III. 다항식 · 7/16

기약다항식

유일인수분해, 근·인수정리, 아이젠슈타인 판정법

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

기약다항식은 $F[x]$ 의 "소수"다. 정수의 소인수분해처럼, $F[x]$ 의 모든 다항식은 기약다항식의 곱으로 유일하게 분해된다(다항식환이 $\mathbb{Z}$ 와 평행한 산술을 가진다는 사실의 정점). 그런데 이 "소수다움"은 체 $F$ 에 의존한다는 점이 정수와의 결정적 차이다 — $x^2+1$ 은 $\mathbb{R}$ 에서 기약이지만 $\mathbb{C}$ 에서는 $(x-i)(x+i)$ 로 가약이다. 어떤 다항식이 기약인지 판정하는 도구(인수정리, 유리근 정리, Eisenstein 판정)는 단순한 계산 기법이 아니라 체확장의 "차수"를 결정하고 Galois 이론에서 다항식의 근의 대칭을 분석하는 출발점이다.

직관

"기약"이라는 말은 "더 이상 비자명하게 쪼갤 수 없다"는 뜻이다. 정수에서 소수가 "1과 자기 자신 외의 약수가 없는 수"였듯, 기약다항식은 "상수(단원) 외의 인수가 없는, 상수항이 아닌 다항식"이다. 핵심은 상대성 — 어떤 다항식이 기약인지는 계수를 어느 체에서 보느냐에 전적으로 달려 있다. $x^2-2$ 는 $\mathbb{Q}$ 위에서는 "더 쪼갤 길이 없다"(근 $\sqrt2$ 가 $\mathbb{Q}$ 밖에 있으므로)지만, $\mathbb{R}$ 로 넘어가면 $\sqrt2$ 가 손에 들어와 $(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$ 로 쪼개진다. 이 상대성이 바로 체확장 이론의 동력이다 — "기약다항식에 근을 추가해서 더 큰 체를 만든다"는 발상(몫환과 동형정리)은 정확히 "쪼개지지 않던 것을 쪼개지게 만드는" 작업이다.

정의

상수 아닌 $p(x)\in F[x]$ 가 기약(irreducible): $p=fg$ ($f,g\in F[x]$) 이면 $f$ 또는 $g$ 가 (0 아닌) 상수다항식(=단원). 기약이 아니면 가약(reducible).¹

개념	비고
기약성은 $F$ 에 의존	$x^2+1$: $\mathbb{R}$ 에서 기약, $\mathbb{C}$ 에서 가약($=(x-i)(x+i)$)
1차 다항식	모든 체 위에서 항상 기약(차수가 더 못 줄어듦)
결합원(associate)	$p,q$ 가 단원배수 관계($p=uq$, $u$ 단원)이면 본질적으로 같은 인수로 취급

주의: 기약성의 정의는 "근이 없음"과 다르다 — 차수 4 이상에서는 근이 없어도 가약일 수 있다(아래 정리).

주요 정리

정리 (근과 인수, Factor Theorem). $a\in F$ 가 $f$ 의 근($f(a)=0$) $\iff (x-a)\mid f$.² 따라서 $n$ 차 다항식은 근이 최대 $n$ 개(중복도 포함해도 $n$ 개).

증명 보기

증명. ($\Leftarrow$) $f=(x-a)g$ 이면 $f(a)=(a-a)g(a)=0$. ($\Rightarrow$) 나눗셈 정리로 $f=(x-a)q+r$, $\deg r<\deg(x-a)=1$ 이므로 $r$ 은 상수. $a$ 를 대입하면 $f(a)=0\cdot q(a)+r=r$, $f(a)=0$ 이므로 $r=0$ → $(x-a)\mid f$. ∎ 근의 개수 상한은 귀납법: $\deg f=n$, 근 $a_1$ 이 있으면 $f=(x-a_1)g$, $\deg g=n-1$; $g$ 의 근은 최대 $n-1$ 개(귀납가정), $f$ 의 다른 근 $b\ne a_1$ 은 $f(b)=(b-a_1)g(b)=0$ 에서 $F$ 가 정역(체이므로)이라 $g(b)=0$ — $g$ 의 근.

정리 (유일인수분해 in F[x]). $F[x]$ 의 모든 상수 아닌 다항식은 기약다항식들의 곱으로 (단원배수와 순서 무시) 유일하게 분해된다 — $F[x]$ 는 UFD.³

증명 보기

증명 스케치. 존재성은 차수에 대한 귀납법(기약이면 끝, 가약이면 더 낮은 차수 두 개로 쪼개 귀납가정 적용). 유일성은 $F[x]$ 가 PID(아이디얼)이고 PID는 항상 UFD(euclidean pid ufd)라는 일반 정리의 특수경우 — 정수의 산술 기본정리(FTA)와 완전히 평행한 증명 구조(기약 ⇒ 소, 소원에 대한 Euclid 보조정리).

정리 (저차 판정, 함정 포함). $\deg f\in\{2,3\}$ 이면 $f$ 가 가약 $\iff F$ 에 근이 있다.⁴ 4차 이상은 거짓 — 근 없이도 가약일 수 있다: $(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1$ 은 $\mathbb{R}$ 에서 근이 없지만($x^2+1>0$) 가약(두 이차식의 곱)이다.

증명 보기

증명(저차). ($\Rightarrow$) $f=gh$, $\deg f\in\{2,3\}$ 이면 $\deg g+\deg h\in\{2,3\}$, 비자명 분해이므로 $\deg g,\deg h\ge1$ → 둘 중 하나는 $\deg=1$ → 그 인수가 근을 줌(1차식 $x-a$ 는 근 $a$). ($\Leftarrow$) 근 $a$ 있으면 인수정리로 $(x-a)\mid f$, $\deg f\ge2$ 이므로 비자명 분해 — 가약. ∎

정리 (유리근 정리, Rational Root Theorem). $f=a_nx^n+\cdots+a_0\in\mathbb{Z}[x]$ 의 유리근 $p/q$ (기약분수, $\gcd(p,q)=1$)는 $p\mid a_0$, $q\mid a_n$.⁵

증명 보기

증명 스케치. $f(p/q)=0$ 에 $q^n$ 을 곱하면 $a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots+a_0q^n=0$. 모든 항이 $q$ 의 배수가 되려면 $a_np^n$ 도 그래야 하는데 $\gcd(p,q)=1$ → $q\mid a_n$. 같은 논증을 $p$ 에 대해(첫 항을 분리) 적용하면 $p\mid a_0$.

정리 (Eisenstein 판정). 소수 $p$ 가 $a_0,\dots,a_{n-1}$ 을 모두 나누고 $p\nmid a_n$, $p^2\nmid a_0$ 이면 $f=a_nx^n+\cdots+a_0$ 는 $\mathbb{Q}$ 에서 기약이다.⁵

증명 보기

증명 스케치. $f=gh$ ($\mathbb{Z}[x]$ 위 비자명 분해, Gauss 보조정리로 $\mathbb{Q}[x]$ 분해는 $\mathbb{Z}[x]$ 분해로 환원 가능)라 가정하고 법 $p$ 로 환원하면 $\bar f=\bar a_nx^n$($\mathbb{Z}_p[x]$ 에서, 다른 계수가 모두 $p$ 의 배수라 사라짐) — 이는 $\bar g\bar h$ 와 같아야 하는데 $\mathbb{Z}_p[x]$ 가 UFD이므로 $\bar g,\bar h$ 도 $x$ 의 거듭제곱뿐. 그러면 $g,h$ 의 상수항이 둘 다 $p$ 의 배수가 되어 $a_0=g(0)h(0)$ 이 $p^2$ 의 배수 — 가정($p^2\nmid a_0$)에 모순. ∎

예제

예제 1 (제곱근의 비합리성과 기약성). $x^2-2$ 는 $\mathbb{Q}$ 에서 기약(유리근 정리로 후보 $\pm1,\pm2$ 모두 대입해 $0$ 아님 → 저차판정으로 기약), $\mathbb{R}$ 에서는 $(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$ 가약.

예제 2 (Eisenstein 적용). $f=x^4+2x+2$: $p=2$ 가 계수 $2,0,0,2$(상수항부터 $a_0,a_1,a_2$)를 모두 나누고 $2\nmid1=a_4$, $4\nmid2=a_0$ → $\mathbb{Q}$ 에서 기약.

예제 3 (유리근 정리 + 인수분해). $2x^3-3x^2+1$: 후보 $\pm1,\pm\frac12$. $x=1$: $2-3+1=0$ → 근. 나눗셈으로 $=(x-1)(2x^2-x-1)=(x-1)(2x+1)(x-1)=(x-1)^2(2x+1)$ — 중근을 가지는 사례.

예제 4 ($\mathbb{Z}_2$ 위 2차 기약). $x^2+x+1$ 은 $\mathbb{Z}_2$ 에서 기약(근 후보 $0,1$: $f(0)=1,f(1)=1+1+1=1$, 둘 다 0 아님 → 저차판정으로 기약). 이를 이용해 $\mathbb{F}_4$ 를 구성.

예제 5 (4차에서 저차판정 함정, 직접 분해). $f=x^4+4$ in $\mathbb{Q}[x]$: 유리근 없음(후보 $\pm1,\pm2,\pm4$ 대입해 모두 0 아님)이지만, Sophie Germain 항등식 $x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$ 로 가약 — 4차이므로 저차판정(근 유무로 가약성 판정)이 적용되지 않는 직접적 증거.

예제 6 (원분다항식, 고차 기약의 예). $\Phi_p(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+1=\frac{x^p-1}{x-1}$ ($p$ 소수)는 $\mathbb{Q}$ 에서 기약 — 표준 증명은 $x\to x+1$ 치환 후 Eisenstein 적용(연습문제 2의 $x^4+1$ 과 같은 기법). 예: $\Phi_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$.

흔한 오해와 함정

"근이 없으면 기약"이라고 4차 이상에 적용 — 저차판정($\deg\le3$)에서만 성립. 예제 5($x^4+4$)가 직접 반례.
기약성을 $F$ 에 무관한 절대적 성질로 착각 — $x^2+1$ 은 $\mathbb{R}$ 기약·$\mathbb{C}$ 가약처럼, "기약"은 항상 "어느 체 위에서"를 명시해야 의미가 있다.
유리근 정리를 "유리근의 존재"를 보장하는 정리로 오해 — 이 정리는 후보를 좁히는 필요조건일 뿐, 후보 중 실제로 근인 것이 없을 수도 있다(예제 1).
Eisenstein 판정의 역을 참이라 오해 — Eisenstein이 적용 안 된다고 가약인 것은 아니다(많은 기약다항식이 Eisenstein 판정에 걸리지 않음, 예: $x^2+x+1$). 판정은 충분조건일 뿐 필요조건이 아니다.
유일인수분해를 "계수가 정수인 다항식의 분해는 정수 계수로 유일"로 오해 — $\mathbb{Q}[x]$ 안에서 유일하다는 것이지, $\mathbb{Z}[x]$ 로 제한하면 단원이 $\pm1$ 뿐이라 분해가 또 다른(상수배 분배) 미묘함이 생긴다(Gauss 보조정리가 이를 다룸, 이 위키 범위 밖).
인수정리를 "$F$ 가 체가 아니어도" 무조건 적용 — 증명에서 정역이라는 사실(영인자 없음)이 핵심적으로 쓰인다; 일반 가환환에서는 근의 개수 상한이 깨질 수 있다.

큰 그림 / 연결

기약다항식은 [[polynomial-rings|$F[x]$ 의 나눗셈 정리]] 위에 세워진 "소수" 개념이며, 주아이디얼 $(p(x))$가 극대가 되는 조건과 정확히 일치한다(소·극대 아이디얼) — 이것이 [[quotient-rings-and-isomorphism|$F[x]/(p(x))$ 가 체가 되는 조건]]을 완성한다. 기약다항식에 "인공적으로 근을 추가"하는 이 구성은 체확장 이론의 출발점이고, 확장의 차수가 정확히 $\deg p$ 라는 사실로 이어진다. 더 나아가 다항식이 어떤 체 위에서 완전히 일차식으로 쪼개지는지(분해체, splitting field)의 문제는 splitting and finite fields를 거쳐 Galois 이론의 핵심 질문 — "다항식의 근들 사이의 대칭을 어떻게 군으로 포착할 것인가" — 으로 이어진다. 5차 이상 다항식의 근의 공식이 일반적으로 존재하지 않는다는 근의 공식의 불가능성 정리도 이 페이지의 기약성 분석에서 출발한다. 정수론(numbertheory 위키)에서는 원분다항식의 기약성이 소수의 분포(특히 등차수열의 소수, Dirichlet 정리의 특수경우)와 깊이 연관된다.

연습문제

$x^3-3x-1$ 이 $\mathbb{Q}$ 에서 기약임을 보여라.
$x^4+1$ 이 $\mathbb{Q}$ 에서 기약임을 보여라. (힌트: $x\to x+1$ 치환 + Eisenstein.)
$\mathbb{Z}_3[x]$ 에서 기약인 모닉 2차 다항식을 모두 찾아라.
$x^5-x$ 를 $\mathbb{Z}_5$ 에서 완전 인수분해하라.
$f(x)=x^3+x+1$ 이 $\mathbb{Z}_2$ 에서 기약임을 보여라.
$x^4+4$ 가 $\mathbb{Q}$ 에서 가약임을 (Sophie Germain 항등식으로) 직접 확인하라. 저차판정이 왜 적용 안 되는지 설명하라.
$\Phi_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$ 이 $\mathbb{Q}$ 에서 기약임을 ($x\to x+1$ 치환 후 Eisenstein $p=5$) 보여라.
$f\in F[x]$ 의 차수가 $n$ 이면 (중복도 포함) 근이 최대 $n$ 개임을 귀납법으로 증명하라.

정답·힌트

유리근 후보 $\pm1$: $f(1)=1-3-1=-3$, $f(-1)=-1+3-1=1$ → 근 없음, 3차 → 저차판정으로 기약.
$f(x+1)=(x+1)^4+1=x^4+4x^3+6x^2+4x+2$; Eisenstein $p=2$($2\mid4,6,4,2$; $2\nmid1$; $4\nmid2$) → 기약. 평행이동 $x\mapsto x+1$ 은 기약성을 보존(동형 $F[x]\to F[x]$ 이므로).
모닉 2차 $x^2+bx+c$ 중 근 없는 것(저차판정): $x^2+1$ (근 0,1,2 평가 $1,2,2$), $x^2+x+2$ (평가 $2,1,2$... 직접 검산: $f(0)=2,f(1)=1+1+2=4\equiv1,f(2)=4+2+2=8\equiv2$, 모두 0 아님), $x^2+2x+2$ (평가 $2,f(1)=1+2+2=5\equiv2,f(2)=4+4+2=10\equiv1$, 모두 0 아님) — 총 3개.
$\mathbb{Z}_5$ 에서 모든 원소가 $a^5=a$(Fermat, structure-of-zn) → $x^5-x$ 는 $0,1,2,3,4$ 모두 근 → $x^5-x=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ (5차, 근 5개로 완전분해).
$f(0)=0+0+1=1$, $f(1)=1+1+1=1$ → 근 없음, 3차 → 저차판정으로 기약.
$x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$ (직접 전개해 확인: $x^4+2x^3+2x^2-2x^3-4x^2-4x+2x^2+4x+4=x^4+0x^3+0x^2+0x+4$ ✓). 유리근 후보 $\pm1,\pm2,\pm4$ 모두 $f$ 의 근이 아니다(근 없음)지만 4차이므로 저차판정(2,3차에서만 유효)이 적용 안 돼 가약일 수 있음 — 실제로 두 이차식의 곱.
$\Phi_5(x+1)$ 의 계수를 이항정리로 전개하면(또는 $\frac{(x+1)^5-1}{x}$ 로 계산) 상수항이 $5$, 나머지 중간항이 모두 $5$ 의 배수, 최고차항 계수 $1$ → Eisenstein $p=5$ 적용 가능 → 기약.
기초: $n=0$(상수 아닌 다항식 중 최소 차수 1)이거나 $n=1$이면 근이 최대 1개(1차식은 정확히 하나의 근). 귀납: $\deg f=n$, 근 $a$ 존재 가정 시 인수정리로 $f=(x-a)g$, $\deg g=n-1$; 귀납가정으로 $g$ 의 근은 최대 $n-1$개; $f$ 의 임의의 다른 근 $b$ 는 $0=f(b)=(b-a)g(b)$, $F$ 가 체(정역)이고 $b\ne a$ 이므로 $g(b)=0$ — $g$ 의 근. 따라서 $f$ 의 근은 $a$ 와 $g$ 의 근들(최대 $n-1$개)의 합집합, 총 최대 $n$개.

개요 — 동기·문제의식

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예제

흔한 오해와 함정

큰 그림 / 연결

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