V. 내재 기하 · 13/16

측지선

가장 곧은 곡선, 측지선 방정식

읽음 0/0 갱신 2026-06-30

개요 — 동기·문제의식

$\mathbb{R}^3$에서 두 점 사이의 최단 경로는 직선이다. 그런데 곡면 위에 갇힌 벌레는 곡면을 벗어날 수 없으므로, 직선을 따라갈 수 없다 — 그렇다면 벌레에게 "가장 곧은" 경로란 무엇인가? 평행이동에서 확립한 공변미분의 언어로 답할 수 있다: 직선이란 가속도가 $0$인 곡선이었다(뉴턴의 관성). 곡면 위에서는 가속도를 완전히 $0$으로 만들 수 없다(곡면에 붙어 있으려면 법선 방향 가속도가 필요할 수 있다) — 그러나 접평면 방향(곡면이 "느낄 수 있는" 방향) 성분만은 $0$으로 만들 수 있다. 이렇게 "곡면이 허용하는 한 가장 곧게" 가는 곡선이 측지선(geodesic)이며, 직선의 자연스러운 곡면판 일반화다.

직관 (기하)

적도를 따라 일정한 속력으로 운전한다고 상상하자. 우주에서 보는 관찰자에게는 차가 지구 중심을 향해 끊임없이 가속하는 것으로 보이지만, 운전자 자신은 핸들을 전혀 꺾지 않는다 — "똑바로" 간다고 느낀다. 이 어긋남의 이유는 가속도가 두 성분으로 나뉘기 때문이다: 곡면에 붙어 있기 위해 필요한 법선 방향 성분(중력이나 구심가속도처럼, 곡면 밖 관찰자만 느끼는)과, 실제로 방향을 트는 접평면 방향 성분(곡면 위 관찰자가 느끼는 "회전"). 측지선은 정확히 후자가 $0$인 곡선이다 — 운전자가 핸들을 꺾지 않고도 갈 수 있는 길.

팽팽하게 당긴 실을 곡면 위에 놓으면 그 실이 놓이는 경로도 직관을 준다: 실은 국소적으로 가장 짧은 길을 택하려 하므로 측지선을 따라 눕는다(단, 전역적으로 최단은 아닐 수 있다 — 이는 정리에서 다시 다룬다). 원기둥에 실을 팽팽히 감으면 나선(helix)이 되는 것이 이 현상의 좋은 시각화다.

정의

곡면 $S$ 위의 곡선 $\gamma$가 측지선이라는 것은, 모든 점에서 가속도 $\ddot\gamma$가 $0$이거나 접평면에 수직(즉 법선 $\mathbf{N}$에 평행)인 것이다.¹ 동치인 세 가지 서술:

서술	언어
$\ddot\gamma\parallel\mathbf{N}$ (또는 $=0$)	외재적($\mathbb{R}^3$의 가속도)
접벡터 $\dot\gamma$가 평행이동 의미로 $\gamma$를 따라 평행	내재적(공변미분 $\nabla_\gamma\dot\gamma=0$)
(단위속력 곡선의 경우) 측지곡률 $\kappa_g\equiv0$	제2기본형식의 언어

첫째와 둘째는 정확히 같은 조건이다: 공변미분 $\nabla_\gamma\dot\gamma$가 $\ddot\gamma$의 접평면 투영이므로, $\nabla_\gamma\dot\gamma=0\iff\ddot\gamma\perp T_\gamma S$.² 셋째는 제2기본형식 페이지의 가속도 분해 $\ddot\gamma=\kappa_n\mathbf{N}+\kappa_g(\mathbf{N}\times\dot\gamma)$에서 접평면 성분 $\kappa_g(\mathbf{N}\times\dot\gamma)$이 정확히 $0$이 되는 조건이다.³

모든 측지선은 일정한 속력을 갖는다: $\frac{d}{dt}\lVert\dot\gamma\rVert^2=2\ddot\gamma\cdot\dot\gamma=0$인 이유는 $\ddot\gamma\parallel\mathbf{N}$이고 $\dot\gamma\perp\mathbf{N}$이므로 $\ddot\gamma\cdot\dot\gamma=0$이기 때문이다.⁴ (직선이 등속운동이라는 사실의 정확한 유비.)

기본 예

곡면 위에 놓인 임의의 직선(의 일부)은 측지선이다($\ddot\gamma=0$이 자명하게 조건을 만족).⁵
임의의 법단면(접평면에 수직이고 그 점에서의 법선을 포함하는 평면과 곡면의 교선)은 측지선이다 — 법단면 위의 곡선은 애초에 가속도가 그 평면 안에 있고, 그 평면에는 법선 $\mathbf{N}$이 포함되므로 가속도의 접평면 성분(측지곡률)이 자동으로 $0$이다.⁶
따라서 구의 대원(great circle)은 측지선이고, 원기둥·원뿔의 모선(ruling)도 측지선이다.⁷

측지선 방정식

정의 조건을 곡면조각 좌표로 풀어 쓰면 $E,F,G$(오직 제1기본형식)만으로 표현되는 2계 상미분방정식 쌍이 된다: $$\frac{d}{dt}(E\dot u + F\dot v)=\tfrac12(E_u\dot u^2 + 2F_u\dot u\dot v + G_u\dot v^2),$$ $$\frac{d}{dt}(F\dot u + G\dot v)=\tfrac12(E_v\dot u^2 + 2F_v\dot u\dot v + G_v\dot v^2).$$⁸ 이 방정식이 오직 $E,F,G$만을 포함한다는 것 자체가 측지선이 내재적 개념임을 보여준다 — 곡면이 $\mathbb{R}^3$에 어떻게 놓였는지($L,M,N$)는 전혀 필요 없다. 비선형이라 일반적으로 닫힌 형태 해가 없지만, 회전면에서는 클레로 관계식(Clairaut's relation)을 주고, 구에서는 대원을 재현한다.⁹

주요 정리

정리 (측지선의 존재·유일성). 임의의 점 $p\in S$와 접벡터 $\mathbf{v}\in T_pS$에 대해, $\gamma(0)=p$, $\dot\gamma(0)=\mathbf{v}$를 만족하는 측지선 $\gamma$가 (충분히 작은 구간에서) 유일하게 존재한다.

증명 보기

증명 스케치. 측지선 방정식은 $\ddot u,\ddot v$에 대해 정리하면 표준형 2계 ODE 계($\ddot u=f(u,v,\dot u,\dot v)$, $\ddot v=g(\dots)$, $f,g$는 $E,F,G$와 그 도함수로 매끄럽게 표현됨)가 되고, $EG-F^2>0$(정칙성)이 이 정리를 가능하게 한다(계수행렬 $\begin{psmallmatrix}E&F\\F&G\end{psmallmatrix}$가 가역). 초기조건 $(u(0),v(0),\dot u(0),\dot v(0))$을 주면 피카르-린델뢰프 정리(1계 ODE로 차수를 낮춘 벡터형 초기값 문제)에 의해 국소해가 유일하게 존재한다. ∎ 이는 평행이동에서 평행이동장의 존재·유일성을 보인 논증과 같은 종류이며(둘 다 크리스토펠 기호를 계수로 갖는 선형/비선형 ODE), 측지선이 "출발점과 출발방향만으로 완전히 결정된다"는 직선의 성질을 정확히 계승한다.

정리 (측지선은 국소 최단경로). 곡면 위 두 가까운 점을 잇는 충분히 짧은 곡선 중, 그 두 점을 잇는 최단 곡선은 측지선이다.¹⁰

증명 보기

증명 스케치(변분법 개요). 두 점을 잇는 곡선족 $\gamma_\tau$ ($\tau=0$이 후보 곡선)의 길이 범함수 $L(\tau)=\int\lVert\dot\gamma_\tau\rVert\,dt$의 첫 변분을 계산하면, $L'(0)=0$(모든 경계 고정 변분에 대해)이 되는 조건이 정확히 측지선 방정식과 동치임을 오일러-라그랑주 방정식으로 보일 수 있다 — 곡선이 국소적으로 길이 범함수의 임계점이라는 것이 측지선의 변분적 정의다. 국소 최단성은 이 임계점 조건에 충분히 가까운 두 점에서는 실제로 최솟값이 됨을 (지수사상의 국소 미분동형성 등을 이용해) 추가로 보여 확립한다. ∎

이 정리의 역은 전역적으로 실패한다: 측지선이라고 해서 항상 최단경로는 아니다. 적도의 절반보다 긴 대원호는 측지선이지만(정의를 만족하지만) 최단경로가 아니다(반대 방향으로 도는 짧은 호가 항상 존재).¹¹ 이것이 측지선을 "국소적으로 곧다"는 개념으로 이해해야지 "전역적으로 최단"이라는 개념으로 오해하면 안 되는 이유다.

예제

예제 1 (구의 대원). 반지름 $r$인 구에서 대원(중심을 지나는 평면과의 교선)은 법단면이므로 측지선이다(본문 "기본 예" 참고). 실제로 대원을 단위속력 매개변수화하면 $\ddot\gamma=-\gamma/r^2$(원운동의 구심가속도)이고, 이는 정확히 위치벡터 방향, 즉 법선 방향 $\mathbf{N}=\gamma/r$의 배수이므로 정의 조건 $\ddot\gamma\parallel\mathbf{N}$을 직접 만족한다.

예제 2 (원기둥의 측지선, 나선). 원기둥 $\sigma(u,v)=(\cos v,\sin v,u)$에서 측지선 방정식을 풀면(또는 직접 확인) 일반해는 $u=at+b$, $v=ct+d$ 꼴 — 즉 $(\cos(ct+d),\sin(ct+d),at+b)$, 나선이다. $a=0$이면 단면원(직관과 달리 측지선이다 — 예제 3과 아래 함정 참고), $c=0$이면 모선(직선, 측지선). 일반적인 $(a,c)$는 등각 나선.

예제 3 (원기둥의 단면원은 측지선이 아님). 원기둥의 단면원 $\gamma(t)=(\cos t,\sin t,0)$을 보면 $\ddot\gamma=(-\cos t,-\sin t,0)=-\gamma$인데, 원기둥의 법선은 $\mathbf{N}=(\cos t,\sin t,0)=\gamma$ 방향이므로 $\ddot\gamma=-\mathbf{N}$ — 실제로 법선에 평행! 그러므로 단면원도 측지선이다(직관과 달리). 이는 원기둥의 단면원이 법단면(자신을 포함하는 평면이 축에 수직이고 그 평면이 법선을 포함)이기 때문 — "휘어 보이는" 원기둥이지만 단면원은 국소적으로 최단은 아니어도(반대편으로 도는 것이 항상 더 김) 정의상 측지선이다.

예제 4 (원뿔의 모선). 원뿔 $\sigma(u,v)=(u\cos v,u\sin v,cu)$의 모선($v$ 고정, $u$가 매개변수)은 직선이므로 자동으로 측지선이다. 제1기본형식에서 원뿔이 평면과 국소등거리임을 보였는데, 평면으로 "펼쳤을 때" 모선은 펼쳐진 평면 위에서 원점을 지나는 직선에 대응 — 측지선이 등거리 아래 측지선으로 옮겨진다는 사실(내재적 개념이므로)의 구체적 확인.

예제 5 (회전면과 클레로 관계식). 회전면 $\sigma(u,v)=(f(u)\cos v,f(u)\sin v,g(u))$에서 측지선을 따라가면 $f(u)\sin\psi$가 상수로 보존된다(단, $\psi$는 측지선이 위도원 방향과 이루는 각) — 이것이 클레로 관계식. 예를 들어 원기둥($f\equiv r$ 상수)에서는 $\sin\psi$가 상수가 되어야 하고, 이는 모든 나선(예제 2)이 위도원(수직 단면원)과 일정한 각을 이루며 감긴다는 사실과 정합한다.

예제 6 (측지선이 국소 최단이지만 전역 최단이 아닌 경우). 구 위의 두 점이 정확히 대척점(예: 북극과 남극)이 아니라면, 그 둘을 잇는 대원은 두 개의 호로 나뉘고 짧은 쪽만 최단경로다. 긴 쪽 호도 여전히 측지선(정의 조건은 국소적이므로 전역에서도 계속 성립)이지만 최단은 아니다 — "측지선=최단"이라는 흔한 오해에 대한 정확한 반례.

예제 7 (구면삼각형의 변, 가우스-보네 예고). 구 위의 세 대원호로 이루어진 구면삼각형의 세 변은 모두 측지선이므로 측지곡률이 $0$이다 — 이는 가우스–보네 정리의 곡선다각형 공식에서 $\int\kappa_g\,ds=0$인 항이 사라지는 특수한 경우로 다시 등장한다.

흔한 오해와 함정

"측지선은 항상 최단경로다" — 국소적으로만 참이다(정리 참고). 예제 6, 대원의 긴 호가 정확한 반례.
"측지선은 곡면 위에서 곧게 보이는 곡선이다(외부 관찰자 기준)" — 아니다. 외부 관찰자에게는 대원이나 나선이 휘어 보인다. "곧다"는 것은 항상 접평면 방향 가속도가 $0$이라는 내재적 의미이지, 외부에서 보기에 직선처럼 보인다는 뜻이 아니다.
측지곡률 $\kappa_g$와 법곡률 $\kappa_n$을 혼동 — 측지선의 조건은 $\kappa_g=0$이지, $\kappa_n=0$이 아니다. 사실 측지선은 대개 $\kappa_n\ne0$(구의 대원처럼 $\mathbb{R}^3$에서 보면 휘어 있다) — 다만 그 휨이 전부 법선 방향으로만 일어난다.
측지선 방정식이 $L,M,N$을 쓴다고 착각 — 방정식은 오직 $E,F,G$만 사용한다(본문 강조). 이를 $L,M,N$과 혼동하면 측지선이 외재적 개념이라는 잘못된 결론에 이른다.
"직선이 곡면 위에 있으면 항상 측지선이지만, 측지선은 항상 직선처럼 보인다"고 오인 — 직선 $\Rightarrow$ 측지선은 참(자명)이지만 역은 완전히 거짓이다 — 대원, 나선 등 압도적으로 많은 측지선이 직선이 아니다.
원기둥 단면원처럼 "직관적으로 휘어 보이는" 곡선이 측지선일 수 없다고 속단 — 예제 3이 정확한 반례. 측지선 여부는 직관이 아니라 정의(법선 방향 가속도)로 판정해야 한다.

큰 그림 / 연결

측지선은 평행이동에서 "자기 자신을 따라 평행한 곡선"으로 재정의되며, 그 존재·유일성은 제1기본형식에만 의존하는 크리스토펠 기호의 ODE에서 나온다 — 빼어난 정리과 뿌리를 공유하는 내재성의 또 다른 얼굴이다. 제2기본형식의 가속도 분해($\kappa_n\mathbf{N}+\kappa_g\cdot(\text{접평면 방향})$)가 측지선을 "측지곡률이 사라지는 곡선"으로 재서술해 준다. 가장 극적인 응용은 가우스–보네 정리이다 — 측지선으로 이루어진 곡선다각형(측지삼각형 등)에서는 $\int\kappa_g\,ds=0$이 되어 공식이 극도로 단순해지고(각의 합이 곧 곡률 적분), 이것이 "구면삼각형의 내각의 합이 $\pi$보다 크다"는 고전적 사실의 현대적 설명이다. O'Neill 쪽에서는 기하 곡면과 완비성가 지수사상(exponential map)을 통해 측지선을 전역화하며, 완비성(completeness) 개념과 연결한다.

연습문제

구의 위도원(적도가 아닌) $\theta=\theta_0\ne0$이 왜 측지선이 아닌지, 법단면 논증을 이용해 설명하라.
측지선 방정식에서 만약 곡면조각이 직교좌표($F=0$)라면 방정식이 어떻게 단순해지는지 써보라.
원뿔의 모선이 측지선임을 (직선이라는 사실 외에) 측지선 방정식으로도 확인할 수 있는지 논하라.
클레로 관계식 $f\sin\psi=\text{const}$를 이용해, 회전면의 "허리"(가장 좁은 부분, $f$가 최소인 곳)에 가까워질수록 측지선이 위도원 방향에 더 가까워지는(즉 $\psi\to\pi/2$) 이유를 설명하라.
측지선의 존재·유일성 정리에서 "충분히 작은 구간"이라는 단서가 왜 필요한지, 대원의 긴 호와 짧은 호가 같은 초기조건에서 갈라지지 않는다는 점과 연결해 논하라(즉 무엇이 유일하지 않을 수 있는지).
원기둥의 단면원(예제 3)이 측지선이면서 동시에 국소 최단경로가 아닌 것이 모순이 아닌 이유를 두 정리(존재·유일성 vs. 국소 최단성)의 진술 차이로 설명하라.
평면에서 측지선 방정식을 직접 풀어(간단한 경우이므로) 그 해가 정확히 직선임을 확인하라.

힌트 / 정답

위도원이 놓인 평면(회전축에 수직인 평면)은 $\theta_0\ne0$일 때 구의 중심을 지나지 않으므로, 그 점에서의 법선(위치벡터 방향)을 포함하지 않는다 — 법단면이 아니므로 자동으로 측지선이라는 결론을 얻을 수 없다(실제로 계산하면 가속도의 접평면 성분이 $0$이 아님을 확인할 수 있다).
$F=0$이면 방정식이 $\frac{d}{dt}(E\dot u)=\tfrac12(E_u\dot u^2+G_u\dot v^2)$, $\frac{d}{dt}(G\dot v)=\tfrac12(E_v\dot u^2+G_v\dot v^2)$로 교차항이 없이 단순해진다.
원뿔의 모선을 매개변수화($u$만 변하고 $v$ 고정)하면 $\dot v=0,\ddot v=0$이므로 두 방정식의 우변이 각각 $\tfrac12 E_u\dot u^2$, $\tfrac12 E_v\dot u^2$인데, 좌변도 $\ddot u\cdot E+\dots$ 형태로 남는 항들이 정합적으로 $0=0$이 되도록 소거됨을 직접 계산으로 확인할 수 있다 — 직선이라는 사실과 독립적으로 방정식 자체가 이를 재확인해 준다.
$f$가 최소인 곳에서 $\sin\psi=\text{const}/f$가 분모가 작아지므로 $\sin\psi$가 커져야 하고(상수를 유지하려면), $\sin\psi\le1$이므로 $\psi\to\pi/2$(측지선이 위도원과 거의 수직이 아니라 거의 평행해짐, 즉 위도원 방향에 가까워짐) — 실제로 $f$가 최솟값에 도달하는 정확한 지점에서 $\sin\psi=1$이 강제되면 그 지점에서 측지선이 위도원과 접하며 되돌아간다(clairaut relation의 전형적 응용, "허리"에서 측지선이 튕겨 나가는 현상).
존재·유일성 정리는 초기조건 $(p,\mathbf v)$에서 국소적으로(짧은 시간 동안) 유일한 해를 보장할 뿐, 그 해를 무한히 연장했을 때의 전역적 거동(자기 자신과 다시 만나거나, 다른 측지선과 교차하는 등)까지 통제하지 않는다. 대원의 긴 호와 짧은 호는 애초에 다른 초기조건(반대 방향의 $\mathbf v$)에서 출발한 별개의 해이거나, 같은 대원을 계속 연장한 하나의 해의 다른 구간일 뿐 — "유일성"은 국소적 초기값 문제에 대한 것이지, 최단경로 선택에 대한 것이 아니다.
두 정리는 다른 것을 주장한다: 존재·유일성 정리는 "초기조건이 주어지면 그 조건을 만족하는 측지선이 국소적으로 정확히 하나 있다"는 것이고, 국소 최단성 정리는 "두 점이 충분히 가까우면 그 둘을 잇는 최단경로가 측지선이다"는 것이다. 단면원은 첫 번째 의미에서 완벽하게 유효한(유일한) 측지선이지만, 원기둥을 평면으로 펼치면(국소등거리) 단면원의 먼 쪽 절반이 오히려 더 긴 경로에 대응하게 되어 전역적으로는 최단이 아니게 될 수 있다 — 모순이 아니라 "측지선"과 "최단경로"가 애초에 다른 층위의 개념이기 때문.
평면에서 $E=1,F=0,G=1$(상수)이므로 측지선 방정식은 $\ddot u=0,\ddot v=0$ — 해는 $u=at+b,v=ct+d$, 즉 $\gamma(t)=(at+b,ct+d,0)$, 정확히 직선의 매개변수 표현.