II. 환과 체 · 5/16

환 준동형

준동형·동형, 핵, 구조 보존

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

$\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_n$, $\mathbb{Z}[x]\to\mathbb{Z}$ (평가 사상), $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ (켤레) — 이들은 모두 "환의 구조를 보존하는 사상"이라는 공통점이 있다. 두 환을 비교할 때 "원소를 일일이 대응시켜 보기"는 비효율적이다. 대신 연산을 보존하는 사상(준동형)을 정의하면, 한 환에서 증명한 사실을 다른 환으로 그대로 옮길 수 있다. 더 나아가 준동형이 전단사이면(동형) 두 환은 "이름표만 다른 같은 구조"이고, 동형이 아님을 보이는 일은 종종 두 환이 "본질적으로 다르다"는 가장 강력한 증명 방법이다. 이 페이지의 핵심 결과는 핵(kernel)이 정확히 아이디얼이라는 사실 — 이는 아이디얼와 몫환을 잇는 다리이며, 군론에서 정규부분군이 동형사상의 핵이라는 사실과 정확히 평행한다.

직관

준동형을 "환의 언어를 보존하는 번역"으로 생각하면 좋다. $f(a+b)=f(a)+f(b)$ 는 "덧셈 문장을 번역해도 뜻이 안 변한다", $f(ab)=f(a)f(b)$ 는 "곱셈 문장도 마찬가지"라는 뜻이다. 핵 $\ker f=\{a: f(a)=0\}$ 은 "번역하면 사라지는 정보"인데, 이것이 왜 아이디얼이 되는지는 직관적이다: $a$ 가 사라지면($f(a)=0$) 임의의 $r$ 을 곱한 $ra$ 도 사라진다($f(ra)=f(r)f(a)=f(r)\cdot0=0$) — "0으로 번역되는 것에 무엇을 곱해도 여전히 0으로 번역된다." 이 흡수 성질이 바로 아이디얼의 정의다. 동형사상은 "완벽한 번역"이라 정보 손실이 없으므로 $\ker f=\{0\}$ 뿐이다.

정의

환 $R,S$ 사이 사상 $f:R\to S$ 가 준동형(homomorphism):¹ $$f(a+b)=f(a)+f(b),\qquad f(ab)=f(a)f(b)\qquad(\forall a,b\in R).$$

용어	정의
단사 준동형(monomorphism)	$f$ 가 단사인 준동형
전사 준동형(epimorphism)	$f$ 가 전사인 준동형
동형(isomorphism)	전단사 준동형; 이때 $R\cong S$
자기동형(automorphism)	$R\to R$ 인 동형
핵(kernel)	$\ker f=\{a\in R: f(a)=0_S\}$
상(image)	$\operatorname{im}f=f(R)=\{f(a):a\in R\}$

주의(단위원 보존): $f(1_R)=1_S$ 는 일반적으로 정의에 포함되지 않는다 — Hungerford는 이를 단위적 준동형(unital homomorphism)이라는 추가 조건으로 분리한다. 예: $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$, $f(n)=(n,0)$ 은 준동형이지만 $f(1)=(1,0)\ne(1,1)$.

주요 정리

정리 (기본 보존). 모든 준동형 $f:R\to S$ 에 대해 $f(0_R)=0_S$, $f(-a)=-f(a)$.²

증명 보기

증명. $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$; $S$ 의 덧셈군에서 $f(0)$ 을 양변에서 소거하면 $f(0)=0_S$. 다음 $0=f(0)=f(a+(-a))=f(a)+f(-a)$ 이므로 $f(-a)=-f(a)$. ∎

정리 (단사 판정). $f$ 가 단사 $\iff \ker f=\{0\}$.

증명 보기

증명. ($\Rightarrow$) $a\in\ker f$ 이면 $f(a)=0=f(0)$, 단사이므로 $a=0$. ($\Leftarrow$) $f(a)=f(b)$ 이면 $f(a-b)=f(a)-f(b)=0$, 즉 $a-b\in\ker f=\{0\}$ → $a=b$. ∎ (군론의 평행 결과와 동일한 논증 — 핵이 자명하면 "사상이 정보를 버리지 않는다".)

정리 (핵은 아이디얼, 상은 부분환). $\ker f$ 는 $R$ 의 아이디얼; $\operatorname{im}f$ 는 $S$ 의 부분환.³

증명 보기

증명. $a,b\in\ker f$: $f(a-b)=f(a)-f(b)=0-0=0$ → $\ker f$ 는 덧셈 부분군. $r\in R$, $a\in\ker f$: $f(ra)=f(r)f(a)=f(r)\cdot0=0$, $f(ar)=f(a)f(r)=0\cdot f(r)=0$ → $ra,ar\in\ker f$ — 흡수 성질, 아이디얼. 상이 부분환임은 $f(a)\pm f(b)=f(a\mp b)\in\operatorname{im}f$, $f(a)f(b)=f(ab)\in\operatorname{im}f$ 로 직접 확인. ∎ 이 정리의 역(모든 아이디얼은 어떤 준동형의 핵)은 자연사상 $R\to R/I$ 로 몫환과 동형정리에서 증명된다.

정리 (동형 불변량). $R\cong S$ 이면 다음은 모두 동시에 성립하거나 모두 실패한다: 가환성, 항등원의 존재, 영인자의 존재(따라서 정역 여부), 체 여부, 단원의 개수, 원소의 (덧셈) 위수 분포.⁴

증명 보기

증명 스케치. 동형 $f$ 와 그 역 $f^{-1}$ 이 둘 다 준동형이므로, $R$ 에서 참인 "연산만으로 서술되는 문장"은 $f$ 를 통해 $S$ 에서도 참이 되고 그 역도 성립 — 위 성질들은 모두 그런 문장으로 표현된다. ∎ 이 정리의 활용법이 더 중요하다: 두 환이 동형이 아님을 보이려면, 위 불변량 중 하나가 다르다는 것만 보이면 충분하다(직접 모든 사상을 검토할 필요 없음).

예제

예제 1 (자연 사상, 환 버전 mod n). $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_n$, $f(a)=[a]$ 는 전사 준동형, $\ker f=n\mathbb{Z}$. 이것이 $\mathbb{Z}/(n)\cong\mathbb{Z}_n$의 출발점이다.

예제 2 (동형 아님 — 덧셈 구조로). $\mathbb{Z}_4\not\cong\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$: 전자는 (덧셈에 대해) 위수 4인 원소($[1]$, $1+1+1+1=0$이 처음)가 있지만, 후자는 모든 0 아닌 원소가 덧셈위수 2($(1,0)+(1,0)=(0,0)$). 위수 분포가 다르므로 동형 불가능.

예제 3 (켤레, 자기동형). $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, $z\mapsto\bar z$ 는 환 자기동형: $\overline{z+w}=\bar z+\bar w$, $\overline{zw}=\bar z\,\bar w$ 가 복소수 연산의 정의로부터 직접 확인된다. 전단사이고($\overline{\bar z}=z$), 항등원도 보존($\bar1=1$).

예제 4 (단원 개수로 비동형 판정). $\mathbb{Z}_8$ 의 단원은 $\{1,3,5,7\}$(4개, $\varphi(8)=4$), $\mathbb{Z}_4\times\mathbb{Z}_2$ 의 단원은 $\{(1,1),(3,1)\}$(2개) → 단원 개수가 다르므로 동형 아님.

예제 5 (체로서 동형이 아닌 경우). $\mathbb{R}\not\cong\mathbb{C}$ (체로서). $\mathbb{C}$ 에는 $x^2=-1$ 의 근이 존재하지만 $\mathbb{R}$ 에는 없다. 동형이면 "$-1$ 이 제곱근을 가진다"는 문장이 양쪽에서 동시에 참/거짓이어야 하는데 모순.

예제 6 (행렬환으로 가는 준동형, 비단사). $f:\mathbb{R}\to M_2(\mathbb{R})$, $f(a)=\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}$ 는 단사 준동형(스칼라행렬로 매장). 반면 $g:M_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$, $g(A)=\operatorname{tr}(A)$(대각합)는 준동형이 아니다 — $\operatorname{tr}(AB)\ne\operatorname{tr}(A)\operatorname{tr}(B)$ 가 일반적으로 성립(곱셈을 보존 안 함), 좋은 반례 연습이다.

예제 7 (평가 준동형, evaluation map). $a\in F$ 고정, $\operatorname{ev}_a:F[x]\to F$, $\operatorname{ev}_a(f)=f(a)$ 는 준동형(다항식의 덧셈·곱셈이 점별 연산과 호환되므로). $\ker(\operatorname{ev}_a)=(x-a)$ — 인수정리의 환론적 재서술이다.

흔한 오해와 함정

"준동형은 항상 단위원을 단위원으로 보낸다" — 거짓. 예제처럼 $f(n)=(n,0)$ 류의 반례가 흔하다. 단, $f$ 가 전사이거나 $S$ 가 정역이고 $f$ 가 0사상이 아니면 $f(1_R)=1_S$ 가 강제된다(연습문제).
"전사 준동형이면 동형"이라고 혼동 — 동형은 전단사가 필요. $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_n$ 는 전사지만 단사가 아니다(핵이 $n\mathbb{Z}\ne\{0\}$).
핵이 부분환이라고만 생각하고 아이디얼임을 놓침 — 핵은 단순한 부분환을 넘어 흡수 성질까지 갖는다는 점이 몫환 구성의 핵심이다.
동형 불변량을 "필요조건"으로만 쓰지 않고 "충분조건"으로 오용 — 가환성·항등원·단원 개수가 전부 같다고 해서 동형이 보장되는 것은 아니다(불변량 일치는 동형의 필요조건일 뿐).
준동형의 합성·역이 항상 준동형임을 당연시하되 확인 안 함 — 동형의 역사상이 준동형임은 증명이 필요한 사실(전단사 사상의 역의 well-definedness와 연산 보존을 같이 확인).

큰 그림 / 연결

준동형 이론은 환 전체를 분류하는 도구다: 핵이 아이디얼이라는 사실이 아이디얼을 "준동형의 핵으로 나타나는 부분집합"으로 재해석하게 해 주고, 이것이 정확히 제1동형정리 $R/\ker f\cong\operatorname{im}f$ 로 완성된다. 더 나아가 핵이 소 아이디얼인지 극대 아이디얼인지는 상 $\operatorname{im}f$ 가 정역인지 체인지를 결정한다. 다항식환에서는 평가 준동형이 기약다항식·근 이론과 직결되고, $\mathbb{C}\cong\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$ 처럼 준동형은 새로운 수 체계를 "이미 아는 환의 몫"으로 구성하는 표준 기법의 출발점이다. 군론에서는 군 준동형이 완전히 평행한 이야기를 들려준다 — 핵이 정규부분군이고, 군의 제1동형정리 $G/\ker f\cong\operatorname{im}f$ 가 환의 경우와 글자 그대로 같은 형태를 가진다.

연습문제

$f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$, $f(n)=2n$ 은 환 준동형인가?
$\mathbb{Z}_6\cong\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_3$ 임을 보여라(CRT 사상이 동형임을 확인).
$f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, $f(z)=\bar z$ 가 동형임을 (전단사·연산보존) 확인하라.
$\mathbb{R}\not\cong\mathbb{C}$ 를 보여라(체로서). (힌트: $x^2=-1$.)
$\ker f$ 가 아이디얼임을 증명하라(핵심 단계 두 가지를 적어라).
$f:R\to S$ 가 전사 준동형이고 $R$ 에 단위원 $1_R$ 이 있으면 $f(1_R)$ 이 $S$ 의 단위원임을 보여라.
$\operatorname{im}f$ 가 $S$ 의 부분환임을 증명하라.
$f:\mathbb{Z}_8\to\mathbb{Z}_8$, $f(x)=3x$ 가 환 자기동형인지 판정하라(준동형인지부터 확인).

정답·힌트

아니다. $f(mn)=2mn$ 이지만 $f(m)f(n)=4mn$ → 곱 보존 안 됨(또한 $f(1)=2\ne1$, 단위적이지도 않음).
$\gcd(2,3)=1$ → CRT 사상 $[a]_6\mapsto([a]_2,[a]_3)$ 은 잘 정의되고(나머지가 법에만 의존), 양변 6원소씩이고 단사(핵이 $\{[0]\}$: $[a]_2=[0],[a]_3=[0]\Rightarrow6\mid a$)이므로 전단사 → 동형.
$\overline{z+w}=\bar z+\bar w$, $\overline{zw}=\bar z\bar w$ (켤레의 기본 성질), $\overline{\bar z}=z$ 로 자기 자신이 역사상 → 전단사 → 동형.
$\mathbb{C}$ 엔 $i^2=-1$ 인 원소 존재, $\mathbb{R}$ 엔 없음; 동형이면 이 성질("$-1$ 이 제곱근을 가진다")이 보존되어야 하는데 모순.
(1) $a,b\in\ker f\Rightarrow f(a-b)=f(a)-f(b)=0$ — 덧셈 부분군. (2) $r\in R,a\in\ker f\Rightarrow f(ra)=f(r)f(a)=f(r)\cdot0=0$, 대칭적으로 $f(ar)=0$ — 흡수 성질.
임의 $s\in S$ 는 $s=f(r)$ ($r\in R$) 꼴; $f(1_R)s=f(1_R)f(r)=f(1_R\cdot r)=f(r)=s$, 같은 식으로 $sf(1_R)=s$ → $f(1_R)$ 이 $S$ 의 단위원.
$f(a)+f(b)=f(a+b)\in\operatorname{im}f$, $f(a)-f(b)=f(a-b)\in\operatorname{im}f$(덧셈 부분군), $f(a)f(b)=f(ab)\in\operatorname{im}f$(곱셈 닫힘) → 부분환.
$f(x+y)=3(x+y)=3x+3y=f(x)+f(y)$, $f(xy)=3xy$ 인데 $f(x)f(y)=9xy=xy$ (∵$9\equiv1\pmod8$) — $3xy\ne xy$ 일반적으로(예: $x=y=1$: $3\ne1$) → 곱 보존 실패, 준동형 아님.

개요 — 동기·문제의식

직관

정의

주요 정리

예제

흔한 오해와 함정

큰 그림 / 연결

연습문제

관련 개념