I. 곡선의 국소이론 · 3/16

곡률과 비틀림

프레네–세레 틀과 방정식, 곡선의 기본정리

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

곡선이 "직선과 얼마나 다른가"를 어떻게 숫자로 잴까? 호장과 재매개화에서 단위속력 매개변수화를 확보했으니, 이제 가속도 $\ddot\gamma$가 순수하게 방향 변화만을 측정한다는 사실을 활용할 차례다. 공간곡선의 모양은 사실 정확히 두 숫자로 결정된다 — 평면에서 얼마나 휘는지를 재는 곡률(curvature) $\kappa$와, 그 평면 자체가 얼마나 비틀리는지를 재는 열률(torsion) $\tau$다. 이 두 함수가 (등거리변환을 제외하면) 곡선을 완전히 결정한다는 것이 이 페이지의 정점인 "공간곡선의 기본정리"다.

직관

자동차를 운전한다고 생각하자. 곡률은 핸들을 얼마나 꺾는가(좌우 회전의 급격함)이고, 열률은 차가 도로면에서 얼마나 떠오르거나 가라앉는가(평면을 벗어나는 정도, 마치 나선형 램프를 올라가듯)이다. 평평한 도로(평면곡선)에서는 열률이 항상 $0$이다 — 좌우로만 꺾일 뿐 위아래로 비틀리지 않기 때문이다. 나선(helix)을 떠올리면 직관이 분명해진다: 일정한 반지름으로 돌면서 동시에 일정한 속도로 올라가는 운동은 곡률과 열률이 모두 상수인 전형적인 예다.

또 다른 직관: 곡률이 클수록 "그 점에서 곡선에 가장 잘 맞는 원"(접촉원, osculating circle)의 반지름이 작아진다 — 곡률 $\kappa$인 점의 접촉원 반지름은 $1/\kappa$다. 작은 원은 급하게 휘고, 큰 원은 완만하게 휜다 — 곡률이 "휘는 급함의 역수"인 이유다.

정의

공간곡선($\mathbb{R}^3$)에서 두 스칼라 함수가 국소적 모양을 결정한다: 곡률은 곡선이 직선에서 벗어나는 정도를, 열률은 곡선이 평면에서 벗어나는 정도를 측정한다.¹

곡률. 단위속력 곡선 $\gamma$에 대해 $$\kappa(t)=\lVert\ddot\gamma(t)\rVert.$$² 일반(임의 속력) 정칙 곡선에 대해서는 매개변수에 무관한 공식 $$\kappa=\frac{\lVert\dot\gamma\times\ddot\gamma\rVert}{\lVert\dot\gamma\rVert^3}$$⁴ 이 같은 값을 준다. 반지름 $R$인 원은 어디서나 곡률 $1/R$을 가지며(작을수록 급하게 휜다), 직선은 $\kappa=0$이다.³

평면곡선의 부호 곡률. 평면곡선에서는 단위접벡터 $\mathbf t$를 $+\pi/2$ 회전시킨 부호 법선 $\mathbf n_s$를 써서 $\dot{\mathbf t}=\kappa_s\mathbf n_s$로 부호 곡률(signed curvature) $\kappa_s$를 정의한다($\kappa=|\kappa_s|$).⁵ 부호 곡률은 접선 벡터의 회전 각속도다: $\kappa_s=d\varphi/ds$, $\varphi$는 회전각.⁶

대상	곡률의 종류
평면곡선	부호 곡률 $\kappa_s\in\mathbb{R}$ (방향까지 포함)
공간곡선	곡률 $\kappa\ge0$ (부호 없음, $\mathbf n$의 정의 자체에 흡수)

프레네 틀(Frenet–Serret frame). $\kappa>0$인 공간곡선에서 주법선 $\mathbf n=\dot{\mathbf t}/\kappa$, 종법선(binormal) $\mathbf b=\mathbf t\times\mathbf n$을 정의하면 $\{\mathbf t,\mathbf n,\mathbf b\}$는 곡선을 따라 움직이는 우수 정규직교 틀을 이룬다.⁸ 열률 $\tau$는 $$\dot{\mathbf b}=-\tau\mathbf n$$ 로 정의된다.⁹

프레네-세레 방정식. $$\dot{\mathbf t}=\kappa\mathbf n,\qquad \dot{\mathbf n}=-\kappa\mathbf t+\tau\mathbf b,\qquad \dot{\mathbf b}=-\tau\mathbf n,$$ 계수 행렬은 반대칭(skew-symmetric)이다.¹¹

주요 정리

정리 (곡선이 평면에 있을 필요충분조건). $\kappa>0$인 공간곡선의 이미지가 한 평면에 포함될 필요충분조건은 $\tau\equiv0$이다.¹⁰

증명 보기

증명 스케치. ($\Rightarrow$) 곡선이 평면 $\{\mathbf x\cdot\mathbf N=d\}$에 있으면 $\dot\gamma\cdot\mathbf N=0$이고 $\ddot\gamma\cdot\mathbf N=0$이므로 $\mathbf b=\pm\mathbf N$(상수 벡터), 따라서 $\dot{\mathbf b}=0=-\tau\mathbf n\Rightarrow\tau=0$. ($\Leftarrow$) $\tau\equiv0$이면 $\dot{\mathbf b}=0$이므로 $\mathbf b$가 상수 벡터 $\mathbf N$이다. $\frac{d}{ds}(\gamma\cdot\mathbf N)=\dot\gamma\cdot\mathbf N=\mathbf t\cdot\mathbf b=0$(직교)이므로 $\gamma\cdot\mathbf N$이 상수 — 즉 $\gamma$는 법선이 $\mathbf N$인 평면 위에 있다. ∎ 이 증명이 보여주듯, $\tau$는 정확히 종법선 $\mathbf b$가 회전하는 속도이고, $\mathbf b$가 고정되어 있다는 것이 평면성과 동치다.

정리 (공간곡선의 기본정리, Fundamental Theorem of Space Curves). 같은 곡률 $\kappa>0$과 열률 $\tau$를 갖는 두 단위속력 공간곡선은 $\mathbb{R}^3$의 정방향(direct) 등거리변환(회전+평행이동)으로 정확히 옮겨진다. 또한 임의의 매끄러운 함수 $\kappa>0,\tau$에 대해 그것을 곡률·열률로 갖는 곡선이 (등거리변환을 제외하면 유일하게) 존재한다.¹²

증명 보기

증명 스케치(존재성). 프레네-세레 방정식은 $(\mathbf t,\mathbf n,\mathbf b)$에 대한 1차 선형 상미분방정식계이므로, 초기조건을 주면 (피카르-린델뢰프 정리에 의해) 해가 유일하게 존재한다. $\gamma(s)=\int\mathbf t(s)\,ds$로 곡선을 복원한다. (유일성) 두 곡선이 같은 $\kappa,\tau$를 가지면, 한 점에서 두 프레네 틀을 일치시키는 등거리변환을 적용한 뒤, 프레네-세레 방정식의 해의 유일성에 의해 두 틀이 모든 $s$에서 일치함을 보이고, 이를 적분해 곡선 자체가 일치함을 얻는다. ∎

이 정리가 $\kappa,\tau$를 "완전한" 불변량으로 만드는 이유다 — 평면곡선이 부호 곡률 하나만으로 등거리변환까지 결정되는 것(곡선의 대역적 성질 참고)과 정확히 같은 구조이지만, 공간에서는 비틀림(열률)이라는 두 번째 자유도가 필요하다.

예제

예제 1 (원의 곡률). $\gamma(t)=(R\cos t,R\sin t,0)$. $\dot\gamma=(-R\sin t,R\cos t,0)$, $\ddot\gamma=(-R\cos t,-R\sin t,0)$. $\dot\gamma\times\ddot\gamma=(0,0,R^2)$, $\lVert\dot\gamma\rVert^3=R^3$이므로 $\kappa=R^2/R^3=1/R$ — 반지름의 역수, 직관과 일치.

예제 2 (나선의 곡률과 열률). $\gamma(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$, $a>0$. $\dot\gamma=(-a\sin t,a\cos t,b)$, $\ddot\gamma=(-a\cos t,-a\sin t,0)$. 계산하면 $\kappa=\dfrac{a}{a^2+b^2}$, $\tau=\dfrac{b}{a^2+b^2}$ — 둘 다 상수. 나선이 "곡률·열률 모두 상수"인 곡선의 대표 예이며, 사실 그 역도 성립한다(곡률·열률이 둘 다 0이 아닌 상수이면 그 곡선은 나선이다).

예제 3 (직선의 곡률). $\gamma(t)=p+t\mathbf v$. $\ddot\gamma=0$이므로 $\kappa=0$ 어디서나 — 직선은 곡률 $0$인 유일한 곡선(접벡터가 상수라는 매개화된 곡선의 명제와 정합).

예제 4 (평면곡선의 부호 곡률, 포물선). $\gamma(t)=(t,t^2)$. $\dot\gamma=(1,2t)$, $\ddot\gamma=(0,2)$. 평면 곡률 공식 $\kappa_s=\dfrac{\dot x\ddot y-\dot y\ddot x}{(\dot x^2+\dot y^2)^{3/2}}=\dfrac{1\cdot2-2t\cdot0}{(1+4t^2)^{3/2}}=\dfrac{2}{(1+4t^2)^{3/2}}$ — $t=0$(꼭짓점)에서 최대 $\kappa_s=2$, $|t|\to\infty$에서 $\kappa_s\to0$(점점 평평해짐).

예제 5 (평면곡선의 열률 확인). 임의의 평면곡선 $\gamma(t)=(x(t),y(t),0)$에서 $\mathbf b$는 $\pm(0,0,1)$로 상수이므로 $\dot{\mathbf b}=0\Rightarrow\tau=0$ — "곡선이 평면에 있으면 $\tau=0$"이라는 정리를 직접 확인.

예제 6 (접촉원, osculating circle). 예제 4의 포물선 $t=0$에서 $\kappa_s=2$이므로 접촉원의 반지름은 $1/2$, 중심은 법선 방향(여기서는 $(0,1)$ 방향)으로 $1/2$만큼 이동한 $(0,1/2)$ — 그 점에서 포물선과 2차까지 일치하는 원.

예제 7 (기본정리 적용, 등거리류 판정). $\gamma_1(s)$가 $\kappa=2,\tau=0$인 단위속력 곡선이면(평면곡선, $\tau=0$이므로), 이는 반지름 $1/2$인 원과 정방향 등거리변환으로 일치한다 — 기본정리에 의해 $\kappa,\tau$가 같으면 모양이 같다.

흔한 오해와 함정

"곡률이 $0$이면 직선, 열률이 $0$이면 평면"이라는 이해는 맞지만 방향이 중요 — 정확히는 $\kappa\equiv0$ ⟹ 직선(전부, 매개화된 곡선 명제), $\tau\equiv0$ ⟹ 평면 (단 $\kappa>0$ 가정 하에 정의된 $\tau$). $\kappa=0$인 점에서는 $\mathbf n$ 자체가 정의되지 않으므로 $\tau$도 정의되지 않는다.
공간곡선의 곡률에 부호가 있다고 착각 — 공간에서는 $\kappa\ge0$(부호 없음)이 표준. 부호는 평면곡선에서만 $\mathbf n_s$를 통해 정의된다. 둘을 혼동하면 공식이 안 맞는다.
곡률·열률이 매개변수화에 의존한다고 생각 — 둘 다 기하학적 불변량으로, 방향을 보존하는 재매개변수화에 대해 불변이다(반대 방향이면 $\tau$는 불변, $\kappa_s$는 부호가 바뀔 수 있음에 주의).
기본정리를 "곡선이 $\kappa,\tau$만으로 그려진다"로 오인 — 정확히는 등거리변환(회전+평행이동) 차이까지만 결정한다. 위치와 방향은 초기조건(적분 상수)으로 따로 정해야 한다.
나선이 유일하게 "상수 곡률·열률"을 갖는다고 오해하면서 원을 빠뜨림 — 원은 $\kappa$가 상수, $\tau=0$(상수)인 특수한 경우다. "둘 다 0이 아닌 상수"일 때만 진짜 나선이 된다.

큰 그림 / 연결

곡률·열률은 호장과 재매개화이 제공한 단위속력 매개변수 위에서만 깔끔하게 정의되고, 일반 매개변수로는 비율식(예제 1, 2의 외적 공식)으로 확장된다. 평면곡선에서는 부호 곡률의 적분이 곡선의 대역적 성질의 전체 회전각(Umlaufsatz)·정점 정리로 이어진다. 프레네 틀의 운동방정식(반대칭 계수 행렬)은 O'Neill의 frame fields and structural equations에서 임의의 정규직교 이동 틀에 대해 일반화되며, 같은 반대칭 구조가 곡면의 연결형식(connection form)에서 다시 등장한다. 곡면 위에서는 곡선의 가속도가 법선·접선 성분으로 분해되어 법곡률(normal curvature)과 측지곡률(geodesic curvature)을 낳는데, 이는 제2기본형식과 형상연산자가 다루는 곡면의 휘어짐 이론의 직접적 연장이다.

연습문제

$\gamma(t)=(t,\,\cosh t)$(현수선)의 부호 곡률 $\kappa_s(t)$를 구하라.
반지름 $a$, 피치 $b$인 나선의 곡률·열률이 예제 2의 공식을 만족함을 직접 계산으로 확인하라.
$\kappa,\tau$가 모두 $0$인 곡선이 직선임을 보여라.
부호 곡률이 상수 $\kappa_s=c\neq0$인 평면곡선이 반지름 $1/|c|$인 원임을 (직관적으로) 설명하라.
$\gamma(t)=(t^3,t^2,0)$이 평면곡선임에도 $t=0$에서 $\dot\gamma=0$일 때 곡률 정의가 어떻게 되는지 논하라.
공간곡선의 기본정리를 이용해, $\kappa=1,\tau=0$인 단위속력 곡선이 (등거리변환을 제외하면) 유일하게 반지름 $1$의 원임을 설명하라.
프레네-세레 방정식의 계수 행렬이 반대칭임을 직접 써서 확인하라.

힌트 / 정답

$\dot\gamma=(1,\sinh t)$, $\ddot\gamma=(0,\cosh t)$. $\kappa_s=\dfrac{\dot x\ddot y-\dot y\ddot x}{(\dot x^2+\dot y^2)^{3/2}}=\dfrac{\cosh t}{(1+\sinh^2t)^{3/2}}=\dfrac{\cosh t}{\cosh^3 t}=\dfrac{1}{\cosh^2 t}$ — $t=0$에서 최대 $1$, $|t|\to\infty$에서 $0$으로 감소(점점 평평해짐).
$\dot\gamma=(-a\sin t,a\cos t,b)$, $\ddot\gamma=(-a\cos t,-a\sin t,0)$, $\dddot\gamma=(a\sin t,-a\cos t,0)$. $\dot\gamma\times\ddot\gamma=(ab\sin t,-ab\cos t,a^2)$, $\lVert\dot\gamma\times\ddot\gamma\rVert=a\sqrt{a^2+b^2}$, $\lVert\dot\gamma\rVert=\sqrt{a^2+b^2}$이므로 $\kappa=\dfrac{a\sqrt{a^2+b^2}}{(a^2+b^2)^{3/2}}=\dfrac{a}{a^2+b^2}$. 열률은 $\tau=\dfrac{(\dot\gamma\times\ddot\gamma)\cdot\dddot\gamma}{\lVert\dot\gamma\times\ddot\gamma\rVert^2}=\dfrac{a^2b}{a^2(a^2+b^2)}=\dfrac{b}{a^2+b^2}$.
$\kappa\equiv0$이면 매개화된 곡선의 명제(접벡터 상수 ⟹ 직선)를 단위속력에 적용: $\ddot\gamma=0\Rightarrow\dot\gamma$ 상수 ⟹ 직선. ($\tau$는 $\kappa=0$이면 정의조차 안 되므로 $\tau=0$ 가정은 군더더기.)
$\kappa_s=d\varphi/ds$가 상수 $c$이면 접선각 $\varphi(s)=cs+\varphi_0$ — 일정한 각속도로 회전. 이는 정확히 등속 원운동의 특징이며, 적분하면 반지름 $1/|c|$인 원이 나온다(곡률 공식 $\kappa=1/R$의 역).
$\dot\gamma(t)=(3t^2,2t,0)$, $t=0$에서 $\dot\gamma=0$ — 특이점이므로 단위속력 곡률 정의도 일반 공식도 $t=0$에서 분모가 $0$이 되어 정의되지 않는다(실제로 첨점). 곡률은 정칙점에서만 정의되는 국소 개념임을 보여주는 사례.
원(반지름 $1$, $z=0$ 평면)을 단위속력으로 매개변수화하면 $\kappa=1$, 평면곡선이므로 $\tau=0$ — 같은 $(\kappa,\tau)=(1,0)$을 갖는 곡선은 기본정리에 의해 등거리변환까지 유일하므로, 임의의 그런 곡선은 어떤 등거리변환을 거친 단위원이다.
행렬 $\begin{pmatrix}0&\kappa&0\\-\kappa&0&\tau\\0&-\tau&0\end{pmatrix}$ (틀 $(\mathbf t,\mathbf n,\mathbf b)$ 기준)을 보면 $(i,j)$ 성분과 $(j,i)$ 성분이 부호만 반대 — 반대칭 확인.