기본형식이 평면 표준 계량의 양의 스칼라배($\lambda(x,y)=\frac{4}{(1+x^2+y^2)^2}$ 형태)로 나옴을 보일 수 있다 — 등각의 정의를 직접 만족.⁸

예제 6 (등적이지만 등거리가 아닌 사상, 아르키메데스). 구를 외접원기둥에 방사상으로 사영하면 넓이는 보존되지만($EG-F^2$ 보존) 위도선의 길이는 보존되지 않는다(고위도일수록 원기둥 위 둘레가 원래보다 늘어남) — 등적이라고 해서 등거리가 아님을 보여주는 표준 반례.⁹

예제 7 (직교 좌표에서 $F=0$ 판정). 쌍곡포물면 $\sigma(u,v)=(u,v,u^2-v^2)$에서 $\sigma_u=(1,0,2u)$, $\sigma_v=(0,1,-2v)$이므로 $F=\sigma_u\cdot\sigma_v=-4uv$ — $u=0$ 또는 $v=0$인 좌표축 위에서만 직교, 일반적인 점에서는 매개변수 곡선이 직교하지 않는다.

흔한 오해와 함정

"등거리이면 두 곡면이 합동(congruent)이다" — 아니다. 평면과 원기둥은 국소등거리이지만 $\mathbb{R}^3$ 안에서 전혀 다른 모양이다(합동이려면 강체운동으로 옮겨져야 한다, euclidean isometries and congruence 참고). 등거리는 내재적 동치이지 외재적 동치가 아니다.
"등각이면 길이도 보존된다"고 착각 — 등각은 각도만 보존한다. 입체사영은 등각이지만 극 부근과 적도 부근에서 길이 왜곡 비율이 다르다(메르카토르 도법에서 고위도가 과장되어 보이는 이유).
$F=0$을 "곡면이 평평하다"는 뜻으로 오해 — $F=0$은 그저 그 특정 좌표선들이 직교한다는 뜻일 뿐, 곡률과는 무관하다. 구의 위도-경도 좌표도 $F=0$이지만 구는 평평하지 않다.
제1기본형식이 좌표에 무관한 절대적 대상이라고 착각하면서 $E,F,G$의 값도 좌표 불변이라 생각 — 형식 자체($\langle\cdot,\cdot\rangle$이라는 쌍선형형식)는 좌표와 무관하지만, 성분 $E,F,G$는 좌표 선택에 따라 달라진다(전이사상에 의해 변환됨). 등거리·등각·등적 여부를 판단할 때는 같은 좌표계 아래에서 비교해야 한다.
등적사상이 흔하다고 생각 — 등각사상은 항상 존재(모든 곡면이 등각좌표를 가짐)하지만, 등적사상이나 등거리사상은 가우스 곡률이 다르면 결코 존재할 수 없다(빼어난 정리). 아르키메데스의 정리는 구와 원기둥처럼 특수한 경우에 등적사상이 존재함을 보인 것이지, 일반적 현상이 아니다.

큰 그림 / 연결

제1기본형식은 곡면과 곡면 조각가 공급한 접평면 $T_pS$ 위에 사는 계량이며, 제2기본형식이라는 외재적 대응물과 짝을 이룬다. 측지선의 측지선 방정식은 $E,F,G$만으로 표현되어 — 측지선이 순전히 내재적 개념임을 보여준다. 가장 깊은 연결은 빼어난 정리이다: 가우스 곡률 $K$는 $\mathcal{W}$(외재적 대상)의 행렬식으로 정의되지만, 실은 $E,F,G$만으로 계산 가능하다는 것이 그 정리의 놀라움이다. O'Neill의 틀에서는 같은 정보가 정규직교 이동 틀의 내적으로 운반되며(frame fields and structural equations), 쌍대적으로는 미분형식의 언어로(differential forms) 표현된다.

연습문제

원환면 $\sigma(u,v)=((a+b\cos u)\cos v,(a+b\cos u)\sin v,b\sin u)$($a>b>0$)의 $E,F,G$를 구하라.
원뿔 $\sigma(u,v)=(u\cos v,u\sin v, cu)$($c$ 상수, $u>0$)가 평면과 국소등거리임을 보여라(힌트: $u$를 적절히 재척도화).
제1기본형식이 좌표변환 아래 비례하면(등각) 둘레가 아니라 각도가 보존되는 이유를 $\cos\theta=F/\sqrt{EG}$ 공식으로 설명하라.
등각이면서 등적인 사상이 등거리임을 (주요 정리의 증명을 따라) 직접 다시 써 보아라.
예제 4(회전곡면)에서 자오선이 단위속력으로 매개변수화되어 있으면($f'^2+g'^2=1$) $E=1$임을 확인하라.
입체사영의 비례계수 $\lambda(x,y)=\frac{4}{(1+x^2+y^2)^2}$가 원점에서 최댓값을 가짐을 보이고, 이것이 의미하는 왜곡의 방향을 설명하라.

힌트 / 정답

$\sigma_u=(-b\sin u\cos v,-b\sin u\sin v,b\cos u)$, $\sigma_v=(-(a+b\cos u)\sin v,(a+b\cos u)\cos v,0)$. $E=\sigma_u\cdot\sigma_u=b^2$, $F=\sigma_u\cdot\sigma_v=0$, $G=\sigma_v\cdot\sigma_v=(a+b\cos u)^2$.
$\sigma_u=(\cos v,\sin v,c)$, $\sigma_v=(-u\sin v,u\cos v,0)$. $E=1+c^2$, $F=0$, $G=u^2$. 새 변수 $\tilde u=u\sqrt{1+c^2}$로 바꾸면 $E\,du^2=d\tilde u^2$이 되고, $G\,dv^2=u^2dv^2=\frac{\tilde u^2}{1+c^2}dv^2$이므로 $\tilde v=v/\sqrt{1+c^2}$로 다시 바꾸면 극좌표 $d\tilde u^2+\tilde u^2 d\tilde v^2$ — 이는 평면의 극좌표 표시이므로 평면과 국소등거리.
$\tilde E=\lambda E,\tilde F=\lambda F,\tilde G=\lambda G$이면 $\cos\tilde\theta=\tilde F/\sqrt{\tilde E\tilde G}=\lambda F/\sqrt{\lambda^2 EG}=F/\sqrt{EG}=\cos\theta$ — $\lambda$가 분자·분모에서 정확히 약분되어 각도가 보존된다(길이는 $\sqrt\lambda$배로 늘어나므로 보존 안 됨).
(본문 정리의 증명 자체가 답.) 핵심은 $\lambda^2(EG-F^2)=EG-F^2$에서 $EG-F^2\neq0$(정칙성)을 나누어 $\lambda^2=1$, $\lambda>0$이므로 $\lambda=1$을 얻는 것.
$f'^2+g'^2=1$이 단위속력 조건 자체이므로, $E=f'^2+g'^2=1$이 즉시 성립 — 자오선 방향으로 잰 거리가 매개변수 $u$ 자체와 일치한다는 뜻.
$\lambda(x,y)=4/(1+r^2)^2$ ($r^2=x^2+y^2$)는 $r=0$에서 분모가 최소이므로 $\lambda$가 최댓값 $4$를 가짐 — 평면 원점(구의 적도에 해당하는 점들의 사영) 근방에서 길이가 가장 적게 왜곡되고, $r\to\infty$(북극 근방의 사영)로 갈수록 $\lambda\to0$이 되어 실제 길이에 비해 평면에서의 표현이 점점 더 압축되어 보인다(또는 반대 관례면 확대).