가우스곡률과 평균곡률

개요 — 동기·문제의식

제2기본형식과 형상연산자는 곡면이 각 방향으로 얼마나 휘는지를 하나의 선형연산자 $\mathcal{W}$(또는 $S$)에 통째로 담았다. 그러나 연산자 하나를 손에 들고 있는 것과, 그 연산자가 "이 점은 볼록한가, 안장인가, 평평한가"를 한눈에 말해주는 것은 다르다. 선형대수가 답을 준다 — 임의의 $2\times2$ 연산자를 특징짓는 가장 표준적인 두 수는 행렬식과 대각합이다. 이를 곡면에 적용하면 가우스 곡률 $K=\det\mathcal{W}$과 평균곡률 $H=\tfrac12\operatorname{trace}\mathcal{W}$가 나온다. 이 페이지의 핵심 긴장은 두 곡률의 성격이 근본적으로 다르다는 것이다 — $H$는 곡면이 $\mathbb{R}^3$ 안에서 어떻게 놓였는지(법선의 선택)에 민감한 외재적인 양이지만, $K$는 (뒤에 빼어난 정리에서 밝혀지듯) 놀랍게도 곡면 자체의 내재적 성질이다.

직관 (기하)

곡면 위 한 점에서 접평면을 갖다 대고, 그 점을 지나는 모든 방향의 법곡률(그 방향으로 얼마나 접평면에서 벗어나는지, 제2기본형식 참고)을 잰다고 하자. $K$는 그 방향들의 곱셈적 요약이고, $H$는 덧셈적(평균) 요약이다.

• $K>0$: 모든 방향이 같은 부호로 휜다 — 그릇처럼 접평면의 한쪽에만 머문다(구, 타원면의 볼록한 점).
• $K<0$: 어떤 방향은 위로, 다른 방향은 아래로 휜다 — 곡면이 접평면을 가로지른다(말안장, 쌍곡포물면).
• $K=0$: 적어도 한 방향으로는 전혀 휘지 않는다(평면, 원기둥, 원뿔의 모선 방향).

$H$는 조금 다른 질문에 답한다: "이 점에서 곡면을 법선 방향으로 살짝 밀어 넓이를 바꾸려면 얼마나 힘이 드는가?" $H=0$인 점은 비눗막처럼 넓이 변화에 대해 정지해 있는 점이다(극소곡면). 가우스 자신의 그림도 있다: 각 점의 법선을 단위구 위의 한 점으로 옮기는 가우스 사상 아래, $K$는 그 사상이 넓이를 얼마나 늘리거나 줄이는지(부호 있는 넓이 왜곡률)를 잰다 — 마치 자코비안이 부피 변화를 재듯이.

정의

방향지어진(orientable, 단위법선 $\mathbf{N}$ 선택) 곡면의 각 점에서 바인가르텐 사상(형상연산자) $\mathcal{W}$의 두 표준 불변량: $$K=\det(\mathcal{W})\quad(\text{가우스 곡률}),\qquad H=\tfrac12\operatorname{trace}(\mathcal{W})\quad(\text{평균곡률}).$$¹

곡면조각 좌표로는 $$K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2},\qquad H=\frac{LG-2MF+NE}{2(EG-F^2)}.$$²

부호 규약과 방향

법선을 $\mathbf{N}\to-\mathbf{N}$으로 뒤집으면 $\mathcal{W}\to-\mathcal{W}$가 되므로 $\operatorname{trace}$의 부호는 바뀌지만, $2\times2$ 행렬식은 $\det(-\mathcal{W})=(-1)^2\det\mathcal{W}=\det\mathcal{W}$로 그대로다.³ 따라서 $K$는 방향지을 수 없는 곡면(뫼비우스 띠 등)에서도 잘 정의되지만, $H$는 부호까지 고정하려면 방향 선택이 필요하다 — $|H|$만은 방향과 무관하게 정의된다.

$K$의 기하적 의미

$K$의 부호가 국소 모양을 결정한다: $K>0$이면 그릇 모양(구처럼 접평면의 한쪽에만), $K<0$이면 안장 모양(접평면을 가로지름), $K=0$이면 적어도 한 방향으로 평평함(평면, 원기둥, 원뿔). 반지름 $1$인 구는 $K=1$, 평면과 원기둥은 $K=0$, 선직면(ruled surface)은 항상 $K\le0$이다.⁴ 가우스 자신의 해석은 $K$를 가우스 사상의 국소 넓이 왜곡률로 실현한다: $$|K| = \lim_{R\to p}\frac{\operatorname{Area}(\mathcal{G}(R))}{\operatorname{Area}(R)},$$ 부호는 $\mathbf{N}_u\times\mathbf{N}_v$가 $\mathbf{N}$과 같은 방향인지로 회복된다.⁵

평균곡률과 넓이

평균곡률은 법선 방향 변형 아래 넓이가 어떻게 바뀌는지를 지배한다; $H\equiv0$인 곡면이 (국소적으로 넓이를 최소화하는) 극소곡면이다. 극소곡면 참고.

두 곡률은 주곡률 $\kappa_1,\kappa_2$의 대칭함수다: $H=\tfrac12(\kappa_1+\kappa_2)$, $K=\kappa_1\kappa_2$ — 주곡률 참고.

주요 정리

정리 ($K,H$로부터 $\mathcal{W}$의 고유값 복원). $\mathcal{W}$가 자기수반(self-adjoint)이므로 실 고유값 $\kappa_1,\kappa_2$를 가지며, 이는 이차방정식 $$\kappa^2-2H\kappa+K=0$$ 의 두 근이다. 판별식은 $4H^2-4K=(\kappa_1-\kappa_2)^2\ge0$이므로 항상 $H^2\ge K$이며, 등호는 우산점(umbilic, $\kappa_1=\kappa_2$)에서만 성립한다.

정리 ($K$는 법선 선택에 무관, $H$는 부호만 바뀜). 위 "부호 규약과 방향" 절에서 증명한 대로 $K$는 방향에 무관한 불변량이고, $H$는 방향을 뒤집으면 부호가 바뀐다.

따름정리 (구는 상수 $K$, 상수 $H$의 극단적인 예). 반지름 $r$인 구에서 $\mathcal{W}=-\tfrac1r\mathrm{Id}$(예제 참고)이므로 $\kappa_1=\kappa_2=-1/r$(모든 점이 우산점), $K=1/r^2>0$(상수), $H=-1/r$(상수). $H^2=1/r^2=K$ — 등호가 성립, 정확히 우산점 조건과 일치.

예제

예제 1 (구, 직접 계산). $\sigma(\theta,\varphi)=r(\cos\theta\cos\varphi,\cos\theta\sin\varphi,\sin\theta)$. 제2기본형식 예제에서 $E=r^2,F=0,G=r^2\cos^2\theta$, $L=-r,M=0,N=-r\cos^2\theta$였다. $K=\dfrac{LN-M^2}{EG-F^2}=\dfrac{r^2\cos^2\theta}{r^4\cos^2\theta}=\dfrac1{r^2}$, $H=\dfrac{LG+NE}{2(EG-F^2)}=\dfrac{-r\cdot r^2\cos^2\theta-r\cos^2\theta\cdot r^2}{2r^4\cos^2\theta}=-\dfrac1r$ — 점에 무관한 상수, 구는 등곡률면의 전형.

예제 2 (평면). $\sigma(u,v)=(u,v,0)$. $L=M=N=0$이므로 $K=0,H=0$ — 곡률이 전혀 없는 기준점.

예제 3 (원기둥, $K=0$이지만 $H\neq0$). $\sigma(u,v)=(\cos v,\sin v,u)$(반지름 1). $E=1,F=0,G=1$; $L=0,M=0,N=-1$(제2기본형식 페이지 예제 3). $K=\dfrac{0\cdot(-1)-0}{1}=0$이지만 $H=\dfrac{0+(-1)\cdot1}{2}=-\tfrac12\ne0$ — $K=0$이라고 $H=0$은 아니라는 것을 보여주는 결정적인 예. 원기둥은 한 방향($u$)으로는 곧고, 다른 방향($v$)으로는 휘어 있어 평균적으로는 순수하게 $0$이 아니다.

예제 4 (안장, $K<0$). $\sigma(u,v)=(u,v,uv)$, 원점에서 $L=0,M=1,N=0$, $E=G=1,F=0$(원점 근방). $K=\dfrac{0-1}{1}=-1<0$ — 안장의 특징적인 음의 가우스 곡률. $H=\dfrac{0-0+0}{2}=0$ — 원점은 우산점이 아닌 채로(주곡률이 $\pm1$로 다름에도) 평균곡률이 정확히 $0$인 극소곡면 후보점(실제로 이 안장은 극소곡면의 표준 예 중 하나인 쌍곡포물면류와는 다르지만, 국소적으로 최소극면 조건을 만족).

예제 5 (원환면, 부호가 바뀌는 $K$). 원환면(torus) $\sigma(u,v)=((a+b\cos u)\cos v,(a+b\cos u)\sin v,b\sin u)$에서 계산하면 $K=\dfrac{\cos u}{b(a+b\cos u)}$ — 바깥쪽 적도($u=0$, $\cos u=1$)에서 $K>0$(볼록), 안쪽 적도($u=\pi$, $\cos u=-1$)에서 $K<0$(안장, 구멍 안쪽), $u=\pm\pi/2$인 두 원(위아래 가장 튀어나온 부분)에서 정확히 $K=0$ — 한 곡면 위에서 세 가지 부호가 모두 나타나는 전형적인 예.

예제 6 (원뿔, $K\equiv0$). 원뿔 $\sigma(u,v)=(u\cos v,u\sin v,cu)$($u>0$)은 제1기본형식의 연습문제에서 평면과 국소등거리임을 보였다. 국소등거리는 $K$를 보존하므로(빼어난 정리을 미리 쓰면) 평면의 $K=0$이 원뿔에도 그대로 옮겨져야 한다 — 직접 계산해도 $L,N$은 $0$이 아니지만 $LN-M^2=0$이 되어 $K=0$을 확인할 수 있다(모선 방향으로 법곡률이 $0$이기 때문).

예제 7 (가우스 사상 넓이 해석, 구로 확인). 반지름 $r$인 구에서 가우스 사상 $\mathcal{G}$는 $\sigma\mapsto\sigma/r$로, 단위구($r=1$)로 가는 축소사상이다. 임의의 영역 $R$의 넓이가 $r^2$배 축소되어 단위구로 가므로 $\operatorname{Area}(\mathcal{G}(R))/\operatorname{Area}(R)=1/r^2=K$ — 본문의 넓이 왜곡 공식과 정확히 일치.

흔한 오해와 함정

• "$K=0$이면 $H=0$" — 거짓, 예제 3(원기둥)이 정확한 반례. $K=\kappa_1\kappa_2=0$은 $\kappa_1,\kappa_2$ 중 적어도 하나가 $0$이라는 뜻일 뿐, $H=\tfrac12(\kappa_1+\kappa_2)$는 나머지 하나가 $0$이 아니면 $0$이 아니다.
• "$H=0$이면 $K=0$" — 거짓, 예제 4(안장)가 반례. $H=0$은 $\kappa_1=-\kappa_2$를 뜻하므로 $K=\kappa_1\kappa_2=-\kappa_1^2\le0$이지 $0$이 아니다(우산점이 아닌 한).
• $K$와 $H$가 같은 종류의 불변량이라고 생각 — $K$는 법선 선택과 무관한 절대적 불변량이지만, $H$는 방향을 뒤집으면 부호가 바뀐다. "이 곡면의 평균곡률은 $2$다"라는 서술은 법선 방향을 명시하지 않으면 불완전하다.
• $K>0$을 "곡면 전체가 볼록하다"로 오인 — $K>0$은 국소적 성질(그 점 근처가 접평면 한쪽에 머문다는 것)이지, 곡면 전체가 볼록체(convex body)의 경계라는 뜻이 아니다. 원환면의 바깥쪽 절반은 $K>0$이지만 원환면 전체는 볼록하지 않다(예제 5).
• $H^2\ge K$를 자명한 항등식으로 오인 — 이는 $\mathcal{W}$가 자기수반이라 고유값이 실수라는 사실에서 나오는 정리이지 정의가 아니다. 만약 $\mathcal{W}$가 대칭이 아니었다면(가상의 경우) 고유값이 복소수일 수 있고 부등식이 깨질 수 있다.

큰 그림 / 연결

$K,H$는 제2기본형식(Pressley) 또는 형상연산자(O'Neill)의 두 표준 불변량이며, 그 고유값 분해가 주곡률다. $H$는 극소곡면의 정의 조건($H\equiv0$)을 직접 제공한다. 가장 극적인 연결은 빼어난 정리이다: $K$는 외재적으로 정의됨에도(법선의 미분에서 나옴) 실은 제1기본형식 $E,F,G$만으로 계산 가능한 내재적인 양이다 — 반면 $H$는 그렇지 않다(원기둥과 평면은 국소등거리라 $K$가 같지만 $H$는 다르다, 예제 2와 3 비교). 가우스–보네 정리은 $K$를 곡면 전체에 적분해 위상불변량(오일러 수)과 연결한다.

연습문제

1. 원기둥(반지름 $r$)의 $K,H$를 직접 계산하고 예제 3의 반지름 1 결과와 비교하라.
2. $H^2=K$가 성립하는 점(우산점)에서 $\kappa_1=\kappa_2$임을 판별식 논증으로 다시 확인하라.
3. 법선을 뒤집으면 $H$의 부호는 바뀌지만 $\kappa_1\kappa_2=K$는 왜 바뀌지 않는지, $\kappa_i\to-\kappa_i$의 관점에서 설명하라.
4. 원환면(예제 5)에서 $K=0$이 되는 두 원 $u=\pm\pi/2$이 기하적으로 무엇을 나타내는지 설명하라(힌트: 원환면을 옆에서 본 윤곽선).
5. 안장 예제 4에서 $\kappa_1,\kappa_2$를 (정리의 이차방정식을 풀어) 직접 구하고 $\kappa_1=-\kappa_2$임을 확인하라.
6. 반지름 $r$인 구에서 $r\to\infty$일 때 $K\to0$, $H\to0$이 됨을 보이고, 이것이 "매우 큰 구는 국소적으로 평면처럼 보인다"는 직관과 어떻게 연결되는지 논하라.
7. $K,H$가 둘 다 상수인 곡면의 예를 (평면, 구 외에) 하나 더 들 수 있는지 생각해 보라(힌트: 원기둥은 $K$만 상수).

관련 개념

• 형상연산자 — O'Neill의 $S$; $K=\det S$, $H=\tfrac12\operatorname{trace}S$
• 제2기본형식 — $\mathcal{W}$의 근원
• 주곡률 — $K=\kappa_1\kappa_2$, $H=\tfrac12(\kappa_1+\kappa_2)$
• 빼어난 정리 — $K$의 내재적 본성
• 극소곡면 — $H=0$인 경우
• 가우스–보네 정리 — $K$를 곡면 전체에 적분