III. 곡면 · 5/16

곡면과 곡면 조각

아틀라스, 접평면, 가향성

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

곡선 이론에서 곡률·열률을 다룬 뒤 자연스러운 다음 질문은: 2차원 대상(곡면)을 어떻게 미적분으로 다룰 것인가다. 지구 표면이 둥근데도 우리는 평면 지도로 동네를 그릴 수 있다 — 이는 곡면이 "국소적으로는 평면처럼 보인다"는 사실의 직접적 표현이다. 이 페이지는 그 직관을 정밀한 정의(곡면, 곡면조각, 원자)로 만들고, 단 하나의 조각으로 전체를 덮을 수 없는 곡면(원기둥, 구)이 왜 생기는지, 그리고 미적분을 적용하기 위한 정칙성 조건이 무엇인지를 다룬다. 이는 제1기본형식과 제2기본형식이 의존하는 가장 기초적인 토대다.

직관 (기하)

지구본 위의 한 작은 동네 지도를 그린다고 생각하자. 그 지도(평면 위의 좌표 $U$)와 실제 동네(곡면 $S$ 위의 한 조각) 사이에는 자연스러운 대응 — 위도·경도를 평면 좌표로 변환하는 사상 — 이 있다. 이 대응이 곡면조각(surface patch) $\sigma:U\to S$이다. 문제는 지구 전체를 한 장의 평면 지도로 왜곡 없이 펼칠 수 없다는 것 — 적어도 두 장의 지도(원자, atlas)가 필요하다. 두 지도가 겹치는 지역에서는 한 지도의 좌표를 다른 지도의 좌표로 바꾸는 변환 규칙(전이사상, transition map)이 있어야 하며, 그 규칙이 매끄러워야 미적분(미분, 접평면, 곡률 등)을 일관되게 정의할 수 있다.

또 다른 직관: 곡면이 "찢어지거나 꼬이지 않고" 매끄럽다는 것은 각 점에서 두 좌표 방향 $\sigma_u,\sigma_v$가 서로 독립적인 평면(접평면)을 펼친다는 뜻이다. 이 평면이 찌그러져 선이나 점으로 쪼그라드는 곳(예: 원뿔의 꼭짓점)에서는 정상적인 곡면 구조가 깨진다.

정의

곡면(surface)이란 $S\subseteq\mathbb{R}^3$의 부분집합으로, 모든 점 근방에서 $\mathbb{R}^2$의 한 조각처럼 보이는 것이다 — 지구 표면이 관찰자에게 평평한 평면처럼 보이는 것과 같다.¹ 정밀하게는: 모든 $p\in S$에 대해 열린집합 $U\subseteq\mathbb{R}^2$와 $p$의 열린근방 $W\subseteq\mathbb{R}^3$이 존재하여 $S\cap W$가 $U$와 위상동형(homeomorphic)이다.² 이 위상동형사상 $\sigma:U\to S\cap W$를 곡면조각(surface patch) 또는 매개변수화(parametrization)라 하고, $S$ 전체를 덮는 곡면조각들의 모임을 원자(atlas)라 한다.³

용어	의미
곡면조각 $\sigma$	$U\subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$, 정칙·위상동형인 매개변수화
원자	$S$를 덮는 곡면조각들의 모임
전이사상	두 조각이 겹칠 때 $\sigma^{-1}\circ\tilde\sigma$ — 좌표 변환 규칙
정칙(regular)	모든 점에서 $\sigma_u\times\sigma_v\neq0$

많은 자연스러운 곡면은 한 조각으로 덮을 수 없다. 평면은 하나의 조각으로 충분하지만,⁴ 원기둥과 구는 적어도 두 조각이 필요하다 — 단 하나의 단사 조각으로는 전체를 한 바퀴 감쌀 수 없기 때문이다(남은 이음매가 제거된 직선이나 반원으로 생긴다).⁵ 원뿔 $x^2+y^2=z^2$은 꼭짓점에서는 곡면이 아니다 — 그러나 꼭짓점을 제거하면 곡면이 된다.⁶ 두 조각이 겹치는 곳에서 합성 $\sigma^{-1}\circ\tilde\sigma$가 매끄러운 전이사상이다.⁷

매끄러운 곡면과 접평면

미적분을 적용하려면 매끄러운(정칙) 곡면이 필요하다: 각 조각 $\sigma$가 어디서나 $\sigma_u\times\sigma_v\neq0$을 만족하여 $\sigma_u,\sigma_v$가 일차독립이다.⁸ 접평면 $T_pS$는 $\sigma_u,\sigma_v$가 생성하는 평면이며, $S$ 위에서 $p$를 지나는 곡선들의 $p$에서의 접벡터 전체와 일치한다.⁹ 표준 단위법선은 $$\mathbf{N}=\frac{\sigma_u\times\sigma_v}{\lVert\sigma_u\times\sigma_v\rVert}.$$

방향성(Orientability)

곡면이 방향가능(orientable)하다는 것은, 모든 전이사상의 야코비안 행렬식이 양수인 원자를 갖는다는 뜻 — 동치로, 곡면 전체에서 연속적으로 단위법선을 고를 수 있다는 뜻이다. 뫼비우스 띠가 표준적인 비방향가능 예다.¹⁰ 방향성은 제2기본형식, 가우스 사상, 가우스-보네 적분이 전역적으로 잘 정의되기 위한 전제조건이다.

주요 정리

명제 (정칙성과 접평면의 존재). 곡면조각 $\sigma$가 정칙이면, 즉 $\sigma_u\times\sigma_v\neq0$이면, 각 점에서 $\{\sigma_u,\sigma_v\}$는 일차독립이고 $T_pS=\mathrm{span}\{\sigma_u,\sigma_v\}$는 잘 정의된 2차원 부분공간이다.

증명 보기

증명 스케치. $\sigma_u\times\sigma_v\neq0$은 정확히 $\sigma_u,\sigma_v$가 평행하지 않다는 뜻이므로 둘은 일차독립이고 2차원 공간을 생성한다. $S$ 위의 임의의 곡선 $\gamma(t)=\sigma(u(t),v(t))$에 대해 연쇄법칙으로 $\dot\gamma=\dot u\,\sigma_u+\dot v\,\sigma_v\in\mathrm{span}\{\sigma_u,\sigma_v\}$이므로, 모든 접벡터가 이 평면 안에 있다. 역으로 이 평면의 임의의 벡터 $a\sigma_u+b\sigma_v$는 $(u(t),v(t))=(u_0+at,v_0+bt)$로 정의된 곡선의 접벡터로 실현된다. ∎ 이 증명이 보여주듯, 정칙성은 "접평면이 퇴화하지 않는다"는 조건과 정확히 같다 — 원뿔의 꼭짓점에서 정칙성이 깨지는 이유도 그 점에서 $\sigma_u,\sigma_v$가 평행해지기(또는 정의되지 않기) 때문이다.

명제 (전이사상은 미분동형사상). 두 정칙 곡면조각 $\sigma:U\to S$, $\tilde\sigma:\tilde U\to S$가 겹치는 영역에서, 전이사상 $\Phi=\sigma^{-1}\circ\tilde\sigma$는 매끄러운 미분동형사상이다.

증명 보기

증명 스케치(역함수정리 적용). $\sigma$가 정칙이므로 $D\sigma$가 어디서나 단사이고, 음함수/역함수 정리를 국소적으로 적용하면 $\sigma^{-1}$가 매끄러운 함수로 확장됨을 보일 수 있다(엄밀한 증명은 $\sigma$를 $\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$로 국소 확장한 뒤 역함수정리를 적용). 따라서 $\Phi$는 매끄러운 사상들의 합성으로 매끄럽고, 같은 논증을 $\Phi^{-1}=\tilde\sigma^{-1}\circ\sigma$에 적용하면 매끄러운 역함수를 갖는다. ∎ 이 사실이 "곡면이 좌표에 무관하게 잘 정의된 매끄러운 구조를 갖는다"는 것의 토대다 — 한 조각에서 매끄러운 함수는 다른 조각에서도 매끄럽다.

예제

예제 1 (평면). $\sigma(u,v)=p+ua+vb$ ($a,b$ 일차독립). $\sigma_u=a$, $\sigma_v=b$가 상수이므로 어디서나 정칙이고, 단 하나의 조각으로 평면 전체를 덮는다 — 가장 단순한 곡면.⁴

예제 2 (구의 두 조각). $\sigma(\theta,\varphi)=(\cos\theta\cos\varphi,\cos\theta\sin\varphi,\sin\theta)$, $\theta\in(-\pi/2,\pi/2)$, $\varphi\in(0,2\pi)$는 위도-경도 좌표로 구를 매개변수화하지만, $\varphi=0$ 자오선(경계선)을 빠뜨린다. 두 번째 조각(다른 자오선을 기준으로 잘라낸)을 더해야 구 전체를 덮는 원자가 완성된다.⁵

예제 3 (원뿔의 특이점). $x^2+y^2=z^2$를 $\sigma(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta,r)$로 매개변수화하면 $\sigma_r=(\cos\theta,\sin\theta,1)$, $\sigma_\theta=(-r\sin\theta,r\cos\theta,0)$. $\sigma_r\times\sigma_\theta=(-r\cos\theta,-r\sin\theta,r)$이고 $r=0$(꼭짓점)에서 이는 영벡터 — 정칙성이 깨진다. 꼭짓점을 제거($r>0$)하면 정칙 곡면이 된다.⁶

예제 4 (그래프 곡면). $z=f(x,y)$ 형태의 그래프는 $\sigma(x,y)=(x,y,f(x,y))$로 항상 정칙: $\sigma_x=(1,0,f_x)$, $\sigma_y=(0,1,f_y)$는 처음 두 성분만으로 이미 일차독립이므로 $\sigma_x\times\sigma_y=(-f_x,-f_y,1)\neq0$이 항상 성립한다 — 그래프는 결코 특이점을 가질 수 없다.

예제 5 (접평면 계산, 구). 예제 2의 구에서 $\theta=0,\varphi=0$(적도, $x$축 위의 점 $(1,0,0)$)일 때 $\sigma_\theta=(0,0,1)$, $\sigma_\varphi=(0,1,0)$이므로 $T_pS=\mathrm{span}\{(0,0,1),(0,1,0)\}$ — $yz$평면, 법선은 $(1,0,0)$ 방향. 구 위의 점에서 접평면이 그 점의 위치벡터에 수직이라는 직관과 일치.

예제 6 (뫼비우스 띠의 비방향성). $\sigma(u,v)=\big((2-v\sin(u/2))\sin u,\ (2-v\sin(u/2))\cos u,\ v\cos(u/2)\big)$, $u\in[0,2\pi]$. $u=0$과 $u=2\pi$를 동일시할 때, 띠를 한 바퀴 돌면 법선 벡터의 방향이 반대로 뒤집힌다 — 전역적으로 연속인 단위법선을 고를 수 없으므로 방향불가능.¹⁰

예제 7 (회전곡면, 원환면 예고). $\sigma(u,v)=\big((a+b\cos u)\cos v,(a+b\cos u)\sin v,b\sin u\big)$($a>b>0$)은 원환면(torus)을 매개변수화하며 어디서나 정칙이다 — 제1기본형식·가우스곡률과 평균곡률 페이지에서 곡률 부호가 바뀌는 대표 예로 다시 등장한다.

흔한 오해와 함정

"곡면이 매끄러우려면 하나의 식 $f(x,y,z)=0$으로 충분하다" — 음함수정리가 적용되려면 $\nabla f\neq0$(정칙값 조건)이 필요하다. $f=x^2+y^2-z^2$은 원점에서 $\nabla f=0$이므로 원뿔이 거기서 곡면이 아닌 것과 정확히 대응한다.
"한 조각의 매개변수화가 전체 곡면을 결정한다" — 구나 원기둥처럼 위상적으로 평면과 다른 곡면은 본질적으로 한 조각으로 덮이지 않는다(이는 위상수학적 사실 — 원이 평면의 열린 부분집합과 위상동형이 아니다). 여러 조각과 전이사상이 필수다.
정칙성과 단사성을 혼동 — $\sigma_u\times\sigma_v\neq0$(정칙)은 국소적 조건이고, $\sigma$가 단사(한 점에 한 좌표만 대응)인 것은 전역적 조건이다. 자기교차하는 곡면(예: Klein 병의 immersion)은 정칙이지만 단사가 아닐 수 있다.
접평면을 원점을 지나는 평면과 혼동 — $T_pS$는 통상 $\mathbb{R}^3$의 원점이 아니라 $p$를 지나는 (또는 $p$를 원점으로 보는 벡터공간으로) 평면이다. 접평면 자체는 $\sigma_u,\sigma_v$가 생성하는 벡터공간이고, 기하학적 접평면은 그것을 $p$만큼 평행이동한 아핀 평면이다.
법선 $\mathbf{N}$의 부호가 절대적이라고 생각 — $\mathbf{N}=\sigma_u\times\sigma_v/\lVert\cdot\rVert$의 부호는 좌표 순서 $(u,v)$의 선택에 의존한다. 다른 조각으로 바꾸면 $\mathbf{N}$이 반대 방향이 될 수 있다(방향보존 전이사상에서만 일치).

큰 그림 / 연결

곡면조각의 접평면 $T_pS$는 제1기본형식이 내적을 제한하는 무대이자, tangent vectors and vector fields가 O'Neill의 틀에서 일반화하는 출발점이다. 곡면조각마다 정의되는 단위법선 $\mathbf{N}$의 변화율은 제2기본형식과 형상연산자가 다루는 외재적 곡률 이론 전체의 출발점이며, 방향성은 그 변화율(가우스 사상)이 전역적으로 정의되기 위한 전제다. O'Neill은 같은 대상을 곡면조각이 아니라 정규직교 이동 틀(moving frame)로 접근하는데(frame fields and structural equations), 두 접근 모두 결국 같은 곡률 불변량(가우스곡률과 평균곡률, 빼어난 정리)으로 수렴한다.

연습문제

원기둥 $x^2+y^2=1$을 한 조각으로 덮을 수 없는 이유를 위상적으로(원과 구간의 위상동형 여부) 설명하라.
$\sigma(u,v)=(u,v,u^2-v^2)$(쌍곡포물면)이 정칙임을 확인하고 원점에서의 접평면을 구하라.
구면 좌표 $\sigma(\theta,\varphi)$가 극(theta=\pm\pi/2)에서 정칙이 깨지는지 확인하라.
전이사상이 미분동형사상이라는 명제를 이용해, 한 조각에서 매끄러운 함수가 다른 조각의 좌표로도 매끄럽게 표현됨을 설명하라.
뫼비우스 띠가 방향불가능함을, 한 바퀴 돈 뒤 법선이 뒤집힌다는 사실로 설명하라.
원환면(예제 7)이 어디서나 정칙임을 $\sigma_u\times\sigma_v\neq0$을 직접 계산해 확인하라(또는 그 이유를 기하적으로 논하라).

힌트 / 정답

원기둥은 위상적으로 원 $S^1\times\mathbb{R}$과 같다. 만약 한 조각 $\sigma:U\to S$($U\subseteq\mathbb{R}^2$ 열린집합)로 전체를 덮을 수 있다면 $S$ 전체가 평면의 열린집합과 위상동형이어야 하는데, 원 $S^1$은 콤팩트(compact)이고 평면의 열린집합의 어떤 "원 방향" 단면도 컴팩트이면서 단사로 감기지 않으므로 모순 — 직관적으로 원기둥을 평평하게 펴면 양 끝이 겹치거나 한 줄이 빠진다.
$\sigma_u=(1,0,2u)$, $\sigma_v=(0,1,-2v)$는 항상 처음 두 성분이 일차독립이므로 정칙(그래프 곡면, 예제 4와 같은 논증). 원점에서 $\sigma_u=(1,0,0)$, $\sigma_v=(0,1,0)$이므로 $T_pS=\{z=0\}$ — $xy$평면.
$\sigma_\theta=(-\sin\theta\cos\varphi,-\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$, $\sigma_\varphi=(-\cos\theta\sin\varphi,\cos\theta\cos\varphi,0)$. $\theta=\pi/2$에서 $\sigma_\varphi=(0,0,0)$ — 영벡터이므로 이 매개변수화 자체가 극에서 정칙이 깨진다(이는 곡면 자체의 문제가 아니라 이 특정 좌표계의 좌표특이점 — 다른 조각으로 극 근방을 덮으면 해결됨).
$\Phi=\sigma^{-1}\circ\tilde\sigma$가 매끄러우므로, $\tilde\sigma$ 좌표로 표현된 함수 $f\circ\tilde\sigma=f\circ\sigma\circ\Phi$는 매끄러운 함수($f\circ\sigma$)와 매끄러운 좌표변환($\Phi$)의 합성이라 매끄럽다 — 좌표 선택에 무관하게 "매끄러움"이 잘 정의된다.
$u$를 $0$에서 $2\pi$까지 변화시키며 $\sigma_u\times\sigma_v$의 방향을 추적하면, $u=2\pi$에 도달했을 때 $u=0$에서의 법선과 반대 방향이 된다(매개변수화의 $\sin(u/2)$, $\cos(u/2)$ 항이 반주기마다 부호를 바꾸기 때문). 연속적인 전역 법선 선택이 불가능 → 비방향가능.
$\sigma_u=(-b\sin u\cos v,-b\sin u\sin v,b\cos u)$, $\sigma_v=(-(a+b\cos u)\sin v,(a+b\cos u)\cos v,0)$. 외적의 크기는 $b(a+b\cos u)$이고, $a>b>0$이므로 $a+b\cos u>0$이 항상 성립(코사인이 $-1$이어도 $a-b>0$) — 따라서 외적이 결코 $0$이 되지 않아 어디서나 정칙.